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最優(yōu)化 主講 劉陶文 課件制作 劉陶文 唯楚有材於斯為盛 學(xué)好最優(yōu)化 走遍天下都不怕 第三章無約束問題算法 I 最速下降法 Newton法 第一節(jié)最速下降法第二節(jié)Newton法及其修正形式 第一節(jié)最速下降法 1 思想 每次沿負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索 最古老的優(yōu)化方法 十九世紀(jì)中葉由Cauchy提出 負(fù)梯度方向也稱為最速下降方向 以負(fù)梯度為搜索方向的算法稱為最速下降法 2 算法步驟 最優(yōu)化算法看來是如此的簡(jiǎn)單 事實(shí)上 上面的例子刻畫了最速下降法的所有收斂特征 3 最速下降法的收斂性 全局收斂性 收斂速度估計(jì) 從上圖可以看出 最速下降法具有鋸齒現(xiàn)象 對(duì)一般的非二次函數(shù)有下面的收斂速度估計(jì) 定理的證明參見文獻(xiàn) 19 定理3 4 由上面的分析可知 最速下降法的收斂速度比較慢 通常將其用在某些算法的初始階段求較好的初始點(diǎn)或作為某些算法的間插步 思考題 有點(diǎn)難啊 第二節(jié)Newton法及其修正形式 1 思想 用近似二次函數(shù)的極小點(diǎn)作為原問題的新的近似解 幾何解釋 2 Newton法的算法步驟 對(duì)不同的兩個(gè)初始點(diǎn) 經(jīng)一次迭代求出最優(yōu)解 這是偶然還是必然的呢 下面我們來看看最速下降法與Newton法求解二次函數(shù)的比較 等值線 3 Newton的收斂性 4 局部二次收斂性 1 收斂性略 參見前面的牛頓法的收斂性 2 收斂速度 5 Newton法的修正形式 如何有效計(jì)算下降方向 該算法有較好的穩(wěn)定性及較快的收斂速度 從Newton法出發(fā)進(jìn)行修改 利用其優(yōu)點(diǎn) 克服其缺點(diǎn) 產(chǎn)生很多效果非常好的其他新算法 上面的Newton法的兩種修正形式 在較弱的條件下具有超線性收斂性或二次收斂性 還有很多其他的修正形式

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