影響局部均值分解算法分解精度的若干因素.doc

影響局部均值分解算法分解精度的若干因素局部均值分解LMD（Local mean decomposition）是一種新的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法。LMD可以自適應(yīng)地將任何一個(gè)復(fù)雜信號分解為若干個(gè)瞬時(shí)頻率具有物理意義的PF（Product function）分量之和，從而獲得原始信號完整的時(shí)頻分布，其本質(zhì)上是將多分量的信號自適應(yīng)地分解為若干個(gè)單分量的調(diào)幅調(diào)頻信號（包絡(luò)信號和純調(diào)頻信號）之和，非常適合處理非平穩(wěn)、非線性信號，特別是多分量的調(diào)幅調(diào)頻信號。局部均值分解的基本理論和算法很容易理解，在許多文獻(xiàn)上都給出了詳細(xì)的介紹，在這里不做過多的闡述，重點(diǎn)討論影響局部均值分解算法的一些問題。局部均值分解作為一種新提出的時(shí)頻分析方法，有許多問題有待于進(jìn)一步研究，如原始信號的采樣頻率、求局部均值函數(shù)和包絡(luò)函數(shù)用到的滑動(dòng)平均算法以及端點(diǎn)效應(yīng)。采樣頻率不同會影響LMD分解精度，尤其對瞬時(shí)頻率影響較大，采用不同的滑動(dòng)跨度和端點(diǎn)處理方法就會得到不同的分解結(jié)果，有時(shí)甚至?xí)斐伤惴ǖ牟皇諗?。下面將以具體實(shí)例分析二者對滑動(dòng)平均算法的影響。具體信號如下：1. 采樣頻率對LMD分解精度的影響 上面兩個(gè)圖是采樣間隔為0.2s時(shí)得到的PF分量、包絡(luò)信號分量和對應(yīng)的瞬時(shí)頻率分量下面兩個(gè)圖是采樣間隔為1s時(shí)得到的PF分量、包絡(luò)信號分量和對應(yīng)的瞬時(shí)頻率分量2. 滑動(dòng)平均跨度選擇對LMD分解精度的影響滑動(dòng)平均的跨度不僅關(guān)系到LMD分解精度，如果滑動(dòng)平均跨度選擇不合理，有可能造成LMD算法不收斂。這是因?yàn)榫钟虬j(luò)函數(shù)容易受到滑動(dòng)平均算法的影響，滑動(dòng)平均的跨度不同，局域包絡(luò)函數(shù)就會不一樣。在求解每個(gè)PF分量時(shí)采用的是純調(diào)頻信號的判據(jù)，即要求局部包絡(luò)函數(shù)滿足，因此局域包絡(luò)函數(shù)不同，循環(huán)迭代次數(shù)也就不同。其中增減量的取值范圍，需要根據(jù)不同的信號和不同的精度要求來設(shè)定，的值越小，計(jì)算量就越大，LMD分解的精度越高，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一般取0.0010.01。以上述信號為例，在消除端點(diǎn)影響的前提下，研究滑動(dòng)平均跨度對LMD分解的影響。分別采用不同的滑動(dòng)平均跨度方法求取PF1，觀察其循環(huán)次數(shù)和滑動(dòng)平均跨度的關(guān)系，如下如圖所示：滑動(dòng)平均跨度（Moving Average Span）和循環(huán)次數(shù)（Loop Times）關(guān)系圖當(dāng)滑動(dòng)跨度為5點(diǎn)時(shí)，循環(huán)7次結(jié)束，當(dāng)滑動(dòng)跨度超過5時(shí)，循環(huán)次數(shù)逐步增加，直到滑動(dòng)跨度超過11點(diǎn)（循環(huán)16次）時(shí)，循環(huán)次數(shù)顯著增加。當(dāng)滑動(dòng)跨度為13點(diǎn)時(shí)，循環(huán)需要63次才能結(jié)束。當(dāng)滑動(dòng)跨度為15點(diǎn)時(shí)，循環(huán)超過100次時(shí)仍未求出純調(diào)頻信號，由程序強(qiáng)制結(jié)束。可見，滑動(dòng)平均跨度的選擇會對循環(huán)產(chǎn)生一定的影響，當(dāng)選擇不合理時(shí)會增加計(jì)算量，甚至使算法不收斂。但是由圖也可以看出，對具體信號而言，在某一范圍內(nèi)，滑動(dòng)平均跨度對PF1分量影響并不是很大，僅僅是影響局部包絡(luò)函數(shù)的個(gè)數(shù)（循環(huán)次數(shù)）。從另一方面講，在合理的取值范圍內(nèi)，LMD分解精度是與計(jì)算量成正比的。所以滑動(dòng)平均跨度的選擇要綜合考慮分解精度和計(jì)算量的影響。（對該信號如果采樣時(shí)間間隔為0.2s時(shí)，跨度選擇在25點(diǎn)左右時(shí)較為合理，不會對分解結(jié)果產(chǎn)生大的影響，當(dāng)跨度超過33點(diǎn)時(shí)波形會產(chǎn)生明顯的誤差）。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)滑動(dòng)平均跨度的選擇一般采用兩種方法，一是取相鄰極值點(diǎn)最長距離的三分之一；二是設(shè)定為相鄰極值點(diǎn)的最短距離。兩種方法對不同的振動(dòng)信號分解精度也不相同，對具體信號應(yīng)采用何種方法來選擇滑動(dòng)平均跨度一般很難確定。但是無論采用哪一種方法分解精度不會相差太大。對于任何一個(gè)信號序列，當(dāng)采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)確定以后，其相應(yīng)的滑動(dòng)平均跨度的最合理取值就可以通過提出的兩種方法計(jì)算得到。經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)的證明，我們發(fā)現(xiàn)在這個(gè)最合理的跨度值附近取值就不會對LMD算法造成大的影響。圖a 七點(diǎn)滑動(dòng)平均 圖b 九點(diǎn)滑動(dòng)平均 圖c 十一點(diǎn)滑動(dòng)平均以上面提到的信號為例。由于我們已經(jīng)對端點(diǎn)做了鏡像處理，所以端點(diǎn)處數(shù)據(jù)不會產(chǎn)生大的變形，對于該信號，橫坐標(biāo)為500左右的數(shù)據(jù)極值點(diǎn)相對其它地方較稀疏，信號在處理時(shí)會發(fā)生變化，可以選擇該段作為觀察重點(diǎn)部分。其最合理的跨度取值為7點(diǎn)（采樣間隔較長、每周期采樣點(diǎn)數(shù)較少，跨度就相對較?。?，采用7點(diǎn)滑動(dòng)平均得到的結(jié)果如圖a所示。將滑動(dòng)跨度改為3點(diǎn)、5點(diǎn)、9點(diǎn)我們可以發(fā)現(xiàn)圖形并沒有大的變化，即在這些值之間選擇滑動(dòng)平均跨度均不會對LMD分解產(chǎn)生大的誤差，在這里我們選擇跨度為9點(diǎn)時(shí)的圖形（圖b）與之比較。將跨度值進(jìn)一步增加，取跨度值為11點(diǎn)，圖形如圖c所示。跨度超出了其合理取值范圍，分解結(jié)果產(chǎn)生了一定的誤差。當(dāng)繼續(xù)增加跨度值時(shí)，誤差會更明顯，使信號嚴(yán)重失真。LMD算法在采用滑動(dòng)平均平滑數(shù)據(jù)時(shí)，不能事先定義滑動(dòng)跨度的值。對不同的信號或者同一信號不同的采樣頻率其最合理的滑動(dòng)跨度值是不同的。這個(gè)值可以用上述提到的兩種方法求得。一般來說對同一信號，采樣時(shí)間間隔越短，即一個(gè)周期采樣點(diǎn)數(shù)越多，其跨度值就會越大。3. 端點(diǎn)效應(yīng)對LMD分解精度的影響由于實(shí)際分析的信號序列其長度總是有限的，無法知道端點(diǎn)以外的信號，所以端點(diǎn)附近的局域均值函數(shù)和局域包絡(luò)函數(shù)只能根據(jù)已知信號推測，這樣就不可避免的會產(chǎn)生誤差。LMD是通過相鄰極值點(diǎn)（一個(gè)極大值和一個(gè)極小值），計(jì)算得到局域均值函數(shù)，再經(jīng)過若干次滑動(dòng)平均得到光滑的局域均值函數(shù)。由求解局部均值函數(shù)公式：可以看出在信號左端點(diǎn)至第一個(gè)極值點(diǎn)（n1）之間，局域均值函數(shù)是一段未知信號，如下圖箭頭至左端點(diǎn)部分所示（為突出端點(diǎn)，截取了原始信號端點(diǎn)附近的部分信號）。同理，右端點(diǎn)部分也存在同樣的問題。LMD端點(diǎn)附近未知包絡(luò)信號下面就端點(diǎn)效應(yīng)對LMD分解精度的影響程度做進(jìn)一步討論：LMD分解會受到端點(diǎn)效應(yīng)的影響，由于局域均值包絡(luò)函數(shù)在端點(diǎn)處均存在一段未知的信號，若對端點(diǎn)不進(jìn)行處理，在程序運(yùn)行時(shí)，會自動(dòng)給這部分信號添加一些虛假信息，從而對LMD分解產(chǎn)生影響。LMD端點(diǎn)效應(yīng)首先發(fā)生在端點(diǎn)附近，然后在迭代過程中不斷向內(nèi)部擴(kuò)散，迭代次數(shù)越多端點(diǎn)效應(yīng)污染整個(gè)數(shù)據(jù)段的程度就越嚴(yán)重。端點(diǎn)效應(yīng)會使分解得到的各分量在端點(diǎn)附近產(chǎn)生一些變形，從而使結(jié)果不容易滿足循環(huán)終止條件，增加了循環(huán)次數(shù)，嚴(yán)重的時(shí)候會使數(shù)據(jù)產(chǎn)生嚴(yán)重失真。為減小端點(diǎn)效應(yīng)對算法的影響，在分解前要對端點(diǎn)經(jīng)行一定的處理，應(yīng)用最多的處理方法是鏡像延拓算法，鏡像延拓是在端點(diǎn)以外延拓一段信號。實(shí)際處理的信號兩端點(diǎn)一般不是極值點(diǎn)，這時(shí)候可以采用鏡像延拓的方法進(jìn)行拓展，在LMD算法中只延拓一個(gè)極值點(diǎn)就可以很好的消除端點(diǎn)效應(yīng)的影響。延拓方法如下圖所示，以離端點(diǎn)最近的一個(gè)極值點(diǎn)為對稱軸（如圖中虛線所示），將離端點(diǎn)次近的極值點(diǎn)向外延拓。在求解局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)的時(shí)候?qū)⑦@個(gè)延拓的極值點(diǎn)代入，即可求得完整的局部均值函數(shù)和局部包絡(luò)函數(shù)。極值點(diǎn)延拓示意圖為加深端點(diǎn)效應(yīng)對LMD分解精度影響的理解，現(xiàn)采用兩種端點(diǎn)處理方法經(jīng)行比較。方法一：極值點(diǎn)延拓處理端點(diǎn)，方法二：將端點(diǎn)值直接作為極值經(jīng)行計(jì)算。分解結(jié)果如圖a、圖b所示。圖a 極值點(diǎn)延拓處理得到的各PF分量 圖b 將端點(diǎn)作為極值點(diǎn)得到的各PF分量從圖中我們可以直觀的看出，采用極值點(diǎn)延拓方法，端點(diǎn)效應(yīng)得到了很好的抑制，兩個(gè)PF分量在端點(diǎn)處沒有引起大的變形。并且其殘余項(xiàng)的幅值也很小，可以忽略。而采用方法二時(shí)，雖然分解的PF分量保持了大致的形狀，可是端點(diǎn)部分卻出現(xiàn)了很明顯的變形，端點(diǎn)處的幅值變得很突出。由于端點(diǎn)效應(yīng)的影響，方法二比方法一多分解出了一個(gè)PF分量（PF3），PF3分量除端點(diǎn)部分外，其它部分幅值均很小，可以看作是端點(diǎn)效應(yīng)所帶來的誤差?？梢姸它c(diǎn)效應(yīng)對LMD算法影響很大，端點(diǎn)如