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小學(xué)奧數(shù)-整數(shù)裂項(xiàng)對(duì)于較長(zhǎng)的復(fù)雜算式,單單靠一般的運(yùn)算順序和計(jì)算方法是很難求出結(jié)果的。如果算式中每一項(xiàng)的排列都是有規(guī)律的,那么我們就要利用這個(gè)規(guī)律進(jìn)行巧算和簡(jiǎn)算。而裂項(xiàng)法就是一種行之有效的巧算和簡(jiǎn)算方法。通常的做法是:把算式中的每一項(xiàng)裂變成兩項(xiàng)的差,而且是每個(gè)裂變的后項(xiàng)(或前項(xiàng))恰好與上個(gè)裂變的前項(xiàng)(或后項(xiàng))相互抵消,從而達(dá)到“以短制長(zhǎng)”的目的。下面我們以整數(shù)裂項(xiàng)為例,談?wù)劻秧?xiàng)法的運(yùn)用,并為整數(shù)裂項(xiàng)法編制一個(gè)易用易記的口訣。后延減前伸 差數(shù)除以N例1、 計(jì)算12233445989999100分析:這個(gè)算式實(shí)際上可以看作是:等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100,先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘,再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為:數(shù)列公差為1,因數(shù)個(gè)數(shù)為2。12=(123-012)(13)23=(234-123)(13)34=(345-234)(13)45=(456-345)(13)9899=(9899100-979899)(13)99100=(99100101-9899100)(13)將以上算式的等號(hào)左邊和右邊分別累加,左邊即為所求的算式,右邊括號(hào)里面諸多項(xiàng)相互抵消,可以簡(jiǎn)化為(99100101-012)3。解:12+23+34+45+9899+99100 =(99100101-012)3 =333300例2、 計(jì)算355779979999101分析:這個(gè)算式實(shí)際上也可以看作是:等差數(shù)列3、5、7、997、99、101,先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘,再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為:數(shù)列公差為2,因數(shù)個(gè)數(shù)為2。35=(357-135)(23)57=(579-357)(23)79=(7911-579)(23)9799=(9799101-959799)(23)99101=(99101103-9799101)(23)將等號(hào)左右兩邊分別累加,左邊即為所求算式,右邊括號(hào)里面許多項(xiàng)可以相互抵消。 解:35+57+79+9799+99101 =(99101103-135)(23) =10298826 =171647 例3、 計(jì)算123234345969798979899分析:這個(gè)算式實(shí)際上可以看作是:等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100,先將所有的相鄰三項(xiàng)分別相乘,再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為:數(shù)列公差為1,因數(shù)個(gè)數(shù)為3。 123=(1234-0123)(14) 234=(2345-1234)(14) 345=(3456-2345)(14) 969798=(96979899-95969798)(14) 979899=(979899100-96979899)(14)右邊累加,括號(hào)內(nèi)相互抵消,整個(gè)結(jié)果為(979899100-0123)(14)。解:123+234+345+969798+979899 =(979899100-0123)(14) =23527350例4、 計(jì)算101622162228707682768288分析:算式的特點(diǎn)為:數(shù)列公差為6,因數(shù)個(gè)數(shù)為3。解:101622+162228+707682+768288 =(76828894-4101622)(64) =2147376通過(guò)以上例題,可以看出這類(lèi)算式的特點(diǎn)是:從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個(gè)數(shù)相乘,再把所有的乘積相加。其巧解方法是:先把算式中最后一項(xiàng)向后延續(xù)一個(gè)數(shù),再把算式中最前面一項(xiàng)向前伸展一個(gè)數(shù),用它們的差除以公差與因數(shù)個(gè)數(shù)加1的乘積。將以上敘述可以概括一個(gè)口訣是:等差數(shù)列數(shù),依次取幾個(gè)。所有積之和,裂項(xiàng)來(lái)求作。后延減前伸,差數(shù)除以N。N取什么值,兩數(shù)相乘積。公差要乘以,因個(gè)加上一。需要注意的是:按照公差向前伸展時(shí),當(dāng)伸展數(shù)小于0時(shí),可以取負(fù)數(shù),當(dāng)然是積為負(fù)數(shù),減負(fù)要加正。對(duì)于小學(xué)生,這時(shí)候通常是把第一項(xiàng)甩出來(lái),按照口訣先算出后面的結(jié)果再加上第一項(xiàng)的結(jié)果。此外,有些算式可以先通過(guò)變形,使之符合要求,再利用裂項(xiàng)求解。例5、 計(jì)算11+22+33+9999+100100分析:nn=(n-1)n+n解:11+22+33+9999+100100 =1+(12+2)+(23+3)+(9899+99)+(99100+100) =(12+23+9899+99100)+(1+2+3+99+100) =991001013+(1+100)1002 =333300+5050 =338350例6、 計(jì)算12+34+56+9798+99100分析:(n-1)n=(n-2)n+n解:12+34+56+78+9798+99100 =2+(24+4)+(46+6)+(68+8)+(9698+98)+(98100+100) =(24+46+68+9698+98100)+(2+4+6+8+98+100) =981001026+(2+100)502 =169150例7、 計(jì)算111+222+333+999999+100100100分析:nnn=(n-1)n(n+1)+n解:111+222+333+999999+100100100 =1+(123+2)+(234+3)+(9899100+99)+(99100101+100) =(123+234+9899100+99100101)+(1+2+3+99+100) =991001011024+(1+100)1002 =25492400例8、 計(jì)算13+24+35+46+98100+99101解:13+24+35+46+98100+99101 =(13+35+99101)+(24+46+98100) =(99101103-135)6+13+981001026=171650+166600=338250例9、 計(jì)算1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4+100)解:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4+100) =122+232+342+1001012 =(12+23+34+100101)2 =(1001011023)2 =171700將上面的口訣繼續(xù)編寫(xiě)是:前延比零小,取負(fù)就是了。小學(xué)不可為,首項(xiàng)先甩掉。平方和立方,變形再裂項(xiàng)。式長(zhǎng)要轉(zhuǎn)化
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