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高等代數(shù) 上 學習提綱 第一章 第四章節(jié)1 任課老師 周毅 一 基本概念 1 預備知識數(shù)域 含兩數(shù)且對四則運算封閉 映射 變換及其運算 單射 滿射 雙射 乘積映射 可逆映射 逆映射 2 矩陣及其相關(guān)概念矩陣的初等變換與等價關(guān)系矩陣的秩矩陣的運算 初等變換 加 減法 數(shù)乘 乘法 方冪 轉(zhuǎn)置 共軛 求逆 行列式初等矩陣一些特殊矩陣 對稱陣 反對稱矩陣 三角陣 冪零陣方陣的跡分塊矩陣行列式及它的余子式與代數(shù)余子式 3 向量空間向量及其線性運算 8條運算公理 向量組的表示 等價與相關(guān)性向量組的極大無關(guān)組與秩4 線性空間線性空間及線性運算公理線性空間的表示 等價 相關(guān)性 極大無關(guān)組及秩線性空間的基與維數(shù)線性空間中的元素在基下的坐標5 線性方程組理論線性方程組 齊次 非齊次 系數(shù)矩陣 增廣矩陣 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系非齊次線性方程組的特解 二 基本性質(zhì) 預備知識 矩陣及其相關(guān)概念 向量空間 線性空間 線性方程組理論 預備知識 1 單射 使得 滿射 使得 可逆 使得 記為2 代數(shù)學基本定理 矩陣及其相關(guān)概念 1 矩陣秩的性質(zhì) 矩陣的行 列秩在行 列初等變換下保持不變 矩陣的行 列秩在列 行初等變換下保持不變即 初等變換不改變矩陣的秩2 矩陣運算的性質(zhì)交換律 結(jié)合律 分配律 不同運算次序的交換3 矩陣秩的相關(guān)性質(zhì) 當 滿秩時取等號4 的性質(zhì) 且 矩陣及其相關(guān)概念 5 左行右列 法則6 滿秩為初等陣的乘積均為滿秩 可逆矩陣 使得 可逆滿秩為初等陣的乘積 使得 或者7 初等矩陣均可逆且其逆矩陣仍為初等陣8 求逆運算與其它運算的關(guān)系9 分塊矩陣的運算10 行列式的基本性質(zhì)11 行列式按行 按列 展開法12 向量空間 1 向量組的相 無關(guān)性 相關(guān)中至少有一個可以由其余個表示 無關(guān) 相關(guān)可以由表示且表示唯一相關(guān) 相關(guān)或者 部分相關(guān)整體相關(guān) 部分分量無關(guān)該向量組無關(guān) 個維向量相關(guān) 相關(guān) 相關(guān)或者2 無關(guān)且可以由表示 由此導出向量組 秩 的概念 線性空間 1 設(shè) 若可以由表示 則 若 則2 設(shè)為的基 其中 則無關(guān)無關(guān)3 設(shè)為的基 則為的基可逆4 坐標變換公式線性方程組解理論1 其中為階矩陣 當時 有非零解2 解的結(jié)構(gòu) 當時 方程組只有零解 當時 方程組由個解構(gòu)成基礎(chǔ)解系3 解的結(jié)構(gòu) 三 基本方法 由初等變換法解線性方程組由初等變換法求矩陣的秩 向量組的秩 判別相關(guān)