數(shù)學(xué)的故事研究性報(bào)告.docx

：沈晨宇數(shù)學(xué)的故事前序事先聲明：本研究性學(xué)習(xí)報(bào)告作于3.4.2016，部分資料引自世界數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)的故事及網(wǎng)絡(luò)。本次研究性活動，我選擇的主題是數(shù)學(xué)史的探究，意在重拾那些艱辛的數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的人和事，提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及培養(yǎng)我們對數(shù)學(xué)的興趣，也在警醒我們在平時(shí)的學(xué)校學(xué)習(xí)中能夠去對數(shù)學(xué)有著更深刻的認(rèn)識，而不要被課本上那些干巴巴的數(shù)學(xué)公式所迷惑了，也就產(chǎn)生了討厭數(shù)學(xué)的情緒。我只是一名普通的學(xué)生，但我對于數(shù)學(xué)的熱愛卻超過其他人。在我眼中，那些數(shù)學(xué)公式都顯得很迷人，很美麗。德國著名數(shù)學(xué)家卡爾弗里德里希高斯曾說過：數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性： 它們極易從事實(shí)中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人格奧爾格康托爾也曾說：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。數(shù)學(xué)，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種。而在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學(xué)也發(fā)揮著不可替代的作用，也是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基本工具。（摘自百度文庫）想想，人類自誕生之日起開始產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，發(fā)展至今，這可是人類智慧的最高體現(xiàn)，這在后面會提到。（為了表示創(chuàng)新，本報(bào)告以成書的形式展現(xiàn)）所以，請讓我?guī)ьI(lǐng)你們一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界，共感數(shù)學(xué)的魅力。 編者 序 3月4日2016年3月4日星期五目錄前序1第一章：四大文明古國的數(shù)學(xué)史（一）古埃及5一、埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會背景5二、古埃及的數(shù)學(xué)成就61、算術(shù)62、代數(shù)83、幾何9第二章：四大文明古國的數(shù)學(xué)史（二）古希臘和古巴比倫12古巴比倫人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)12古希臘人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)121、阿基米德對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)122、歐幾里得對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)133、后期的希臘數(shù)學(xué)15第三章：四大文明古國的數(shù)學(xué)史（三）古中國及古印度16中國數(shù)學(xué)16高次方程16內(nèi)插法16勾股解法17弧矢割圓術(shù)17縱橫圖18九章算術(shù)18印度數(shù)學(xué)偉大的“0”19第四章: 黑暗中世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就20第五章：曙光在現(xiàn)初等數(shù)學(xué)的發(fā)展23初等代數(shù)23偷來的卡丹公式與復(fù)數(shù)23韋達(dá)（代數(shù)學(xué)之父）23代數(shù)幾何學(xué)與初等幾何學(xué)24帕斯卡天才少年（射影幾何）24解析幾何24數(shù)論和概率25第六章：偉大的時(shí)代：變量的發(fā)展（分析數(shù)學(xué)）26牛頓和萊布尼茨的微積分26歐拉和柯西的微積分?jǐn)?shù)學(xué)分析27歐拉近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一28線性代數(shù)、矩陣論與向量場28高等數(shù)學(xué)29第七章：希望之光愈發(fā)完整的數(shù)學(xué)體系30群論組合數(shù)學(xué)30數(shù)論30集合論數(shù)理邏輯31抽象代數(shù)學(xué)32拓?fù)鋵W(xué)33拓?fù)涞挠蓙?3莫比烏斯帶與克萊因瓶34泛函分析36未來數(shù)學(xué)的發(fā)展36特別章一：數(shù)學(xué)三大危機(jī)37第一次數(shù)學(xué)危機(jī)37第二次數(shù)學(xué)危機(jī)37第三次數(shù)學(xué)危機(jī)37特別章二：數(shù)學(xué)九大問題38NP完全問題38霍奇猜想39龐加萊猜想39黎曼假設(shè)39楊米爾斯存在性和質(zhì)量缺口40納衛(wèi)爾-斯托可方程的存在性與光滑性40BSD猜想40費(fèi)馬大定理40希爾伯特23問40特別章三：最美麗的十大數(shù)學(xué)公式42特別章四：三大數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)與應(yīng)用45Mathematica45MATLAB47Maple50后序53推薦書目：54推薦視頻：54第一章：四大文明古國的數(shù)學(xué)史（一）古埃及 一、埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會背景埃及位于尼羅河岸，在古代分為兩個(gè)王國，夾在兩個(gè)高原中間的狹長谷地，叫做上埃及處于尼羅河三角洲的地帶叫做下埃及這兩個(gè)王國經(jīng)過長時(shí)期的斗爭，在公元前3200年實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)尼羅河經(jīng)常泛濫，淹沒良田在地界被沖刷的情況下，統(tǒng)治者要按不同數(shù)量征糧征稅，這樣，必須重新丈量土地實(shí)際上，埃及的幾何學(xué)就起源于此希臘的歷史學(xué)家希羅多德(Herodo-tus，約公元前484-前424)在歷史(Herodoti Historiae)一書中，明確指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全體埃及居民中間把埃及的土地作了一次劃分他把同樣大小的正方形土地分給所有的人，并要求土地持有者每年向他繳納租金，作為他的主要稅收如果河水泛濫，國王便派人調(diào)查并測量損失地段的面積這樣，他的租金就要按照減少后的土地的面積來征收了我想，正是由于有了這樣的做法，埃及才第一次有了幾何學(xué)，而希臘人又從那里學(xué)到了它”希臘數(shù)學(xué)家德謨克利特(Democritus，約公元前460-前357)也曾指出：“我不得不深信，幾乎埃及人都會畫證明各種直線的圖形，每個(gè)人都是拉繩定界的先師”所謂拉繩定界的先師(harpedonaptai)大概是指以拉繩為主要工具的測量師埃及人為了發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，必須注意尼羅河的泛濫周期，在實(shí)踐中，積累了許多天文知識和數(shù)學(xué)知識譬如，他們注意到當(dāng)天狼星和太陽同時(shí)出沒之時(shí)，就是尼羅河洪水將至之兆并把天狼星的兩個(gè)清晨上升的間隔當(dāng)作一年，它包含365天把一年分成12個(gè)月，每個(gè)月是30個(gè)晝夜并逐步摸索出用日晷來測量時(shí)間大約在公元前1500年，埃及人就已經(jīng)使用了水鐘-漏壺，它是底部有洞的容器把這個(gè)容器灌滿水，水從下面的孔里流完的這段時(shí)間作為計(jì)算時(shí)間的單位所有這些都蘊(yùn)含了計(jì)算建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事根據(jù)對其結(jié)構(gòu)、形狀的研究，可推測古代埃及人掌握了一定的幾何知識，致使底兩個(gè)邊與正北的偏差，一個(gè)僅僅是230，一個(gè)是530這類的實(shí)際建筑，推動了埃及數(shù)學(xué)計(jì)算的發(fā)展綜上，社會的生產(chǎn)、生活的實(shí)際需要，促使埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展。二、古埃及的數(shù)學(xué)成就1、算術(shù)古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的，例如根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的，必須要數(shù)“個(gè)位數(shù)”、“十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個(gè)數(shù)但在計(jì)算乘法時(shí)，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運(yùn)算過程比較簡便乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對應(yīng)結(jié)果相加例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著1212的計(jì)算方法，是從右往左讀的右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)由下表可知，計(jì)算的方法是把12依次擴(kuò)大2倍，那么1212為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字在左側(cè))標(biāo)記斜線，算得結(jié)果144在更早的時(shí)期，埃及人也曾采用“減半法”來計(jì)算乘法首先是將一乘數(shù)擴(kuò)大10倍，然后再計(jì)算10倍的一半例如紙草書(卡芬版)第6頁，計(jì)算1616，是按如下方法計(jì)算的，即減半法(mediatio)/1 16/10160/580合計(jì)256這種乘法的計(jì)算方法是古代人計(jì)算技能的基礎(chǔ)，是非常古老的方法希臘時(shí)期的學(xué)校曾講授過埃及人的計(jì)算方法，到了中世紀(jì)，還講授“倍增法”和“減半法”除法：埃及人很早就認(rèn)識到除法是乘法的逆運(yùn)算，并蘊(yùn)含在實(shí)際計(jì)算之中例如，計(jì)算112080(見蘭德紙草書第69頁) 180/10 8002 160/4320合計(jì)1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個(gè)80分?jǐn)?shù)：古埃及人對分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算都比現(xiàn)在復(fù)雜得多例如，他們把2/3理解為兩個(gè)部分，并且把能使“兩個(gè)部分”變?yōu)橐粋€(gè)部分叫做“第三部分”例如，這樣，通過二個(gè)部分與第三部分；三個(gè)部分與第四部分的結(jié)合來表示出一個(gè)整體現(xiàn)在的西歐，有時(shí)也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達(dá)三分之一、四分之一這類分?jǐn)?shù)的含義按此規(guī)律理解，五分之一可認(rèn)為與四個(gè)部分結(jié)合成一個(gè)整體的第五部分從語言的角度，五分之二(twofifths)就無法表達(dá)了隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大，計(jì)算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))來表示分?jǐn)?shù)：對一般分?jǐn)?shù)則拆成“單位分?jǐn)?shù)”表示例如，(用現(xiàn)代符號表示)2、代數(shù)在蘭德紙草書中，因?yàn)榍蠛粋€(gè)未知量的方程解法在埃及語中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”“阿哈算法”實(shí)際上是求解一元一次方程式的方法蘭德紙草書第26題則是簡單一例用現(xiàn)代語言表達(dá)為：古埃及人是按照如下方法計(jì)算的：把4加上它的1/4得5，然后，將15除以5得3，最后將4乘以3得12，則12即是所求的量這種求解方法也稱“暫定前提”(false assumption)法，即：首先，根據(jù)所求的量而選擇一個(gè)數(shù)在蘭德紙草書第26題中，選擇了4因?yàn)閷?shí)際上，這個(gè)問題用列方程的方法很容易計(jì)算設(shè)所求量為x，則：解之得：x12在用“阿哈算法”求解的問題中，也含有求平方根的問題，柏林紙草書中有如下的問題：方形，兩個(gè)正方形面積的和為100，試計(jì)算兩個(gè)正方形的邊長”不妨從“暫定的前提”出發(fā)，首先取邊長為1的正方形，那么另一方形的邊長分別為8和6如果列成現(xiàn)代的方程式求解，是很簡單的所以，兩個(gè)正方形的邊長分別為8和6埃及人對“級數(shù)”也有了簡單的認(rèn)識，在紙草書中，用象形文字寫出一列數(shù)7，49，343，2401，16807，并與之對應(yīng)一列詞：“圖畫”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數(shù)為19607實(shí)際上，這是公比為7的等比數(shù)列對此，有的數(shù)學(xué)史家解釋為：“有7個(gè)人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7容器大麥”從這個(gè)題目中，可以寫出怎樣的一列數(shù)，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數(shù)列和的問題3、幾何埃及人創(chuàng)建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內(nèi)容他們曾提出計(jì)算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡等法則埃及人能應(yīng)用正確的公式來計(jì)算三角形、長方形、梯形的面積把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積另外，埃及人還能對不同的面積單位進(jìn)行互相換算在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關(guān)于三角形和四邊形面積計(jì)算問題，如圖11但是，他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對的，只是長方形時(shí)，這才是正確的計(jì)算公式埃及人曾采用s(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計(jì)算圓的面積由此得到：能把值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，在那個(gè)時(shí)代，應(yīng)該說是一件了不起的事，巴比倫人在數(shù)學(xué)高度發(fā)展時(shí)期，還常常取3在計(jì)算體積方面，經(jīng)考察蘭德等紙草書發(fā)現(xiàn)，埃及人已經(jīng)知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計(jì)算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”有材料證實(shí)，在埃及幾何中，最突出的一項(xiàng)工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示為：其中h是高，a和b是下、上底的邊長像這樣的公式，若認(rèn)為是靠經(jīng)驗(yàn)得到的，理由則是不夠充分的按當(dāng)時(shí)埃及人已掌握的數(shù)學(xué)知識，我們可做如下理論推導(dǎo)：把正棱臺分成4個(gè)部分，即1個(gè)長方體、2個(gè)棱柱、1個(gè)棱錐如圖12，假如棱錐的體積是已知的，可得公式：可推測，(1)式是由(2)式的代數(shù)變形得到的，但是，當(dāng)時(shí)的埃及人比較擅長于具體數(shù)值的計(jì)算，還沒掌握對一般量的推導(dǎo)這里似乎埃及受巴比倫代數(shù)的影響，掌握了一定的數(shù)學(xué)推理方法從公式(2)推出公式(1)，可考慮采用了如下方法：假定一個(gè)棱垂直于底面，把圖12中的兩個(gè)棱柱分別變?yōu)楦呤窃?，最下層為a2，中間層為ab，最上層為b2由此可得到其總體體積為：與(1)式相符第二章：四大文明古國的數(shù)學(xué)史（二）古希臘和古巴比倫（鑒于古巴比倫文明的數(shù)學(xué)史沒有古希臘及古埃及及古中國的數(shù)學(xué)史輝煌，將相應(yīng)減少篇幅）古巴比倫人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)巴比倫人從遠(yuǎn)古時(shí)代開始，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)知識，并能應(yīng)用于解決實(shí)際問題從數(shù)學(xué)本身看，他們的數(shù)學(xué)知識也只是觀察和經(jīng)驗(yàn)所得，沒有綜合結(jié)論和證明，但是，也要充分認(rèn)識他們對數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn)1在算術(shù)方面，他們對整數(shù)和分?jǐn)?shù)有了較系統(tǒng)的寫法，在記數(shù)中，已經(jīng)有了位值制的觀念，從而把算術(shù)推進(jìn)到一定的高度，并用之于解決許多實(shí)際問題，特別是天文方面的問題2在代數(shù)方面，巴比倫人用特殊的名稱和記號來表示未知量，采用了少數(shù)幾個(gè)運(yùn)算記號，解出了含有一個(gè)或較多個(gè)未知量的幾種形式的方程，特別是解出了二次方程，這些都是代數(shù)的開端巴比倫人能夠求解的方程類型可簡略歸納如下：axb，x2a，x2+axb，x2-axb，x3=a，x2(x+1)a在解決實(shí)際問題中，他們能夠通過算術(shù)運(yùn)算方法解二元一次方程組，例如以下幾種類型：3在幾何方面，巴比倫人認(rèn)識到了關(guān)于平行線間的比例關(guān)系和初步的畢達(dá)哥拉斯定理，會求出簡單幾何圖形的面積和體積，并建立了在特定情況下的底面是正方形的棱臺體積公式4在天文學(xué)方面，他們已有一系列長期觀察記錄，并且已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多準(zhǔn)確性很高的天文學(xué)周期他們計(jì)算月球和行星的運(yùn)動，給出天體在不同時(shí)期所處位置的數(shù)表，并計(jì)算天文歷書等古希臘人對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)1、阿基米德對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)阿基米德(Archimedes，公元前287-前212)是數(shù)學(xué)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，近代數(shù)學(xué)史家貝爾(ETBell，1883-1960)說：“任何一張列出有史以來三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定包括阿基米德，另外兩個(gè)通常是牛頓和高斯不過以他們的豐功偉績和所處的時(shí)代背景來比，拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來比較，還應(yīng)首推阿基米德”阿基米德的名字在他同時(shí)代的人們中成為賢明的象征，他會用簡單的方法解最難的問題古希臘著名的作家和歷史學(xué)家普魯塔克(Plutarch，公元前1世紀(jì))說：把這樣困難的題目解決得如此簡單和明白，在數(shù)學(xué)里沒有聽到過，假如有誰嘗試一下自己解這些題目，他會什么也得不到但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就會立刻得出這樣的印象，這個(gè)解法他自己也會找到阿基米德用如此容易和簡明的方法把我們引向目的阿基米德的數(shù)學(xué)思想中蘊(yùn)涵微積分，阿基米德的方法論中已經(jīng)“十分接近現(xiàn)代微積分”，這里有對數(shù)學(xué)上“無窮”的超前研究，貫穿全篇的則是如何將數(shù)學(xué)模型進(jìn)行物理上的應(yīng)用。他所缺的是沒有極限概念，但其思想實(shí)質(zhì)卻伸展到17世紀(jì)趨于成熟的無窮小分析領(lǐng)域里去，預(yù)告了微積分的誕生。阿基米德將歐幾里德提出的趨近觀念作了有效的運(yùn)用。他利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，后世的數(shù)學(xué)家依據(jù)這樣的“逼近法”加以發(fā)展成近代的“微積分”。阿基米德還利用割圓法求得的值介于3.14163和3.14286之間。另外他算出球的表面積是其內(nèi)接最大圓面積的四倍，又導(dǎo)出圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，這個(gè)定理就刻在他的墓碑上。7 阿基米德研究出螺旋形曲線的性質(zhì)，現(xiàn)今的“阿基米德螺線”曲線，就是因?yàn)榧o(jì)念他而命名。另外他在數(shù)沙者一書中，他創(chuàng)造了一套記大數(shù)的方法，簡化了記數(shù)的方式。阿基米德的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。他把歐幾里得嚴(yán)格的推理方法與柏拉圖鮮艷的豐富想象和諧地結(jié)合在一起，達(dá)到了至善至美的境界，從而“使得往后由開普勒、卡瓦列利、費(fèi)馬、牛頓、萊布尼茨等人繼續(xù)培育起來的微積分日趨完美”。2、歐幾里得對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)歐幾里得（Euclid）是古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)者。歐幾里得出生于雅典，當(dāng)時(shí)雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當(dāng)他還是個(gè)十幾歲的少年時(shí)，就迫不及待地想進(jìn)入柏拉圖學(xué)園學(xué)習(xí)。一天，一群年輕人來到位于雅典城郊外林蔭中的柏拉圖學(xué)園。只見學(xué)園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內(nèi)! ”這是當(dāng)年柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學(xué)生們知道他對數(shù)學(xué)的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊涂了。有人在想，正是因?yàn)槲也欢當(dāng)?shù)學(xué)，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什么?正在人們面面相覷，不知是進(jìn)是退的時(shí)候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學(xué)園大門，頭也沒有回地走了進(jìn)去。幾何原本是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作。它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例。這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，在西方是僅次于圣經(jīng)而流傳最廣的書籍。幾何原本是一部集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體的不朽之作。并把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系幾何學(xué)。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)歐幾里得生活時(shí)期前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚(yáng)光大。它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。歐幾里得所著的原本大約成書于公元前300年，原書早已失傳。全書共分13卷。書中包含了5個(gè)“假設(shè)(Postulates)”、5條“公設(shè)(Common Notions)”、23個(gè)定義(Definitions)和48個(gè)命題(Propositions)。在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨(dú)具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容。其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個(gè)證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結(jié)論。對后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。兩千多年來，幾何原本一直是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過幾何原本，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。1582年，意大利人利瑪竇到中國傳教，帶來了15卷本的原本。1600年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟（1562-1633）與利瑪竇相識后，便經(jīng)常來往。1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為幾何原本。后9卷是1857年由中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811-1882）和英國人偉烈亞力譯完的。3、后期的希臘數(shù)學(xué)在希臘后期，雖然對歐幾里得幾何原本沒有做出根本性改革，但也作了很多添補(bǔ)工作對此，首先做出貢獻(xiàn)的是海倫海倫(Heron，約公元60年)著關(guān)于測量儀(Dioptra)一書，其中提出了確定羅馬和亞歷山大之間的時(shí)差問題的一個(gè)較復(fù)雜的方法，并用這種儀器觀測兩地的月食海倫的著作主要是由幾何學(xué)、應(yīng)用幾何學(xué)、應(yīng)用機(jī)械學(xué)合編成的一部百科全書性質(zhì)的書籍-幾何在這部著作中，闡述了象測量儀一類器具的使用方法他還注釋了歐幾里得的著作以及撰寫有關(guān)面積和體積的書籍，但其名著是測量術(shù)這部著作分三篇，第一篇是面積的計(jì)算；第二篇是體積的計(jì)算；第三篇是解決面積和體積的有關(guān)比例問題可是希臘數(shù)學(xué)在羅馬崛起后逐漸走向衰落。希臘數(shù)學(xué)衰退在公元最初幾個(gè)世紀(jì)里一直持續(xù)著當(dāng)丟番圖去世后，到了公元5世紀(jì)時(shí)，希臘數(shù)學(xué)到達(dá)了衰落的頂點(diǎn)當(dāng)時(shí)羅馬已經(jīng)成為世界之王，她的領(lǐng)土從印度河一直伸展到直布羅陀海峽，從尼羅河直到不列顛海岸由于羅馬人不關(guān)心智慧的追求，只需要食物和娛樂(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不關(guān)心，因此，羅馬人在頭幾個(gè)世紀(jì)里，他們對數(shù)學(xué)或科學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)很小西撒羅在他的塔斯克來尼恩講話(Tusculanian Oratio ns)中曾為這個(gè)事實(shí)而痛惜他感嘆道：“希臘人給予幾何學(xué)家以最高的榮譽(yù)；因此他們中間沒有什么東西比數(shù)學(xué)發(fā)展得更光輝燦爛了但是我們卻把這門藝術(shù)局限于測量和計(jì)算的應(yīng)用方面”第三章：四大文明古國的數(shù)學(xué)史（三）古中國及古印度中國的貢獻(xiàn)主要是中國剩余定理和秦九韶用類似牛頓的方法求高次方程的近似解。印度的一個(gè)重要成就是發(fā)明了數(shù)學(xué)0，這讓數(shù)的表示簡單多了，另外就是印度人發(fā)明的數(shù)字被阿拉伯人傳到了歐洲（就是阿拉伯?dāng)?shù)字），之后歐洲的代數(shù)開始發(fā)展，塔塔利亞掌握了解一元三次方程的方法。 中國數(shù)學(xué)高次方程把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程（包括系數(shù)為負(fù)的情形）解法的是劉益（12世紀(jì)中期）。楊輝算法中田畝比類乘除捷法卷下介紹了原書中22個(gè)二次方程和1個(gè)四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在數(shù)書九章中收集了21個(gè)用增乘開方法解高次方程（最高次數(shù)為10）的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計(jì)算程序，秦九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)。他把高次方程解法分成各種類型，如：n次項(xiàng)系數(shù)不等于1的方程，奇次冪系數(shù)均為零的方程，進(jìn)行x=y+代換后常數(shù)項(xiàng)變號的方程與常數(shù)項(xiàng)符號不變而絕對值增大的方程等。方程的根為非整數(shù)時(shí)，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母、常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是九章算術(shù)和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第 2位數(shù)時(shí)，秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第 2位數(shù)的試除法。秦九韶的方法比霍納方法早500多年。從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。祖頤在四元玉鑒后序中提到，平陽李德載兩儀群英集臻有天、地二元，霍山劉大鑒乾坤括囊有天、地、人三元。燕山朱漢卿“按天、地、人、物立成四元”。前二書已失傳，留傳至今并對這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的四元玉鑒。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法無疑是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央。四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上，其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法。其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個(gè)一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，得到一個(gè)一元高次方程。最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展。朱世杰的方法比西方同類方法早400多年。內(nèi)插法元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在授時(shí)歷（1280）中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。一次同余式組解法 孫子算經(jīng)“物不知數(shù)”題已提到一次同余式組解法的例子，秦九韶把它一般化。在這個(gè)方法中有一個(gè)必須解決的關(guān)鍵問題是求同余式kiGi呏1(modi）中的ki，式中公式秦九韶在數(shù)書九章大衍類里，用更相減損的方法給出ki一個(gè)計(jì)算程序，完滿地解決了這個(gè)問題，此外，秦九韶還討論了模數(shù)i是收數(shù)（小數(shù)）、通數(shù)（分?jǐn)?shù)）、元數(shù)（一般正整數(shù)）、復(fù)數(shù)（10n的倍數(shù)）非兩兩互素的情形，并分別給出變上述4種數(shù)為兩兩互素的模數(shù)的方法。高次方程立法用天元（相當(dāng)于 x）作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)。這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號，并用符號運(yùn)算來解決建立高次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的測圓海鏡。李冶在一次項(xiàng)系數(shù)右旁記一“元”字（或在常數(shù)項(xiàng)右旁記一“太”字）。元以上的系數(shù)分別表示各正次冪，元以下的系數(shù)表示常數(shù)和各負(fù)次冪（在益古演段中又把這個(gè)次序倒轉(zhuǎn)過來）。建立方程的具體方法是，根據(jù)問題的已知條件，列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式p1(x）和p2(x），令二者相減，即得一個(gè)數(shù)字高次方程。若其中一個(gè)多項(xiàng)式是分式多項(xiàng)式，如公式公式，李冶則變另一多項(xiàng)式p2(x）為使二者相減時(shí)消去分式多項(xiàng)式的分母，得公式這是劉徽關(guān)于率的概念在多項(xiàng)式運(yùn)算中的應(yīng)用與發(fā)展。1勾股解法勾股形解法在宋元時(shí)期有新的發(fā)展，朱世杰在算學(xué)啟蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補(bǔ)充了九章算術(shù)的不足。李冶在測圓海鏡對勾股容圓問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到一系列的結(jié)果。他把容圓勾股形分成14個(gè)相似的勾股形，除按傳統(tǒng)的方法給出這些勾股形的名稱外，還用文字作符號來表示，與現(xiàn)今用字母A，B，C，表示幾何圖形相似。從14個(gè)勾股形中，李冶得到692條“識別雜記”，闡明各勾股形的線段之間與線段的和、差、積之間的關(guān)系。除原有的勾股容圓外，李冶得到勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半等9個(gè)容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容?；∈父顖A術(shù)已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個(gè)解球面直角三角形的問題。傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括的會圓術(shù)（已知弦、矢、半徑求弧長的近似公式）和天元術(shù)解決了這個(gè)問題。由于王恂、郭守敬求直徑時(shí)用圓周率3以及沈括的公式是一個(gè)近似公式，因此結(jié)果不夠精確。除此以外，整個(gè)推算步驟是正確無誤的。從數(shù)學(xué)意義上講，這個(gè)方法開辟了通往球面三角法的途徑?？v橫圖縱橫圖又稱幻方，根據(jù)乾鑿度和東漢鄭玄注，至遲在漢代已有一個(gè)三行縱橫圖。宋元時(shí)期，縱橫圖研究有了很大發(fā)展，楊輝在續(xù)古摘奇算法中記錄了這方面的成就。楊輝指出，九宮圖是一個(gè)從132的9個(gè)自然數(shù)排成三行三列，其行、列或?qū)蔷€之和均為15的三行縱橫圖。這種圖可以推廣到從 1到n2的情形，它的行、列或?qū)蔷€之和為n（1+n2）/2。他還列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8個(gè)縱橫圖,并指出三行和四行縱橫圖的構(gòu)造方法。楊輝的這一工作為這個(gè)領(lǐng)域的研究開辟了道路。小數(shù) 現(xiàn)傳本夏侯陽算經(jīng)已有化名數(shù)為十進(jìn)小數(shù)的例子。宋元時(shí)代，這種十進(jìn)小數(shù)有了廣泛應(yīng)用和發(fā)展，秦九韶用名數(shù)作為小數(shù)的符號，例如18.56寸表示如圖1；李冶則依靠算式的位置表示，例如8.25x2+2.673=0表示如圖2。楊輝和朱世杰的化斤價(jià)為兩價(jià)的歌訣，是小數(shù)的具體應(yīng)用。戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有墨經(jīng)中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題，例如：“圓，一中同長也”、“平，同高也”等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。莊子記載了惠施等人的名家學(xué)說和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題，強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如“至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。此外，講述陰陽八卦，預(yù)言吉兇的易經(jīng)已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想。 九章算術(shù)它是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種，成于公元一世紀(jì)左右。該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就。同時(shí)，九章算術(shù)在數(shù)學(xué)上還有其獨(dú)到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，方程章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。九章算術(shù)的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，其中每道題有問(題目)、答(答案)、術(shù)(解題的步驟，但沒有證明)，有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰(音cui)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作;其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造;方程章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。在代數(shù)方面，九章算術(shù)在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則;中學(xué)講授的線性方程組的解法和九章算術(shù)介紹的方法大體相同。注重實(shí)際應(yīng)用是九章算術(shù)的一個(gè)顯著特點(diǎn)。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。九章算術(shù)是幾代人共同勞動的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成.后世的數(shù)學(xué)家，大都是從九章算術(shù)開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識的。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書?？梢哉f，九章算術(shù)是中國為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的又一杰出貢獻(xiàn)。在九章算術(shù)中有許多數(shù)學(xué)問題都是世界上記載最早的。例如，關(guān)于比例算法的問題，它和后來在16世紀(jì)西歐出現(xiàn)的三分律的算法一樣。關(guān)于雙設(shè)法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹算法，13世紀(jì)以后的歐洲數(shù)學(xué)著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數(shù)學(xué)知識向西方傳播的一個(gè)證據(jù)。印度數(shù)學(xué)偉大的“0”印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學(xué)的起源和其他古老的民族的數(shù)學(xué)起源一樣，是在生產(chǎn)實(shí)際需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。在印度，整數(shù)的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法產(chǎn)生于6世紀(jì)以前，用9個(gè)數(shù)字和表示0的小圓圈，再借助位值便可寫出任何數(shù)字。由此建立了算術(shù)運(yùn)算。對于0，他們并不陌生。后來演變成了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等阿拉伯?dāng)?shù)字。印度對數(shù)學(xué)做出了大貢獻(xiàn)。他們計(jì)算過算術(shù)級數(shù)的和，解決過折扣等商業(yè)問題。第四章: 黑暗中世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就算數(shù)原理（算數(shù)入門波愛修）算術(shù)入門(Introduction to Arithmetic) 古希臘數(shù)學(xué)著作.希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家尼科馬霍斯(Nico-machus, (G)著.這是古希臘數(shù)學(xué)中第一本完全脫離幾何講法的算術(shù)(即數(shù)論)書，對算術(shù)成為一個(gè)獨(dú)立學(xué)科起了重要作用.它對于算術(shù)的重要性可以與歐幾里得(Euclid )的幾何原本對于幾何的重要性相比，它成為此后一千年間的標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)課本.尼科馬霍斯屬于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他在哲學(xué)思想和數(shù)的理論方面都繼承了畢氏學(xué)派的衣缽，使已趨衰亡的畢氏學(xué)派的傳統(tǒng)重新活躍起來.他強(qiáng)調(diào)算術(shù)是各科之母，認(rèn)為這“不僅是因?yàn)槲覀冋f它在造物主的心中先于其他一切而存在而且也因?yàn)樗緛砭褪谴嬖谳^早的”畢氏學(xué)派關(guān)于數(shù)的神秘現(xiàn)象在他的著作中得到全面反映。斐波那契歐洲，黑暗時(shí)代以后第一位有影響的數(shù)學(xué)家斐波那契(約11751240)，其拉丁文代表著作算經(jīng)、幾何實(shí)踐等也是根據(jù)阿拉伯文與希臘文材料編譯而成的，斐波那契，即比薩的列昂納多(Leonardo of Pisa)，早年隨父在北非從師阿拉伯人習(xí)算，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后即寫成算經(jīng)(Liber Abac1202，亦譯作算盤書)。算經(jīng)最大的功績是系統(tǒng)介紹印度記數(shù)法，影響并改變了歐洲數(shù)學(xué)的面貌。現(xiàn)傳算經(jīng)是1228年的修訂版，其中還引進(jìn)了著名的斐波那契數(shù)列。幾何實(shí)踐(Practica Geometriae， 1220)則著重?cái)⑹鱿ＥD幾何與三角術(shù)。斐波那契其他數(shù)學(xué)著作還有平方數(shù)書VLiberQuadratorum， 1225)、花朵(Flos， 1225)等，前者專論二次丟番圖方程，后者內(nèi)容多為菲德里克(Frederick)二世宮廷數(shù)學(xué)競賽問題。斐波那契數(shù)列與黃金分割律（畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)）斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列、因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、遞推公式斐波那契數(shù)列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .如果設(shè)F(n）為該數(shù)列的第n項(xiàng)（nN*），那么這句話可以寫成如下形式：顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。2通項(xiàng)公式(如上，又稱為“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例。)注：此時(shí)有趣的是，這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值小數(shù)部分越來越逼近0.618）。11=1，12=0.5，23=0.666.，35=0.6，58=0.625，5589=0.617977144233=0.6180254636875025=0.6180339886.越到后面，這些比值越接近黃金比.將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、秦九韶秦九韶，字道古。普州安岳(今四川安岳)人。南宋嘉定元年(1208年)生；約景定二年(1261年)卒于梅州。中國秦九韶潛心研究數(shù)學(xué)多年，在湖州守孝三年，所寫成的世界數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章，癸辛雜識續(xù)集稱作數(shù)學(xué)大略，永樂大典稱作數(shù)書九章。全書九章十八卷，九章九類：“大衍類”、“天時(shí)類”、“田域類”、“測望類”、“賦役類”、“錢谷類”、“營建類”、“軍旅類”、“市物類”，每類9題（9問）共計(jì)81題（81問），該書內(nèi)容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建筑、運(yùn)輸，各種幾何圖形和體積，錢谷、賦役、市場、牙厘的計(jì)算和互易。許多計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)直到現(xiàn)在仍有很高的參考價(jià)值和實(shí)踐意義，被譽(yù)為“算中寶典”。該書著述方式，大多由“問曰”、“答曰”、“術(shù)曰”、“草曰”四部分組成：“問曰”，是從實(shí)際生活中提出問題；“答曰”，給出答案；“術(shù)曰”，闡述解題原理與步驟；“草曰”，給出詳細(xì)的解題過程。此書已為國內(nèi)外科學(xué)史界公認(rèn)的一部世界數(shù)學(xué)名著。此書不僅代表著當(dāng)時(shí)中國數(shù)學(xué)的先進(jìn)水平，也標(biāo)志著中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)的成績之一。我國數(shù)學(xué)史家梁宗巨評價(jià)道：“秦九韶的數(shù)書九章（1247年）是一部劃時(shí)代的巨著，內(nèi)容豐富，精湛絕倫。特別是大衍求一術(shù)（不定方程的中國獨(dú)特解法）及高次代數(shù)方程的數(shù)值解法，在世界數(shù)學(xué)史上占有崇高的地位。那時(shí)歐洲漫長的黑夜猶未結(jié)束，中國人的創(chuàng)造卻像旭日一般在東方發(fā)出萬丈光芒。古代數(shù)學(xué)家。李治與方程理論新進(jìn)展李冶由于擺脫了幾何思維束縛，在方程理論上取得了四項(xiàng)進(jìn)展：第一，他改變了傳統(tǒng)的把常數(shù)項(xiàng)看作正數(shù)的觀念，常數(shù)項(xiàng)可正可負(fù)，而不再拘泥于它的幾何意義。第二，李冶已能利用天元術(shù)熟練地列出高次方程。在這里，未知數(shù)已具有純代數(shù)意義，二次方并非代表面積，三次方程也并非代表體積。第三，李冶完整解決了分式方程問題，他已懂得用方程兩邊同乘一個(gè)整式的方法化分式方程為整式方程。第四，李冶已懂得用純代數(shù)方法降低方程次數(shù)。當(dāng)方程各項(xiàng)含有公因子xn（n為正整數(shù)）時(shí)，李冶便令次數(shù)最低的項(xiàng)為實(shí)，其他各項(xiàng)均降低這一次數(shù)。此外，他還發(fā)明了負(fù)號。第五章：曙光在現(xiàn)初等數(shù)學(xué)的發(fā)展 初等代數(shù)偷來的卡丹公式與復(fù)數(shù)卡丹說服塔爾塔利亞將他的解答告訴他，再三保證不會將他的方式寫在他即將出版的書內(nèi)，塔爾塔利亞答應(yīng)了并要cardan保證用密碼寫下以免其它人得知，而cardan那年后來出版的兩本書也的確沒有將解答公布，塔爾塔利亞也就放心了。后來卡丹cardan和費(fèi)拉里ferrari得知塔爾塔利亞并非第一個(gè)解出三次方的人，斐洛ferro才是，于是卡丹cardan認(rèn)為雖然他已經(jīng)發(fā)誓不說塔爾塔利亞的方式，但卻沒說出版斐洛ferro的公式，于是1545年卡丹Hieronimo Cardan背信出版了技術(shù)大ArsMagna，內(nèi)容包括介紹了三次方程式的解答并將三次方程求根公式稱之為卡丹公式。他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫成 ，盡管他認(rèn)為和這兩個(gè)表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（15961650），他在幾何學(xué)（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。韋達(dá)（代數(shù)學(xué)之父）韋達(dá)最重要的貢獻(xiàn)是對代數(shù)學(xué)的推進(jìn)，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進(jìn)了方程論的發(fā)展。韋達(dá)用“分析”這個(gè)詞來概括當(dāng)時(shí)代數(shù)的內(nèi)容和方法。他創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有分析方法入門、論方程的識別與訂正等多部著作。韋達(dá)從事數(shù)學(xué)研究只是出于愛好，然而他卻完成了代數(shù)和三角學(xué)方面的巨著。他的應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律(1579年)是韋達(dá)最早的數(shù)學(xué)專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數(shù)解平面和球面三角形方法的系統(tǒng)著作。他被稱為現(xiàn)代代數(shù)符號之父。韋達(dá)還專門寫了一篇論文截角術(shù)，初步討論了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代數(shù)變換應(yīng)用到三角學(xué)中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數(shù)并給出當(dāng)n11等于任意正整數(shù)的倍角表達(dá)式。他的解析方法入門一書(1591年)，集中了他以前在代數(shù)方面的大成，使代數(shù)學(xué)真正成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)優(yōu)秀分支。他對方程論的貢獻(xiàn)是在論方程的整理和修正一書中提出了二次、三次和四次方程的解法。代數(shù)幾何學(xué)與初等幾何學(xué)帕斯卡天才少年（射影幾何）帕斯卡(BPascal，16231662)是德扎格的學(xué)生，僅僅活了39歲他是一位了不起的天才，在微積分、概率、代數(shù)、射影幾何等方面都作出了引人注目的貢獻(xiàn)，他是手搖計(jì)算機(jī)的發(fā)明者，還是法國著名的文學(xué)家，物理方面的成就也不少這里著重談他的射影幾何方面的工作帕斯卡的略論圓錐曲線中最著名的結(jié)果是下述定理：若一個(gè)六邊形內(nèi)接于一圓錐曲線，則每兩條對邊相交而得的三點(diǎn)在同一直線上如圖105，P，Q及R在同一直線上若六邊形的對邊兩兩平行，則P，Q，R在無窮遠(yuǎn)線上該定理被后人稱為帕斯卡定理，在射影幾何里是十分重要的解析幾何笛卡爾和他的坐標(biāo)：笛卡爾對數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了解析幾何。在笛卡兒時(shí)代，代數(shù)還是一個(gè)比較新的學(xué)科，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡兒致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來的研究，并成功地將當(dāng)時(shí)完全分開的代數(shù)和幾何學(xué)聯(lián)系到了一起。于1637年，在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，而微積分又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基石。解析幾何直到現(xiàn)在仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一。笛卡兒所著的幾何分三卷第一卷的前半部分是解析幾何的預(yù)備知識，通過典型例題說明如何把代數(shù)用于幾何，解決尺、規(guī)作圖問題；后半部分則包含笛卡兒解析幾何的基本理論第二卷討論曲線方程的推導(dǎo)及曲線性質(zhì)，提出按方程次數(shù)對曲線進(jìn)行分類的方法第三卷討論如何用圓錐曲線解高次方程，以及高次方程的性質(zhì)這位數(shù)學(xué)巨匠也有浪漫的一面，就比如說克里斯汀心形線。費(fèi)馬的平面與立體軌跡引論是他在解析幾何方面的代表作這本書是1630年寫成的，但一直到1679年才出版，那時(shí)費(fèi)馬已經(jīng)死了14年費(fèi)馬的著作表明，他的研究工作是以古希臘阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論為出發(fā)點(diǎn)的他在書的開頭寫道：“毫無疑問，古人對于軌跡寫得非常多可是，如果我沒有想錯(cuò)的話，他們對于軌跡的研究并非是那么容易的原因只有一個(gè)：他們對軌跡沒有給予充分而又一般的表示”費(fèi)馬認(rèn)為給軌跡一般表示只能靠代數(shù)他很熟悉韋達(dá)的代數(shù)工作，又受到前人用代數(shù)解決幾何問題的啟發(fā)，所以他著手解決軌跡的一般表示的問題時(shí)，就毫不猶豫地求助于代數(shù)他不僅使代數(shù)與幾何結(jié)為伴侶，更重要的是他把變量思想用于數(shù)學(xué)研究，這正是他比哈里奧特等人高明的地方，也是他創(chuàng)立解析幾何的主要思想基礎(chǔ)費(fèi)馬的主要貢獻(xiàn)在于他對曲線的證明以及對坐標(biāo)的發(fā)展。解析幾何通過形和數(shù)的結(jié)合，使數(shù)學(xué)成為一個(gè)雙面的工具一方面，幾何概念可用代數(shù)表示，幾何目標(biāo)可通過代數(shù)方法達(dá)到；另一方面，又可給代數(shù)語言以幾何的解釋使代數(shù)語言更直觀、更形象地表達(dá)出來，這對于人們發(fā)現(xiàn)新結(jié)論具有重要的意義正如拉格朗日(JLLagrange)所說：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄但是當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”近代數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)該歸功于解析幾何由于在解析幾何中代數(shù)起主導(dǎo)作用，這就大大提高了代數(shù)的地位，對于促進(jìn)代數(shù)的進(jìn)步具有十分重要的意義從數(shù)學(xué)思想上來說，解析幾何的最大突破是引入了變量思想，它成為發(fā)明微積分的思想基礎(chǔ)正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”解析幾何的意義不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)本身，而且