數(shù)值分析實驗報告(一)(完整).doc

數(shù)值分析實驗報告姓 名學 號系 別數(shù)學系班級09信息（2）班 主講教師王丹指導教師王丹實驗日期專業(yè)信息與計算科學課程名稱數(shù)值分析同組實驗者無一、實驗名稱： 實驗一、插值多項式的收斂性實驗二、 實驗目的：1理解插值的基本原理；2掌握多項式插值的概念、存在唯一性；3編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)Lagrange插值和Newton插值，驗證Runge現(xiàn)象、分析插值多項式的收斂性。三、實驗內(nèi)容及要求：1已知數(shù)據(jù)如下：0.20.40.60.81.00.980.920.810.640.38（1）用MATLAB語言編寫按Langrage插值法和Newton插值法計算插值的程序，對以上數(shù)據(jù)進行插值；（2）利用MATLAB在第一個圖中畫出離散數(shù)據(jù)及插值函數(shù)曲線。2給定函數(shù)，利用上題編好的Langrage插值程序（或Newton插值程序），分別取3個，5個、9個、11個等距節(jié)點作多項式插值，分別畫出插值函數(shù)及原函數(shù)的圖形，以驗證Runge現(xiàn)象、分析插值多項式的收斂性。三、 實驗步驟（或記錄）Lagrange插值法的基本思想：步驟1： 構造處的插值基函數(shù)，其中，插值節(jié)點處的插值基函數(shù)為；步驟2：以作為的系數(shù)，使得通過插值點；步驟3：把所有的線性疊加，得到通過所有插值點的插值函數(shù)。Lagrange插值偽代碼：給定個插值點的情況下，求插值函數(shù)在點處的函數(shù)值。/*輸入?yún)?shù)*x=(x0,x1,.,xn), 插值節(jié)點*y=(y0,y1,yn); 被插函數(shù)f(x)在插值節(jié)點處的函數(shù)值*t 求插值函數(shù)Ln (x)在t處的函數(shù)值*返回值 插值函數(shù)Ln (x)在t處的函數(shù)值 */procedure Lagrange result0; for i=1 to n li(t)1; for j=1 to n if ij li(t) li(t)*(t-xi)/(xi-xj); end if end for resultresult+yi*li(t); end for return result;end procedureLagrange插值子程序 lagr1:function y=lagr1(x0,y0,x)%x0為插值點的向量,y0為插值點處的函數(shù)值向量,x為未知的點向量n=length(x0); m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;E ndNewton插值算法公式:余項為其中 有關.Newton插值偽代碼：/*輸入?yún)?shù)*x=(x0,x1.,xn), 插值節(jié)點*y=(y0,y1,yn); 被插函數(shù)f(x)在插值節(jié)點處的函數(shù)值*t 求插值函數(shù)Pn (x)在t處的函數(shù)值*返回值 插值函數(shù)Pn(x)在t處的函數(shù)值 */ procedure Newton for j=0 to n d1jyj;end forfor j=1 to nfor i=j to n dij (di,j-1-di-1,j-1)/(xi-xi-j+1); end forend forresultd11;temp1;for i=1to n temptemp*(t-xi-1);resultresult+di,i*temp;end forreturn result;end procedureNewton插值子程序 Newton:function y=newton(x0,y0,x)%牛頓插值法n=length(x0); m=length(x);d=zeros(n,n);%d為差商表矩陣for j=1:n d(j,1)=y0(j);%差商表第一列endfor j=2:n %差商表為下三角矩陣for i=j:n d(i,j)=(d(i,j-1)-d(i-1,j-1)./(x0(i)-x0(i-j+1);%求差商表矩陣中各值 endendfor k=1:m z=x(k); result=d(1,1); temp=1;for i=2:n temp=temp*(z-x0(i-1); result=result+d(i,i)*temp;endy(k)=result;end1編寫拉格朗日插值多項式函數(shù)內(nèi)容為：function f=lagfun(x)a=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0;b=0.98,0.92,0.81,0.64,0.38;for i=1:5L(i)=1;for j=1:5 if j=i L(i)=L(i)*(x-a(j)/(a(i)-a(j); endendendf=0;for i=1:5 f=f+L(i)*b(i);end畫圖程序內(nèi)容為：x0=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0; y0=0.98,0.92,0.81,0.64,0.38;plot(x0,y0,o)hold ongrid on fplot(lagfun,0,1);hold onx=0:0.1:1;plot(x,newton(x0,y0,x),r);legend(離散點,Lagrange插值,Newton插值)圖形為：2Lagrange插值程序for n=3:2:11x= -1:0.1:1;y=1./(1+25.*x.2);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=1./(1+25.*x0.2);y1=lagr1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k: ,x, y1, r)gtext(Lagr.,num2str(n)