2013年南京市中考數(shù)學(xué)試題及解析.doc

.南京市2013年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù) 學(xué)一、選擇題 (本大題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上)1. 計算12-7(-4)+8(-2)的結(jié)果是（ ）A-24 B -20 C6 D362. 計算a3( )2的結(jié)果是（ ） Aa Ba5 Ca6 Da93. 設(shè)邊長為3的正方形的對角線長為a下列關(guān)于a的四種說法： a是無理數(shù)； a可以用數(shù)軸上的一個點來表示； 3a4； a是18的算術(shù)平方根。其中，所有正確說法的序號是（ ） A B C D4. 如圖，圓O1、圓O2的圓心O1、O2在直線l上，圓O1的半徑為2 cm，圓O2的半徑為3 cm，O1O2=8 cm。lO1O2 圓O1以1 cm/s的速度沿直線l向右運動，7s后停止 運動，在此過程中，圓O1與圓O2沒有出現(xiàn)的位置關(guān) 系是（ ）A外切 B相交 C內(nèi)切 D內(nèi)含5. 在同一直線坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)y=k1x的圖像與反比例函數(shù)y= 的圖像沒有公共點，則（ ）Ak1+k20 Ck1k206. 如圖，一個幾何體上半部為正四棱椎，下半部為立方體，且有一個面涂有顏色，下列圖形中，是該幾何體的表面展開圖的是（ ）ABCD二、填空題 (本大題共10小題，每小題2分，共20分。不須寫出解答過程，請把答案直接 填寫在答題卡相應(yīng)位置上)7. -3的相反數(shù)是 ；-3的倒數(shù)是 。8. 計算 - 的結(jié)果是 。9. 使式子1+ 有意義的x的取值范圍是 。10. 第二屆亞洲青年運動會將于2013年8月16日至24日在南京舉辦，在此期間約有13000名青少年志愿者提供服務(wù)，將13000用科學(xué)記數(shù)法表示為 。11. 如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形ABCD的位置，旋轉(zhuǎn)角為a (0a90)。若1=110，則a= 。ABCDB1CDABCDEFO（第12題）（第11題）12. 如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2 cm，A=120，則EF= cm。13. OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A、B與它的中心O為頂點的三角形。若OAB的一個內(nèi)角為70，則該正多邊形的邊數(shù)為 。14. 已知如圖所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，可列出方程： 。15. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，AC與BD相交于點P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，則點P的坐標(biāo)為 。xxx+1x+1xyABCDPO（第15題）（第14題）16. 計算(1-)(+)-(1-)(+)的結(jié)果是 。三、解答題 (本大題共11小題，共88分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17. (6分) 化簡( - ) 。 18. (6分) 解方程 =1- 。ABCDNMP19. (8分) 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分ABC，P是BD上一點，過點P作PMAD，PNCD，垂足分別為M、N。 (1) 求證：ADB=CDB； (2) 若ADC=90，求證：四邊形MPND是正方形。20. (8分) (1) 一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白的球各一個，這些球除顏色外都 相同。求下列事件的概率： 攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球； 攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都是紅球； (2) 某次考試有6道選擇題，每道題所給出的4個選項中，恰有一項是正確的，如果小明從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，那么他6道選擇題全部選擇正確的概率是（ ） A B()6 C1-()6 D1-()621. (9分) 某校有2000名學(xué)生。為了解全校學(xué)生的上學(xué)方式，該校數(shù)學(xué)興趣小組在全校隨機抽取了150名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查。整體樣本數(shù)據(jù)，得到下列圖表：某校150名學(xué)生上學(xué)方式頻數(shù)分布表方式劃記頻數(shù)步行正正正15騎車正正正正正正正正正正正51乘公共交通工具正正正正正正正正正45乘私家車正正正正正正30其它正正9合計150某校150名學(xué)生上學(xué)方式扇形統(tǒng)計圖其它步行騎車乘私家車乘公共交通工具6%10%34%30%20% (1) 理解畫線語句的含義，回答問題：如果150名學(xué)生全部在同一個年級抽取，這樣的抽樣是否合理？請說明理由： (2) 根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，將估計出的全校2000名學(xué)生上學(xué)方式的情況繪制成條形統(tǒng)計圖；700人數(shù)某校2000名學(xué)生上學(xué)方式條形統(tǒng)計圖600500400300200100步行騎車乘公共交通工具乘私家車其它上學(xué)方式 (3) 該校數(shù)學(xué)興趣小組結(jié)合調(diào)查獲取的信息，向?qū)W校提出了一些建議。如：騎車上學(xué)的學(xué)生數(shù)約占全校的34%，建議學(xué)校合理安排自行車停車場地。請你結(jié)合上述統(tǒng)計的全過程，再提出一條合理化建議： 22. (8分) 已知不等臂蹺蹺板AB長4m。如圖，當(dāng)AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾角為a；如圖，當(dāng)AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為b。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含a、b的式子表示)23. (8分) 某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品案標(biāo)價的80%出售，同時，當(dāng)顧客在商場內(nèi)消費滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額。消費金額(元)300400400500500600600700700900返還金額(元)3060100130150注：300400表示消費金額大于300元且小于或等于400元，其他類同. 根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如，若購買標(biāo)價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400(1-80%)+30=110(元)。 (1) 購買一件標(biāo)價為1000元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？ (2) 如果顧客購買標(biāo)價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標(biāo)價至少為多少元？24. (8分) 小麗駕車從甲地到乙地。設(shè)她出發(fā)第x min時的速度為y km/h，圖中的折線表示她在整個駕車過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系。 (1) 小麗駕車的最高速度是 km/h； (2) 當(dāng)20x30時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出小麗出發(fā)第22 min時的速度； (3) 如果汽車每行駛100 km耗油10 L，那么小麗駕車從甲地到乙地共耗油多少升？方法指導(dǎo) 如果物體的運動速度隨著時間均勻增加(或減少)，那么其在某個時間段內(nèi)的平均速度為該時間段開始時刻的速度與結(jié)束時刻的速度的平均數(shù)。例如，由圖像可知，第5 min到第10 min汽車的速度隨著時間均勻增加，因此汽車在該時間段內(nèi)的平均速度為 =36(km/h)。該時間段行駛的路程為36 =3(km)。ABCDx(min)y(km/h)240480720O100200300400500EF 25. (8分) 如圖，AD是O的切線，切點為A，AB是O的弦。過點B作BC/AD，交O于點C，連接AC，過點C作CD/AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且BCP=ACD。ABCDOMP (1) 判斷直線PC與O的位置關(guān)系，并說明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的長。26. (9分) 已知二次函數(shù)y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m為常數(shù)，且a0)。 (1) 求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點； (2) 設(shè)該函數(shù)的圖像的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D。 當(dāng)ABC的面積等于1時，求a的值： 當(dāng)ABC的面積與ABD的面積相等時，求m的值。27. (10分) 對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似。例如，如圖，ABCABC且沿周界ABCA與ABCA環(huán)繞的方向相同，因此ABC 與ABC互為順相似；如圖，ABCABC，且沿周界ABCA與ABCA環(huán)繞的方向相反，因此ABC 與ABC互為逆相似。ABCABCABCABC (1) 根據(jù)圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得下列三對相似三角形： ADE與ABC； GHO與KFO； NQP與NMQ。其中，互為順相似的是 ；互為逆相似的是 。(填寫所有符合要求的序號)ABCDEHGOKFMPQN圖I圖II圖III條件：DEBC條件：GHKF條件：NQP=M (2) 如圖，在銳角ABC中，ABC，點P在ABC的邊上(不與點A、B、C重合)。過點P畫直線截ABC，使截得的一個三角形與ABC互為逆相似。請根據(jù)點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由。ABC 南京市2013年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題 (本大題共6小題，每小題2分，共12分)題號123456答案DACDCB二、填空題 (本大題共10小題，每小題2分，共20分) 7. 3；-； 8. ； 9. x1； 10. 1.3104； 11. 20； 12. ； 13. 9； 14. 本題答案不唯一，如(x+1)2=25； 15. 3； ； 16. ；三、解答題 (本大題共11小題，共88分)17. 解：( - ) = = = 。18. 解：方程兩邊同乘x-2，得2x=x-2+1。解這個方程，得x= -1。 檢驗：x= -1時，x-20，x= -1是原方程的解。 (6分)19.證明：(1) BD平分ABC，ABD=CBD。又BA=BC，BD=BD， ABD CBD。ADB=CDB。 (4分) (2) PMAD，PNCD，PMD=PND=90。 又ADC=90，四邊形MPND是矩形。 ADB=CDB，PMAD，PNCD，PM=PN。 四邊形MPND是正方形。 (8分)20. (1) 解： 攪勻后從中任意摸出1個球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：紅、黃、藍(lán)、白，共有4種，它們出現(xiàn)的可能性相同。所有的結(jié)果中，滿足“恰好是紅球”(記為事件A)的結(jié)果只有1種，所以P(A)= 。 攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(紅，紅)、(紅，黃)、(紅，藍(lán))、(紅，白)、(黃，紅)、(黃，黃)、(黃，藍(lán))、(黃，白)、(藍(lán)，紅)、(藍(lán)，黃)、(藍(lán)，藍(lán))、(藍(lán)，白)、(白，紅)、(白，黃)、(白，藍(lán))、(白，白)，共有16種，它們出現(xiàn)的可能性相同。所有的結(jié)果中，滿足“兩次都是紅球”(記為事件B)的結(jié)果只有1種，所以P(B)= 。 (6分) (2) B (8分)700人數(shù)某校2000名學(xué)生上學(xué)方式條形統(tǒng)計圖600500400300200100步行騎車乘公共交通工具乘私家車其它上學(xué)方式21. 解：(1) 不合理。因為如果150名學(xué)生全部在同一個年級抽取，那么全校每個學(xué)生被抽到的機會不相等，樣本不具有代表性。 (2分)(2) (3) 本題答案不唯一，下列解法供參考。 乘私家車上學(xué)的學(xué)生約400人，建議學(xué)校與交通部門協(xié)商安排停車區(qū)域。 (9分)22.解：在RtAHO中，sina= ，OA= 。 在RtBHO中，sinb= ，OB= 。 AB=4，OA+OB=4，即 + =4。OH= (m)。 (8分)23.解：(1) 購買一件標(biāo)價為1000元的商品，消費金額為800元， 顧客獲得的優(yōu)惠額為1000(1-80%)+150=350(元)。 (2分) (2) 設(shè)該商品的標(biāo)價為x元。 當(dāng)80%x500，即x625時，顧客獲得的優(yōu)惠額不超過625(1-80%)+60=185226； 當(dāng)50080%x600，即625x750時，(1-80%)x+100226。解得x630。 所以630x750。 當(dāng)60080%x80080%，即750226。 綜上，顧客購買標(biāo)價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)或額不少于226元， 那么該商品的標(biāo)價至少為630元。 (8分)24.解：(1) 60；(1分) (2) 當(dāng)20x30時，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b。 根據(jù)題意，當(dāng)x=20時，y=60；當(dāng)x=30時，y=24。 所以，解得。所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y= -3.6x+132。 當(dāng)x=22時，y= -3.622+132=52.8。 所以，小麗出發(fā)第22min時的速度為52.8km/h。(5分) (3) 小麗駕車從甲地到乙地行駛的路程為 +60+48+=33.5(km)。 所以，小麗駕車從甲地到乙地共耗油33.5=3.35(L) (8分)25. 解法一：(1) 直線PC與O相切。 如圖，連接CO并延長，交O于點N，連接BN。jABCDOMPN AB/CD，BAC=ACD。 BAC=BNC，BNC=ACD。 BCP=ACD，BNC=BCP。 CN是O的直徑，CBN=90。 BNC+BCN=90，BCP+BCN=90。 PCO=90，即PCOC。 又點C在O上，直線PC與O相切。 (4分) (2) AD是O的切線，ADOA，即OAD=90。 BC/AD，OMC=180-OAD=90，即OMBC。 MC=MB。AB=AC。 在RtAMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM=6。 設(shè)O的半徑為r。 在RtOMC中，OMC=90，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中， OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP。 = ，即 = 。 PC= 。(8分)ABCDOMPk 解法二：(1) 直線PC與圓O相切。如圖，連接OC。 AD是圓O的切線，ADOA， 即OAD=90。 BC/AD，OMC=180-OAD=90， 即OMBC。 MC=MB。AB=AC。MAB=MAC。 BAC=2MAC。又MOC=2MAC，MOC=BAC。 AB/CD，BAC=ACD。MOC=ACD。又BCP=ACD， MOC=BCP。MOC+OCM=90，BCP+OCM=90。 PCO=90，即PCOC。又點C在圓O上，直線PC與圓O相切。 (2) 在RtAMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM=6。 設(shè)圓O的半徑為r。 在RtOMC中，OMC=90，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中，OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP， = ，即 = 。 PC= 。(8分)26. (1) 證明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。 因為當(dāng)a0時，-(2am+a)2-4a(am2+am)=a20。 所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有兩個不相等的實數(shù)根。 所以，不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點。(3分) (2) 解： y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ， 所以，點C的坐標(biāo)為(,- )。 當(dāng)y=0時，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。 當(dāng)ABC的面積等于1時，1| - |=1。 所以1( -)=1，或1=1。 所以a= -8，或a=8。 當(dāng)x=0時，y=am2+am，所以點D的坐標(biāo)為(0, am2+