蘇汝鏗量子力學課后習題及答案chapter5.pdf

第五章 近似方法 典型例題分析 5 1 設哈密頓量在能量表象中的矩陣為 1 2 Eb bEa 1 用微擾法求能級至二級修正值 2 求準確地能級值 與 1 的結果進行比較確定微擾法的準確度及適用條件 解題思路 解法 1 和解法 2 有一點區(qū)別 H 是一樣的 0 H有一點點不同 1 是利用非簡 并定態(tài)微擾論公式求得能級至二級修正值 2 準確地求能級值 應從久期方程解出 再 把它展開成多項式 解法 1 1 體系的哈密頓量可寫為 0 HH H 取 1 0 2 0 0 E H E 0 0 b H b 為微擾項 有非簡并定態(tài)微擾論公式 體系能級的零級近似 0 11 E 0 22 E 能級的一級修正 1 111 0H 1 222 Ha 能級的二級修正 2 2 12 2 1 1212 Hb EEEE 2 2 21 2 2 2121 Hb EEEE 能級的二級近似為 2 11 21 b E EE 2 22 21 b Ea EE 1 2 準確的能級值由方程 1 2 0 Eb bEa 解出 其中 為能量本征值 從而得到 2 1221 2 21 14 1 2 b EEaEEa EEa i 2 當 21 EEa 且 21 EEb 時 將 2 21 2 21 4 1 b EEa EEa i 展開 2 21 2 21 4 1 b EEa EEa i 2 21 21 2 b EEa EEa 22 21 2 2121 22 bab EEa EEEE 代入 2 式后 22 11 2 2121 bab E EEEE 22 22 2 2121 bab Ea EEEE 3 3 式與 1 相比較可看出 準確度 2 2 21 ab E EE 微擾法使用條件 21 1 a EE 21 1 b EE 解法 2 1 取 1 0 2 0 0 E H Ea 0 0 b H b 能級的零級近似 0 11 E 0 22 Ea 能級的一級修正 1 111 0H 1 222 0H 能級的二級修正 2 2 12 2 1 1221 Hb EEaEaE 2 2 21 2 2 2121 Hb EaEEaE 所以 2 11 21 2 22 21 b E Ea E b E Ea E 4 2 當 21 2EEab 時 將 嚴格 解中 2 21 2 21 4 1 b EEa EaE i 展開 2 21 2 21 4 1 b EEa EaE i 24 21 3 2121 22 bb EEa EaEEaE 代入 1 式中 24 11 3 21 21 24 22 3 21 21 22 22 bb E Ea E Ea E bb E Ea E Ea E 5 5 式與 4 式比較 準確度 4 3 21 2 b E EaE 使用條件為 21 1 b EEa 由上面可以看出 解法 1 較解法 2 的準確度低 5 2 1 試證明在定態(tài)變分法中 對任意嘗試波函數(shù) x 求得基態(tài)能量 E 總是不低于 實際的基態(tài)能量 E 2 設一維勢場為 4 V xx 今用變分法求粒子 質(zhì)量為 m 在其中運動的基態(tài)能 量 問在下列嘗試波函數(shù)中應選取哪一個 說明理由 并算出結果 a x e b 2 2 2x e c 2 2ax xe d 2 2 2 ax axbx e e 2 2ikxax e e 其中 a b k 等都是常數(shù) 解題思路 證 1 就是先把波函數(shù)按基態(tài)波函數(shù)展開 再應用一般的求平均值公式征得 2 先判斷出哪一個波函數(shù)為嘗試波函數(shù) 一維勢場 4 V xx 具有空間反射不變性 即 0H p p 為宇稱算符 所以能量本征態(tài)有確定的宇稱 基態(tài)波函數(shù)應為偶函數(shù) 在所給嘗試函數(shù)中 c d e 不滿足此要求 不應取為嘗試波函數(shù) 勢場 V x 在有限 區(qū)域內(nèi)處處連續(xù) a 所示波函數(shù)在 x 0 處 一階導數(shù)不連續(xù) 不滿足此要求 由束縛態(tài)邊 界條件和連續(xù)性條件可取 b 為嘗試波函數(shù) 然后再依據(jù)變分原理得到基態(tài)的能量 解 1 設體系的包括在內(nèi)的一組力學量完全集的共同本征態(tài)為 0 1 2 相應的能量本征值為 0 E 1 E 2 E 將任意嘗試波函數(shù) x 按其展開 得 nn n xcx EHdxdx nnnnnnn nnnn c cHdxxc c 2222 0 nnnnn nnnn cEcEcc 0 E 所以 0 EE 2 一維勢場 4 V xx 具有空間反射不變性 即 0H p p 為宇稱算符 所以能量本征態(tài)有確定的宇稱 基態(tài)波函數(shù)應為偶函數(shù) 在所給嘗試函數(shù)中 c d e 不滿足此要求 不應取為嘗試波函數(shù) 勢場 V x 在有限區(qū)域內(nèi)處處連續(xù) a 所示波函數(shù)在 x 0 處 一階導數(shù)不連續(xù) 不滿足此要求 由束縛態(tài)邊界條件和連續(xù)性條件可取 b 為嘗試波 函數(shù) 2 2 2 x xe 其中 為變分參數(shù) 222 2 22 24 2 2 2 xx d Eex edx m dx 222 2 2 4224 2 xx xx edxedx m 2222 22 224 00 1 2 xx xxedxedx m 22 4 113511 222222m 22 4 3 44m 由 0 E 得 21 3 2 6 m 代入的表達式求得基態(tài)能量 2 1 3 0 2 36 8 m E m 5 3 一系統(tǒng)的哈密頓算符為 0 HHV 已知 0 E為 0 H的一個二重簡并能級 當對應的本 征態(tài)取為 0 1 和 0 2 時 微擾矩陣是 62 23 V 1 求一級近似能量和正確的零級近似波函數(shù) 2 設在0t 時刻 系統(tǒng)處于狀態(tài) 0 1 求在微擾作用下 某一時刻 t 躍遷到狀態(tài) 0 2 中的幾率 解法 1 1 由簡并微擾論公式 能量的一級修正 1 E滿足久期方程 1 1 62 0 23 E E 解出 1 1 2E 1 2 7E 簡并解除 所以一級近似能量為 0 1 2EE 0 2 7EE 設正確的零級近似波函數(shù)為 0 a b 在正確的零級近似波函數(shù) 0 張成的兩維子空間中 微擾矩陣 V 應是對角化的 其對角元 即為能量的一級修正 1 62 23 aa E bb 將 1 1 2E 代入 可求得 2 b a 由歸一化條件 0 0 1 i 得到歸一化的 正確的零級近似波函數(shù)為 0 1 1 1 25 同樣可解出 1 2 7E 時 0 2 2 1 15 3 設 t 時刻體系的狀態(tài)為 c t t d t 在由 0 1 和 0 2 為基矢張成的兩維態(tài)空間中的體系的哈密頓算符為 0 0 0 62 23 E HHV E 所以 態(tài) t 滿足的薛定諤方程和初值條件為 0 0 0 62 23 0 1 0 0 t t cEc d i ddd E c d 為簡化方程 令 00 6 1 1 i Etc tc e d td 代入薛定諤方程后可得到 11 111 2 23 ci d dicd 解上述一階微分方程組 得 4 1 i ti t dAeBe 4 1 2 2 itit A cBee 其中 A B為待定常數(shù) 由初值條件 0 0 1 1 0 t 得 1 0 1c 1 0 0d 即 0 42 A B B A 解得 2 5 A 2 5 B 所以 0 4 6 4 41 55 22 55 i ti t i Et i ti t ee te ee 而 0 0 12 c t tc td t d t 因此 t時刻體系由 0 1 態(tài)躍遷到 0 2 態(tài)的幾率為 2 2 4 12 2 5 i ti t Wd tee 8 1 cos5 25 t 解法2 由含時微擾論的躍遷幾率公式 2 0 1 t i k kt kkkk WtHedt 將 12 2H 12 0 代入得 2 2 2 1 2 2 1 24Wtt 1 t 討論 在解法1中 是嚴格求解含時間的薛定諤方程得到由 0 1 態(tài)躍遷到 0 2 態(tài)的幾率 解法2是由微擾論的一級近似得到的由 0 1 態(tài)躍遷到 0 2 態(tài)的幾率 但運用微擾近似處理 時必須滿足微擾近似的條件 這可以嚴格解的展開式中看出 1 2 8 1 cos5 25 Wt 2 24 825 5 11 252 4 tt 2 24 4 25 4 3 tt 僅當是 略去高階小量 保留到一級近似 其結果與微擾法相同 5 4在一維無限深勢阱 0 0 0 x a x a x V 中運動的粒子 受到微擾 H 的作用 0 2 2 a bx a bx a H 討論粒子在空間幾率分布的改變 解題思路 首先把沒有受到微擾 H 的作用時的能量本征值和本征函數(shù)寫出來 再根據(jù)微擾 論修正公式得到波函數(shù)一級修正公式 從而得到粒子在空間幾率分布的改變 解 一維無限深勢阱中的粒子能量本征值和本征函數(shù)是 222 0 2 2 n n E ma 0 2 sin 0 n n x xa aa 其它的 0 0 n 其中m為粒子 為質(zhì)量 n 1 2 3 微擾論的波函數(shù)一級修正公式為 1 0 0 0 nk k n nk k H n EE 計算矩陣元 2 0 2sinsin a bk xn x k H ndx aaa 2 2sinsin a a bk xn x dx aaa 利用積分公式 2 1 2sinsin S S k xn x dx aa 21 sin sin a knskns knaa 21 sin sin a knskns knaa 2 sinsin 22 baknakn k H n aknkn 當kn 為偶數(shù)時 0k H n kn 為奇數(shù)時 1 2 2 1 1 1 kn b k H n knkn i 1 2 22 1 2 22 4 1 4 1 k k bn k nk bk k nk i i 為奇 n為偶 為偶 n為奇 波函數(shù)的一級修正 1 2 2 322 2 1 2 2 322 2 8 1 2 sin n 1 8 1 2 sin n