電磁場(chǎng)與電磁波(第四版)謝處方 第四章習(xí)題解答.pdf

電磁場(chǎng)與電磁波 第四版 謝處方電磁場(chǎng)與電磁波 第四版 謝處方 第第四章習(xí)題解答四章習(xí)題解答 4 1 如題 4 1 圖所示為一長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽 槽可視為無(wú)限長(zhǎng) 其上有一塊與槽相絕緣的 蓋板 槽的電位為零 上邊蓋板的電位為 0 U 求槽內(nèi)的電位函數(shù) 解解 根據(jù)題意 電位 x y 滿(mǎn)足的邊界條件為 0 0ya y 0 0 x 0 x bU 根據(jù)條件 和 電位 x y 的通解應(yīng)取為 1 sinh sin n n n yn x x yA aa 由條件 有 0 1 sinh sin n n n bn x UA aa 兩邊同乘以sin n x a 并從 0 到a對(duì)x積分 得到 0 0 2 sin d sinh a n Un x Ax an b aa 0 2 1 cos sinh U n nn b a 0 4 1 3 5 sinh 02 4 6 U n nn b a n 故得到槽內(nèi)的電位分布 0 1 3 5 41 s i nh s i n s i nh n Unynx x y nn b aaa 4 2 兩 平 行 無(wú) 限 大 導(dǎo) 體 平 面 距 離 為b 其 間 有 一 極 薄 的 導(dǎo) 體 片 由dy 到 by x 上板和薄片保持電位 0 U 下板保持零電位 求板間電位的解 設(shè)在薄片 平面上 從0 y到dy 電位線性變化 0 0 yU y d 0 U y x a a b o 題 4 1 圖 解解 應(yīng)用疊加原理 設(shè)板間的電位為 x y 12 x yx y 其中 1 x y 為不存在薄片的平行無(wú)限大導(dǎo)體平面間 電壓為 0 U 的電位 即 10 x yU y b 2 x y 是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位 其邊界條件 為 22 0 0 xx b 2 0 x yx 0 0 21 00 0 0 0 0 U Uyyd b yyy UU yydyb db 根據(jù)條件 和 可設(shè) 2 x y 的通解為 2 1 sin e n x b n n n y x yA b 由條件 有 0 0 1 00 0 sin n n U Uyyd n y b A UUb yydyb db 兩邊同乘以sin n y b 并從 0 到b對(duì)y積分 得到 00 0 2211 1 sin d sin d db n d UUyn yn y Ayyy bbbbdbb 0 2 2 sin Ubn d ndb 故得到 x y 00 22 1 21 sin sin e n x b n UbUn dn y y bdnbb 4 3 求在上題的解中 除開(kāi) 0 U y b一項(xiàng)外 其他所有項(xiàng)對(duì)電場(chǎng)總儲(chǔ)能的貢獻(xiàn) 并按 2 0 2 U W C e f 定出邊緣電容 解解 在導(dǎo)體板 0 y 上 相應(yīng)于 2 x y 的電荷面密度 002 20 0 1 21 sin e n x b y n Un d ydnb 則導(dǎo)體板上 沿z方向單位長(zhǎng) 相應(yīng)的總電荷 0 U y x ox box dx 題 4 2 圖 222 0 d2dqxx 00 1 0 2 2sin ed n x b n Un d x n db 00 22 1 41 sin n U bn d dnb 相應(yīng)的電場(chǎng)儲(chǔ)能為 2 00 20 22 1 211 sin 2 e n bUn d Wq U dnb 其邊緣電容為 0 222 1 0 241 sin e f n Wbn d C Udnb 4 4 如題 4 4 圖所示的導(dǎo)體槽 底面保持電位 0 U 其余兩面電位為零 求槽內(nèi)的電位的解 解解 根據(jù)題意 電位 x y 滿(mǎn)足的邊界條件為 0 0ya y 0 x yy 0 0 xU 根據(jù)條件 和 電位 x y 的通解應(yīng)取為 1 sin n n n y a n x x yA e a 由條件 有 0 1 sin n n n x UA a 兩邊同乘以sin n x a 并從 0 到a對(duì)x積分 得到 0 0 2 sin d a n Un x Ax aa 0 2 1 cos U n n 0 4 1 3 5 02 4 6 U n n n 故得到槽內(nèi)的電位分布為 0 1 3 5 41 sin nya n Un x x ye na 4 5 一長(zhǎng) 寬 高分別為a b c的長(zhǎng)方體表面保持零電位 體積內(nèi)填充密度為 sin sin xz y yb ac 的電荷 求體積內(nèi)的電位 解解 在體積內(nèi) 電位 滿(mǎn)足泊松方程 222 222 0 1 sin sin xz y yb xyzac 1 題 4 4 圖 0 U y x a a o 長(zhǎng)方體表面S上 電位 滿(mǎn)足邊界條件0 S 由此設(shè)電位 的通解為 111 0 1 sin sin sin mnp mnp m xn yp z x y zA abc 代入泊松方程 1 可得 222 111 mnp mnp mnp A abc sin sin sin m xn yp z abc sin sin xz y yb ac 由此可得 0 mnp A 1m 或1 p 222 1 1 1 sin n p nn y A abcb y yb 2 由式 2 可得 222 1 1 0 2 sin d b n nn y Ay yby abcbb 3 4 cos1 b n b n 2 3 8 1 3 5 02 4 6 b n n n 故 2 5 3222 1 3 5 0 81 sin sin sin 11 n bxn yz x y z n abc n abc 4 6 如題 4 6 圖所示的一對(duì)無(wú)限大接地平行導(dǎo)體板 板間有一與z軸平行的線電荷 l q 其 位置為 0 d 求板間的電位函數(shù) 解解 由于在 0 d處有一與z軸平行的線電荷 l q 以0 x 為界將場(chǎng)空間分割為0 x 和 0 x 兩個(gè)區(qū)域 則這兩個(gè)區(qū)域中的電位 1 x y 和 2 x y 都滿(mǎn)足拉普拉斯方程 而在0 x 的 分界面上 可利用 函數(shù)將線電荷 l q表示成電荷面密度 0 l yqyy 電位的邊界條件為 11 0 0 xx a 22 0 0 xx a 1 0 x y x x y o a d l q 題 4 6 圖 2 0 x y x 12 0 0 yy 21 0 0 l x q yd xx 由條件 和 可設(shè)電位函數(shù)的通解為 1 1 sin n n n x a n y x yA e a 0 x 2 1 sin n n n x a n y x yB e a 0 x 由條件 有 1 sin n n n y A a 1 sin n n n y B a 1 1 sin n n nn y A aa 1 sin n n nn y B aa 0 l q yd 2 由式 1 可得 nn AB 3 將式 2 兩邊同乘以sin m y a 并從0到a對(duì)y積分 有 nn AB 0 0 2 sin d a l qn y ydy na 0 2 sin l qn d na 4 由式 3 和 4 解得 0 sin l nn qn d AB na 故 1 1 0 1 sin sin l n n x a qn dn y x ye naa 0 x 2 1 0 1 sin sin l n n x a qn dn y x ye naa 0 x 4 7 如題 4 7 圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零 槽中有一與槽平行的線電荷 l q 求槽內(nèi)的 電位函數(shù) 解解 由于在 00 yx處有一與z軸平行的線電荷 l q 以 0 xx 為界將場(chǎng)空間分割為 0 0 xx 和 0 xxa 兩個(gè)區(qū)域 則這兩個(gè)區(qū)域中的電位 1 x y 和 2 x y 都滿(mǎn)足拉普拉斯 y x o a l q b 00 yx 題 4 7 圖 方 程 而 在 0 xx 的 分 界 面 上 可 利 用 函 數(shù) 將 線 電 荷 l q表 示 成 電 荷 面 密 度 0 l yqyy 電位的邊界條件為 1 0 0y 2 0a y 11 0 0 xx b 22 0 0 xx b 1020 xyxy 0 21 0 0 l x x q yy xx 由條件 和 可設(shè)電位函數(shù)的通解為 1 1 sin sinh n n n yn x x yA bb 0 0 xx 2 x y 1 sin sinh n n n yn Bax bb 0 axx 由條件 有 0 0 11 sin sinh sin sinh nn nn n xn yn yn ABax bbbb 1 0 1 sin cosh n n n xnn y A bbb 0 1 sin cosh n n nn yn Bax bbb 0 0 yy ql 2 由式 1 可得 0 0 sinh sinh 0 nn n xn ABax bb 3 將式 2 兩邊同乘以sin m y b 并從0到b對(duì)y積分 有 cosh cosh 0 0 xa b n B b xn A nn 0 0 0 2 sin d b l qn y yyy nb 0 0 2 sin l qn y nb 4 由式 3 和 4 解得 0 0 0 21 sinh sin sinh l n qn yn Aax n a b nbb 00 0 21 sinh sin sinh l n qn xn y B n a b nbb 故 10 1 0 21 sinh sinh l n qn x yax nn a bb 0 sin sinh sin n yn xn y bbb 0 0 xx 0 2 1 0 21 sinh sinh l n qn x x y nn a bb 0 sin sinh sin n ynn y ax bbb 0 axx 若以 0 yy 為界將場(chǎng)空間分割為 0 0yy 和 0 yyb 兩個(gè)區(qū)域 則可類(lèi)似地得到 10 1 0 21 sinh sinh l n qn x yby nn b aa 0 sin sinh sin n xn yn x aaa 0 0 yy 0 2 1 0 21 sinh sinh l n qn y x y nn b aa 0 sin sinh sin n xnn x by aaa 0 yyb 4 8 如題 4 8 圖所示 在均勻電場(chǎng) 00 xE Ee 中垂直于電場(chǎng)方向放置一根無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱 圓柱的半徑為a 求導(dǎo)體圓柱外的電位 和電場(chǎng)E以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度 解解 在外電場(chǎng) 0 E作用下 導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷 圓柱外的電位是外電場(chǎng) 0 E的電位 0 與 感應(yīng)電荷的電位 in 的疊加 由于導(dǎo)體圓柱為無(wú)限長(zhǎng) 所以電位與變量z無(wú)關(guān) 在圓柱面坐標(biāo)系 中 外電場(chǎng)的電位為 000 cosrE xCE rC 常數(shù)C的值由參考點(diǎn)確定 而感 應(yīng)電荷的電位 in r 應(yīng)與 0 r 一樣按cos 變化 而且在無(wú)限遠(yuǎn)處為 0 由于導(dǎo)體是等位 體 所以 r 滿(mǎn)足的邊界條件為 aC 0 cos rE rCr 由此可設(shè) 1 01 coscosrE rArC 由條件 有 1 01 coscosE aAaCC 于是得到 0 2 1 EaA 故圓柱外的電位為 21 0 cosrra rEC 若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點(diǎn) 即 0a 則0 C 導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)則為 x y o a 0 E 題 4 8 圖 1 r r rr Eee 22 00 22 1 cos 1 sin r aa EE rr ee 導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為 000 2co s r a r E r 4 9 在介電常數(shù)為 的無(wú)限大的介質(zhì)中 沿z軸方向開(kāi)一個(gè)半徑為a的圓柱形空腔 沿x軸 方向外加一均勻電場(chǎng) 00 xE Ee 求空腔內(nèi)和空腔外的電位函數(shù) 解解 在電場(chǎng) 0 E的作用下 介質(zhì)產(chǎn)生極化 空腔表面形成極化電荷 空腔內(nèi) 外的電場(chǎng)E為 外加電場(chǎng) 0 E與極化電荷的電場(chǎng) p E的疊加 外電場(chǎng)的電位為 000 cosrE xE r 而感 應(yīng)電荷的電位 in r 應(yīng)與 0 r 一樣按cos 變化 則空腔內(nèi) 外的電位分別為 1 r 和 2 r 的邊界條件為 r 時(shí) 20 cosrE r 0 r時(shí) 1 r 為有限值 ar 時(shí) 12 aa 12 0 rr 由條件 和 可設(shè) 101 coscosrE rAr ra 1 202 coscosrE rA r ra 帶入條件 有 1 12 AaA a 2 000102 EAEa A 由此解得 0 10 0 AE 2 0 20 0 Aa E 所以 10 0 2 cosrE r ra 2 0 20 0 1 cos a rE r r ra 4 10 一個(gè)半徑為b 無(wú)限長(zhǎng)的薄導(dǎo)體圓柱面被分割成四個(gè)四分之一圓柱面 如題 4 10 圖所 示 第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地 第一象限和第三象限分別保持電位 0 U和 0 U 求圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù) 解解 由題意可知 圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿(mǎn)足邊界條件為 0 為有限值 x y o 0 U 0 U b 0 0 題 4 10 圖 0 0 02 02 32 0322 U b U 由條件 可知 圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為 1 sincos n nn n rrAnBn rb 代入條件 有 1 s i nc o s n nn n bAnBnb 由此得到 2 0 1 sind n n Abn b 232 00 0 1 sindsind n UnUn b 0 1 cos n U n b n 0 2 1 3 5 02 4 6 n U n n b n 2 0 1 cosd n n Bbn b 232 00 0 1 cosdcosd n UnUn b 0 3 sinsin 22 n Unn b n 3 0 2 2 1 1 3 5 02 4 6 n n U n n b n 故 3 0 2 1 3 5 21 sin 1 cos n n n Ur rnn n b rb 4 11 如題 4 11 圖所示 一無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱的半徑為a 介電常數(shù)為 在距離軸線 00 arr 處 有一與圓柱平行的線電荷 l q 計(jì)算空間各部分的電位 解解 在線電荷 l q作用下 介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化 介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位 r 均為線電荷 l q的 電位 l r 與極化電荷的電位 p r 的疊加 即 lp rrr 線電荷 l q的 電位為 22 00 00 lnln2cos 22 ll l qq rRrrrr 1 而極化電荷的電位 p r 滿(mǎn)足拉普拉斯方程 且是 的偶函數(shù) 介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位 1 r 和 2 r 滿(mǎn)足的邊界條件為分別為 y x o a l q 0 r 0 題 4 11 圖 1 0 為有限值 2 l rrr ar 時(shí) 12 120 rr 由條件 和 可知 1 r 和 2 r 的通解為 1 1 cos n ln n rrA rn 0 ra 2 2 1 cos n ln n rrB rn ar 3 將式 1 3 帶入條件 可得到 11 coscos nn nn nn A anB an 4 11 00 1 0 ln cos 2 nn l nnr a n qR A naBnan r 5 當(dāng) 0 rr 時(shí) 將 Rln展開(kāi)為級(jí)數(shù) 有 0 1 0 1 lnln cos n n r Rrn n r 6 帶入式 5 得 111 0 0 11 0 00 cos cos 2 nnn l nn nn qa A naBnann rr 7 由式 4 和 7 有 n n n n aBaA 111 0 0 0 00 2 nnn l nn qa A naBna rr 由此解得 0 000 1 2 l n n q A nr 2 0 000 2 n l n n qa B nr 故得到圓柱內(nèi) 外的電位分別為 22 100 0 ln2cos 2 l q rrrrr 0 1 000 1 cos 2 n l n qr n n r 8 22 200 0 ln2cos 2 l q rrrrr 2 0 1 000 1 cos 2 n l n qa n n r r 9 討論 利用式 6 可將式 8 和 9 中得第二項(xiàng)分別寫(xiě)成為 00 0 1 00000 1 cos lnln 2 2 n ll n qqr nRr n r 2 00 1 00000 1 cos lnln 2 2 n ll n qqa nRr n r r 其中 2222 00 2 cosRrarr ar 因此可將 1 r 和 2 r 分別寫(xiě)成為 00 10 0000 2 1 lnln 22 ll qq rRr 00 2 00000 11 lnlnln 222 lll qqq rRRr 由所得結(jié)果可知 介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于 0 r0 的線電荷 0 0 2 l q 的電位相同 而介 質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生 它們分別為 位于 0 r0 的線電荷 l q 位于 0 0 2 r a 的線電荷 0 0 l q 位于0 r的線電荷 0 0 l q 4 12 將上題的介質(zhì)圓柱改為導(dǎo)體圓柱 重新計(jì)算 解解 導(dǎo)體圓柱內(nèi)的電位為常數(shù) 導(dǎo)體圓柱外的電位 r 均為線電荷 l q的電位 l r 與 感應(yīng)電荷的電位 in r 的疊加 即 lin rrr 線電荷 l q的電位為 22 00 00 lnln2cos 22 ll l qq rRrrrr 1 而感應(yīng)電荷的電位 in r 滿(mǎn)足拉普拉斯方程 且是 的偶函數(shù) r 滿(mǎn)足的邊界條件為 l rr r aC 由于電位分布是 的偶函數(shù) 并由條件 可知 r 的通解為 0 cos n ln n rrA rn 2 將式 1 和 2 帶入條件 可得到 22 00 0 0 cosln2cos 2 n l n n q A anCarar 3 將 22 00 ln2cosarar 展開(kāi)為級(jí)數(shù) 有 22 000 1 0 1 ln2cosln cos n n a ararrn n r 4 帶入式 3 得 0 01 00 1 cos ln cos 2 nn l n nn qa A anCrn n r 5 由此可得 00 0 ln 2 l q ACr 2 00 2 n l n qa A n r 故導(dǎo)體圓柱外的電為 22 00 0 ln2cos 2 l q rrrrr 0 0 ln 2 l q Cr 2 1 00 1 cos 2 n l n qa n n r r 6 討論 利用式 4 可將式 6 中的第二項(xiàng)寫(xiě)成為 2 1 000 1 cos lnln 22 n ll n qqa nRr n r r 其中 2222 00 2 cosRrarr ar 因此可將 r 寫(xiě)成為 000 lnlnln 222 lll qqq rRRr 0 0 ln 2 l q Cr 由此可見(jiàn) 導(dǎo)體圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生 它們分別為 位于 0 r0 的線電荷 l q 位于 0 0 2 r a 的線電荷 l q 位于0 r的線電荷 l q 4 13 在均勻外電場(chǎng) 00zE Ee 中放入半徑為a的導(dǎo)體球 設(shè) 1 導(dǎo)體充電至 0 U 2 導(dǎo) 體上充有電荷Q 試分別計(jì)算兩種情況下球外的電位分布 解解 1 這里導(dǎo)體充電至 0 U應(yīng)理解為未加外電場(chǎng) 0 E時(shí)導(dǎo)體球相對(duì)于無(wú)限遠(yuǎn)處的電位為 0 U 此時(shí)導(dǎo)體球面上的電荷密度 00 Ua 總電荷 00 4qaU 將導(dǎo)體球放入均勻外電場(chǎng) 0 E中 后 在 0 E的作用下 產(chǎn)生感應(yīng)電荷 使球面上的電荷密度發(fā)生變化 但總電荷q仍保持不變 導(dǎo)體球仍為等位體 設(shè) 0 in rrr 其中 000 cosrE zE r 是均勻外電場(chǎng) 0 E的電位 in r 是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位 電位 r 滿(mǎn)足的邊界條件為 r 時(shí) 0 cosrE r ar 時(shí) 0 aC 0 d S Sq r 其中 0 C為常數(shù) 若適當(dāng)選擇 r 的參考點(diǎn) 可使 00 UC 由條件 可設(shè) 21 0111 coscosrE rArBrC 代入條件 可得到 0 3 1 EaA 01 aUB 001 UCC 若使 00 UC 可得到 321 000 coscosrE ra E raU r 2 導(dǎo)體上充電荷Q時(shí) 令 00 4QaU 有 0 0 4 Q U a 利用 1 的結(jié)果 得到 32 00 0 coscos 4 Q rE ra E r r 4 14 如題 4 14 圖所示 無(wú)限大的介質(zhì)中外加均勻電場(chǎng) 00zE Ee 在介質(zhì)中有一個(gè)半徑為 a的球形空腔 求空腔內(nèi) 外的電場(chǎng)E和空腔表面的極化電荷密度 介質(zhì)的介電常數(shù)為 解解 在電場(chǎng) 0 E的作用下 介質(zhì)產(chǎn)生極化 空腔表面形成極化電荷 空腔內(nèi) 外的電場(chǎng)E為 外加電場(chǎng) 0 E與極化電荷的電場(chǎng) p E的疊加 設(shè)空腔內(nèi) 外的電位分別為 1 r 和 2 r 則 o a z 0 題 4 14 圖 0 E 邊界條件為 r 時(shí) 20 cosrE r 0 r時(shí) 1 r 為有限值 ar 時(shí) 12 aa 12 0 rr 由條件 和 可設(shè) 101 coscosrE rAr 2 202 coscosrE rA r 帶入條件 有 2 21 aAaA 3 000102 2EAEa A 由此解得 0 10 0 2 AE 3 0 20 0 2 Aa E 所以 10 0 3 cos 2 rE r 3 0 20 0 1 cos 2 a rE r r 空腔內(nèi) 外的電場(chǎng)為 110 0 3 2 rEE 22 rE 3 00 0 0 2cossin 2 r Ea r Eee 空腔表面的極化電荷面密度為 202 pr arr a n PeE 00 0 0 3 cos 2 E 4 15 如題 4 15 圖所示 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi) 外半徑分別為 1 r和 2 r 球的中心放置一個(gè)電 偶極子p 球殼上的電荷量為Q 試計(jì)算球內(nèi) 外的電位分布和球殼上的電荷分布 解解 導(dǎo)體球殼將空間分割為內(nèi)外兩個(gè)區(qū)域 電偶極子p在球殼內(nèi)表面上引起感應(yīng)電荷分布 但內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷總量為零 因此球殼外表面上電荷總量為Q 且均勻分布在外表面上 球殼外的場(chǎng)可由高斯定理求得為 2 2 0 4 r Q r r Ee 題 4 15 圖 o 2 r p z Q 1 r 2 0 4 Q r r 外表面上的電荷面密度為 2 2 2 4 Q r 設(shè)球內(nèi)的電位為 1 pin rrr 其中 1 22 00 cos cos 44 p pp rP rr 是電偶極子p的電位 in r 是球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷的電位 in r 滿(mǎn)足的邊界條件為 0 in 為有限值 1122 rr 即 1122 inp rrr 所以 11 2 0 20 1 cos 44 in Qp rP rr 由條件 可知 in r 的通解為 0 co s n i nnn n rA r P 由條件 有 11 2 0 0 20 1 cos cos 44 n nn n Qp A r PP rr 比較兩端 cos n P 的系數(shù) 得到 0 0 2 4 Q A r 1 3 0 1 4 p A r 0 n A 2 n 最后得到 1 23 0 201 1 cos 44 Qpr r rrr 球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷面密度為 11 11 100 3 1 3 cos 4 r rr r p nrr 感應(yīng)電荷的總量為 2 111 3 10 3 dcos2sind0 4 S p qSr r z P R o 題 4 17 圖 4 16 欲在一個(gè)半徑為a的球上繞線圈使在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場(chǎng) 問(wèn)線圈應(yīng)如何繞 即求繞線的 密度 解解 設(shè)球內(nèi)的均勻場(chǎng)為 10zH He ra 球外的場(chǎng)為 2 H ra 如題 4 16 圖所示 根 據(jù)邊界條件 球面上的電流面密度為 2120 Sr arzr a H JnHHeHe 20sinrr a H eHe 若令 2 0 rr a eH 則得到球面上的電流面密度為 0s i nS H Je 這表明球面上的繞線密度正比于sin 則將在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場(chǎng) 4 17 一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度P 1 證明 球內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的 等于 0 P 2 證明 球外的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的偶極子 P產(chǎn)生的電場(chǎng)相同 3 4 3 R 解解 1 當(dāng)介質(zhì)極化后 在介質(zhì)中會(huì)形成極化電荷分布 本題中所求的電場(chǎng)即為極化電荷所 產(chǎn)生的場(chǎng) 由于是均勻極化 介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷 僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度 球內(nèi) 外的電位滿(mǎn)足拉普拉斯方程 可用分離變量法求解 建立如題 4 17 圖所示的坐標(biāo)系 則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為 cos pr PP nP e 介質(zhì)球內(nèi) 外的電位 1 和 2 滿(mǎn)足的邊界條件為 1 0 為有限值 2 0 rr 12 RR 12 0 cos r R P rr 因此 可設(shè)球內(nèi) 外電位的通解為 11 cosrAr 1 2 2 cos B r r 由條件 有 1 1 2 B AR R 1 01 3 2 B AP R z 1 H a o 題 4 16 圖 2 H r e 解得 1 0 3 P A 3 1 0 3 PR B 于是得到球內(nèi)的電位 1 00 cos 33 PP rrz 故球內(nèi)的電場(chǎng)為 11 00 33 z PP Ee 2 介質(zhì)球外的電位為 33 2 22 00 14 coscos 343 PRR P r rr 2 0 cos 4 P r 其中 3 4 3 R 為介質(zhì)球的體積 故介質(zhì)球外的電場(chǎng)為 22 22 1 r r rrr Eee 3 0 2cossin 4 r P r ee 可見(jiàn)介質(zhì)球外的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的偶極子 P產(chǎn)生的電場(chǎng)相同 4 18 半徑為a的接地導(dǎo)體球 離球心 11 arr 處放置一個(gè)點(diǎn)電荷q 如題 4 18 圖所示 用 分離變量法求電位分布 解解 球外的電位是點(diǎn)電荷的電位與球面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位的疊加 感應(yīng)電荷的電位滿(mǎn)足 拉普拉斯方程 用分離變量法求解電位分布時(shí) 將點(diǎn)電荷的電位在球面上按勒讓德多項(xiàng)式展開(kāi) 即可由邊界條件確定通解中的系數(shù) 設(shè) 0 in rrr 其中 0 22 0 011 4 42cos qq r R rrrr 是點(diǎn)電荷q的電位 in r 是導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位 電位 r 滿(mǎn)足的邊界條件為 r 時(shí) 0r ar 時(shí) 0a 由條件 可得 in r 的通解為 1 0 cos n innn n rA rP z o a q 1 r 題 4 18 圖 為了確定系數(shù) n A 利用R1的球坐標(biāo)展開(kāi)式 1 1 0 1 1 1 1 0 cos 1 cos n n n n n n n n r Prr r R r Prr r 將 0 r 在球面上展開(kāi)為 0 1 0 01 cos 4 n n n n qa aP r 代入條件 有 1 1 00 01 cos cos 0 4 n n nnn n nn qa A aPP r 比較 cos n P的系數(shù) 得到 21 1 0 1 4 n n n qa A r 故得到球外的電位為 21 1 0 001 cos 44 n n n n qqa rP Rrr 討論 將 r 的第二項(xiàng)與R1的球坐標(biāo)展開(kāi)式比較 可得到 21 1 1 2222 0 1 11 cos 2 cos n n n n a ra P rr rarr a r 由此可見(jiàn) r 的第二項(xiàng)是位于 1 2 rar 的一個(gè)點(diǎn)電荷 1 raqq 所產(chǎn)生的電位 此電荷 正是球面上感應(yīng)電荷的等效電荷 即像電荷 4 19 一根密度為 l q 長(zhǎng)為 2a的線電荷沿z軸放置 中心在原點(diǎn)上 證明 對(duì)于ar 的 點(diǎn) 有 35 24 35 0 P cos P cos 235 l qaaa r rrr 解解 線電荷產(chǎn)生的電位為 22 00 11 44 2cos aa ll aa qq rdzdz R rzrz 對(duì)于 ar 的點(diǎn) 有 a a o z P r R r 題 4 19 圖 1 22 0 1 cos 2cos n n n n z P r rzrz 故得到 1 0 0 cos 4 a n l n n a qz rPdz r 11 1 0 0 1 cos 41 nn l n n n qaa P nr 35 24 35 0 P cos P cos 235 l qaaa rrr 4 20 一個(gè)半徑為a的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán) 環(huán)與xy平面重合 中心在原點(diǎn)上 環(huán)上總電荷量為Q 如題 4 20 圖所示 證明 空間任意點(diǎn)電位為 24 124 0 13 1P cos P cos 428 Qrr aaa ra 24 224 0 13 1P cos P cos 428 Qaa rrr ra 解解 以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面ar 把場(chǎng)區(qū)分為兩部分 分別寫(xiě)出兩個(gè)場(chǎng)域的通解 并利用 函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷Q表示成球面 ar 上的電荷面密度 22 coscos cos 222 QQ aa 再根據(jù)邊界條件確定系數(shù) 設(shè)球面ar 內(nèi) 外的電位分別為 1 r 和 2 r 則邊界條件為 1 0 為有限值 2 0 rr 12 aa 12 0 2 cos 2r a Q rra 根據(jù)條件 和 可得 1 r 和 2 r 的通解為 1 0 cos n nn n rA r P 1 a o y x z 題 4 20 圖 1 2 0 cos n nn n rB rP 2 代入條件 有 1 n n n n aBaA 3 12 2 0 0 1 cos cos 2 nn nnn n Q A naB naP a 4 將式 4 兩端同乘以 sin cos m P 并從 0 到 對(duì) 進(jìn)行積分 得 12 1 nn nn A naB na 2 00 21 cos cos sin d 4 n nQ P a 2 0 21 0 4 n nQ P a 5 其中 2 01 3 5 0 1 3 5 1 1 2 4 6 2 4 6 n n n P n n n 由式 3 和 5 解得 1 0 0 4 nn n Q AP a 0 0 4 n nn Qa BP 代入式 1 和 2 即得到 24 124 0 13 1P cos P cos 428 Qrr aaa ra 24 224 0 13 1P cos P cos 428 Qaa rrr ra 4 21 一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d 如果把它移到無(wú)窮遠(yuǎn)處 需要作多少功 解解 利用鏡像法求解 當(dāng)點(diǎn)電荷q移動(dòng)到距離導(dǎo)體平面為x的點(diǎn)P處時(shí) 其像電荷qq 與導(dǎo)體平面相距為xx 如題 4 21 圖所示 像電荷 q 在點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 2 0 4 2 x q x x Ee 所以將點(diǎn)電荷q移到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí) 電場(chǎng)所作的功為 2 2 0 dd 4 2 e dd q Wqxx x Er 2 0 16 q d x x x x q q 題 4 21 圖 o 外力所作的功為 d q WW eo 0 2 16 4 22 如題 4 22 圖所示 一個(gè)點(diǎn)電荷q放在 60的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn) 0 1 1 處 求 1 所有鏡像電荷的位置和大小 2 點(diǎn)1 2 yx處的電位 解解 1 這是一個(gè)多重鏡像的問(wèn)題 共有 5 個(gè)像電荷 分布在以點(diǎn)電荷q到角域頂點(diǎn)的距離 為半徑的圓周上 并且關(guān)于導(dǎo)體平面對(duì)稱(chēng) 其電荷量的大小等于q 且正負(fù)電荷交錯(cuò)分布 其大 小和位置分別為 366 175sin2 366 075cos2 1 1 1 y x qq 366 0165sin2 366 1165cos2 2 2 2 y x qq 366 0195sin2 366 1195cos2 3 3 3 y x qq 366 1285sin2 366 0285cos2 4 4 4 y x qq 1315sin2 1315cos2 5 5 5 y x qq 2 點(diǎn)1 2 yx處電位 35124 012345 1 2 1 0 4 qqqqqq RRRRRR 0 1 0 5970 2920 2750 3480 477 4 q 9 0 0 321 2 88 10 V 4 qq 4 23 一個(gè)電荷量為q 質(zhì)量為m的小帶電體 放置在無(wú)限大導(dǎo)體平面下方 與平面相距為 h 求q的值以使帶電體上受到的靜電力恰與重力相平衡 設(shè)kg102 3 m m02 0 h 解解 將小帶電體視為點(diǎn)電荷q 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷對(duì)q的靜電力等于鏡像電荷 q 對(duì)q的 作用力 根據(jù)鏡像法可知 鏡像電荷為qq 位于導(dǎo)體平面上方為h處 則小帶電體q受到 q 2 q 1 q 5 q 4 q 3 q 題 4 22 圖 0 1 1 0 1 2 60 y x o 的靜電力為 2 2 0 4 2 e q f h 令 e f的大小與重力mg相等 即 2 2 0 4 2 q mg h 于是得到 8 0 45 9 10Cqhmg 4 24 如題 4 24 a 圖所示 在0 z的下半空間是介電常數(shù)為 的介質(zhì) 上半空間為空 氣 距離介質(zhì)平面距為h處有一點(diǎn)電荷q 求 1 0 z和0 z的兩個(gè)半空間內(nèi)的電位 2 介質(zhì)表面上的極化電荷密度 并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷 q 解解 1 在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)作用下 介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷 利用鏡像電荷替代介質(zhì)分 界面上的極化電荷 根據(jù)鏡像法可知 鏡像電荷分布為 如題 4 24 圖 b c 所示 0 0 qq 位于 hz 0 0 qq 位于 hz 上半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷q和鏡像電荷 q 共同產(chǎn)生 即 1 010 44 qq RR 0 2222 00 11 4 q rzhrzh 下半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷q和鏡像電荷 q 共同產(chǎn)生 即 2 22 20 1 42 qqq R rzh 2 由于分界面上無(wú)自由電荷分布 故極化電荷面密度為 1200120 pzzzz EEnPP 021 00 22 3 2 0 2 z hq zzrh 極化電荷總電量為 0 d2d PPP S qSr r 0 22 3 2 00 d hqr r rh 0 0 q q 4 25 一個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球帶有電荷量為Q 在球體外距離球心為D處有一個(gè)點(diǎn)電荷q 1 求點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體球之間的靜電力 2 證明 當(dāng)q與Q同號(hào) 且 D R RD RD q Q 222 3 成立時(shí) F表現(xiàn)為吸引力 題 4 24 圖 b 圖 2 13 z q h h q 1 R P R o 題 4 24 圖 a z q h o 0 z 0 h 0 qq 2 R P o 題 4 24 圖 c 解解 1 導(dǎo)體球上除帶有電荷量Q之外 點(diǎn)電荷q還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量異號(hào)的兩種不 同電荷 根據(jù)鏡像法 像電荷 q 和 q 的大小和位置分別為 如題 4 25 圖所示 q D R q D R d 2 q D R qq 0 d 導(dǎo)體球自身所帶的電荷Q則與位于球心的點(diǎn)電荷Q等效 故點(diǎn) 電荷q受到的靜電力為 qqqqQq FFFF 22 00 4 4 qqq Dq DdD 22 2 0 4 qQR D qRq D D DR D 2 當(dāng)q與Q同號(hào) 且F表現(xiàn)為吸引力 即0 F時(shí) 則應(yīng)