直線和圓弧的生成算法.doc

第3章 直線和圓弧的生成算法3.1直線圖形的生成算法 數(shù)學(xué)上的直線是沒有寬度、由無數(shù)個點構(gòu)成的集合，顯然，光柵顯示器只能近地似顯示直線。當(dāng)我們對直線進行光柵化時，需要在顯示器有限個像素中，確定最佳逼近該直線的一組像素，并且按掃描線順序，對這些像素進行寫操作，這個過程稱為用顯示器繪制直線或直線的掃描轉(zhuǎn)換。 由于在一個圖形中，可能包含成千上萬條直線，所以要求繪制算法應(yīng)盡可能地快。本節(jié)我們介紹一個像素寬直線繪制的三個常用算法：數(shù)值微分法（DDA）、中點畫線法和Bresenham算法。3.1.1逐點比較法3.1.2數(shù)值微分(DDA)法設(shè)過端點P0(x0,y0)、P1(x1,y1)的直線段為L(P0,P1)，則直線段L的斜率L的起點P0的橫坐標(biāo)x0向L的終點P1的橫坐標(biāo)x1步進，取步長=1(個像素)，用L的直線方程y=kx+b計算相應(yīng)的y坐標(biāo)，并取像素點(x,round(y)作為當(dāng)前點的坐標(biāo)。因為：yi+1=kxi+1+b =k1xi+b+kDx =yi+kDx 所以，當(dāng)Dx =1;yi+1=yi+k。也就是說，當(dāng)x每遞增1，y遞增k(即直線斜率)。根據(jù)這個原理，我們可以寫出DDA（Digital Differential Analyzer）畫線算法程序。DDA畫線算法程序：void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k； dx = x1-x0； dy=y1-y0； k=dy/dx,；y=y0； for (x=x0；x1時，必須把x，y地位互換，y每增加1，x相應(yīng)增加1/k。在這個算法中，y與k必須用浮點數(shù)表示，而且每一步都要對y進行四舍五入后取整，這使得它不利于硬件實現(xiàn)。動畫演示：數(shù)值微分畫線算法（DDA）3.1.3中點畫線法假定直線斜率k在01之間，當(dāng)前像素點為（xp,yp），則下一個像素點有兩種可選擇點P1（xp+1,yp）或P2（xp+1,yp+1）。若P1與P2的中點（xp+1,yp+0.5）稱為M，Q為理想直線與x=xp+1垂線的交點。當(dāng)M在Q的下方時，則取P2應(yīng)為下一個像素點；當(dāng)M在Q的上方時，則取P1為下一個像素點。這就是中點畫線法的基本原理。圖3.1.2 中點畫線法每步迭代涉及的像素和中點示意圖下面討論中點畫線法的實現(xiàn)。過點(x0,y0)、(x1,y1)的直線段L的方程式為F(x,y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0，欲判斷中點M在Q點的上方還是下方，只要把M代入F（x，y），并判斷它的符號即可。為此，我們構(gòu)造判別式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 當(dāng)d0時，M在L(Q點)上方，取P1為下一個像素； 當(dāng)d=0時，選P1或P2均可，約定取P1為下一個像素；注意到d是xp,yp的線性函數(shù)，可采用增量計算，提高運算效率。 若當(dāng)前像素處于d0情況，則取正右方像素P1(xp+1, yp),要判下一個像素位置，應(yīng)計算d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a，增量為a。 若d0時，則取右上方像素P2(xp+1,yp+1)。要判斷再下一像素，則要計算d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b，增量為ab。畫線從(x0,y0)開始，d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=F(x0,y0)+a+0.5b，因 F(x0,y0)=0，所以d0=a+0.5b。 由于我們使用的只是d的符號，而且d的增量都是整數(shù)，只是初始值包含小數(shù)。因此，我們可以用2d代替d來擺脫小數(shù)，寫出僅包含整數(shù)運算的算法程序。中點畫線算法程序：void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2, d, x, y； a=y0-y1； b=x1-x0；d=2*a+b； d1=2*a；d2=2* (a+b)； x=x0；y=y0； drawpixel(x, y, color); while (xx1) if (d0) x+；y+； d+=d2; else x+； d+=d1; drawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */ 舉例：用中點畫線方法掃描轉(zhuǎn)換連接兩點P0（0,0）和P1（5,2）的直線段。a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6 ,xyd00110-321331-14255215圖3.1.3 中點畫線法問題1：若上述算法往下取二步(Di=2)，則算法和像素的取法將變成怎樣？問題2：與DDA法相比，中點法的優(yōu)點是什么？動畫演示：中點畫線算法3.1.4 Bresenham算法 Bresenham算法是計算機圖形學(xué)領(lǐng)域使用最廣泛的直線掃描轉(zhuǎn)換算法。仍然假定直線斜率在01之間，該方法類似于中點法，由一個誤差項符號決定下一個像素點。 算法原理如下：過各行各列像素中心構(gòu)造一組虛擬網(wǎng)格線。按直線從起點到終點的順序計算直線與各垂直網(wǎng)格線的交點，然后確定該列像素中與此交點最近的像素。該算法的巧妙之處在于采用增量計算，使得對于每一列，只要檢查一個誤差項的符號，就可以確定該列的所求像素。 如圖2.1.4所示，設(shè)直線方程為yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假設(shè)列坐標(biāo)像素已經(jīng)確定為xi，其行坐標(biāo)為yi。那么下一個像素的列坐標(biāo)為xi1，而行坐標(biāo)要么為yi，要么遞增1為yi1。是否增1取決于誤差項d的值。誤差項d的初值d00，x坐標(biāo)每增加1，d的值相應(yīng)遞增直線的斜率值k，即ddk。一旦d1，就把它減去1，這樣保證d在0、1之間。當(dāng)d0.5時，直線與垂線x=xi1交點最接近于當(dāng)前像素(xi，yi)的右上方像素(xi1，yi1)；而當(dāng)d0.5時，更接近于右方像素(xi1，yi)。為方便計算，令ed0.5，e的初值為0.5，增量為k。當(dāng)e0時，取當(dāng)前像素(xi，yi)的右上方像素(xi1，yi1)；而當(dāng)e0時，取(xi，yi)右方像素(xi1，yi)。圖3.1.4 Bresenham算法所用誤差項的幾何含義Bresenham畫線算法程序：void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int x, y, dx, dy； float k, e; dx = x1-x0；dy = y1- y0；k=dy/dx； e=-0.5； x=x0,；y=y0； for (i=0；idx；i+) drawpixel (x, y, color); x=x+1；e=e+k; if (e0) y+； e=e-1; 舉例：用Bresenham方法掃描轉(zhuǎn)換連接兩點P0（0,0）和P1（5,2）的直線段。xye00-0.510-0.121-0.731-0.342-0.952-0.5圖3.1.5 Bresenham算法 上述Bresenham算法在計算直線斜率與誤差項時用到小數(shù)與除法?？梢愿挠谜麛?shù)以避免除法。由于算法中只用到誤差項的符號，因此可作如下替換：2*e*dx。 改進的Bresenham畫線算法程序：void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) dx = x1-x0,；dy = y1- y0,；e=-dx; x=x0； y=y0; for (i=0; i0，對于圓內(nèi)的點F(x,y)0 。與中點畫線法一樣，構(gòu)造判別式：d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2若d0，則應(yīng)取P1為下一像素，而且再下一像素的判別式為：d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3若d0，則應(yīng)取P2為下一像素，而且下一像素的判別式為：d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5我們這里討論的第一個像素是（0,R），判別式d的初始值為：d0=F(1,R-0.5)=1.25-R圖3.2.1 當(dāng)前像素與下一像素的候選者中點畫圓算法：MidPointCircle(int r int color) int x,y; float d; x=0; y=r;