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胡壽松自動控制原理課后習題答案胡壽松自動控制原理課后習題答案 1 請解釋下列名字術語 自動控制系統(tǒng) 受控對象 擾動 給定值 參考輸入 反饋 解 自動控制系統(tǒng) 能夠?qū)崿F(xiàn)自動控制任務的系統(tǒng) 由控制裝臵與被控對象組成 受控對象 要求實現(xiàn)自動控制的機器 設備或生產(chǎn)過程 擾動 擾動是一種對系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號 如果擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部 稱為內(nèi)擾 擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)外部 則稱為外擾 外擾是系統(tǒng)的輸入量 給定值 受控對象的物理量在控制系統(tǒng)中應保持的期望值 參考輸入即為給定值 反饋 將系統(tǒng)的輸出量饋送到參考輸入端 并與參考輸入進行比較的過程 2 請說明自動控制系統(tǒng)的基本組成部分 解 作為一個完整的控制系統(tǒng) 應該由如下幾個部分組成 被控對象 所謂被控對象就是整個控制系統(tǒng)的控制對象 執(zhí)行部件 根據(jù)所接收到的相關信號 使得被控對象產(chǎn)生相應的動作 常 用的執(zhí)行元件有閥 電動機 液壓馬達等 給定元件 給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對應的系統(tǒng)輸入量 即參考量 比較元件 把測量元件檢測到的被控量的實際值與給定元件給出的參考值 進行比較 求出它們之間的偏差 常用的比較元件有差動放大 器 機械差動裝臵和電橋等 測量反饋元件 該元部件的職能就是測量被控制的物理量 如果這個物理量 是非電量 一般需要將其轉(zhuǎn)換成為電量 常用的測量元部件有 測速發(fā)電機 熱電偶 各種傳感器等 放大元件 將比較元件給出的偏差進行放大 用來推動執(zhí)行元件去控制被 控對象 如電壓偏差信號 可用電子管 晶體管 集成電路 晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級加以放大 校正元件 亦稱補償元件 它是結構或參數(shù)便于調(diào)整的元件 用串聯(lián)或反 饋的方式連接在系統(tǒng)中 用以改善系統(tǒng)的性能 常用的校正元 件有電阻 電容組成的無源或有源網(wǎng)絡 它們與原系統(tǒng)串聯(lián)或 與原系統(tǒng)構成一個內(nèi)反饋系統(tǒng) 3 請說出什么是反饋控制系統(tǒng) 開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)各有什么優(yōu)缺 點 解 反饋控制系統(tǒng)即閉環(huán)控制系統(tǒng) 在一個控制系統(tǒng) 將系統(tǒng)的輸出量通過某測 量機構對其進行實時測量 并將該測量值與輸入量進行比較 形成一個反饋通道 從而形成一個封閉的控制系統(tǒng) 開環(huán)系統(tǒng)優(yōu)點 結構簡單 缺點 控制的精度較差 閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點 控制精度高 缺點 結構復雜 設計分析麻煩 制造成本高 4 請說明自動控制系統(tǒng)的基本性能要求 解 1 穩(wěn)定性 對恒值系統(tǒng)而言 要求當系統(tǒng)受到擾動后 經(jīng)過一定時間的 調(diào)整能夠回到原來的期望值 而對隨動系統(tǒng)而言 被控制量始終跟蹤參考量的變 化 穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結構決定的 與外界因素無關 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對系統(tǒng) 的基本要求 不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實現(xiàn)預定任務 2 準確性 控制系統(tǒng)的準確性一般用穩(wěn)態(tài)誤差來表示 即系統(tǒng)在參考輸入信 號作用下 系統(tǒng)的輸出達到穩(wěn)態(tài)后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做 給定穩(wěn)態(tài)誤差 顯然 這種誤差越小 表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高 3 快速性 對過渡過程的形式和快慢的要求 一般稱為控制系統(tǒng)的動態(tài)性能 系統(tǒng)的快速性主要反映系統(tǒng)對輸入信號的變化而作出相應的快慢程度 如穩(wěn)定高 射炮射角隨動系統(tǒng) 雖然炮身最終能跟蹤目標 但如果目標變動迅速 而炮身行 動遲緩 仍然抓不住目標 2 1 設質(zhì)量 彈簧 摩擦系統(tǒng)如圖 2 1 所示 途中f為黏性摩擦系數(shù) k為彈簧系 數(shù) 系統(tǒng)的輸入量為力 p t 系統(tǒng)的輸出量為質(zhì)量m的位移 x t 試列出系統(tǒng)的 輸入輸出微分方程 解 顯然 系統(tǒng)的摩擦力為 dt tdx f 彈簧力為 tkx 根據(jù)牛頓第二運動定律有 2 2 dt txd mtkx dt tdx ftp 移項整理 得系統(tǒng)的微分方程為 2 2 tptkx dt tdx f dt txd m 圖 2 1 習題 2 1 質(zhì)量 彈簧 摩擦系統(tǒng)示意圖 2 2 試列寫圖 2 2 所示機械系統(tǒng)的運動微分 方程 解 由牛頓第二運動定律 不計重力時 得 2 11 221111 2 d ydy k y ty tMk yfF dtdt 整理得 2 11 112122 2 d ydy Mfkky tFk y t dtdt 2 3 求下列函數(shù)的拉氏變換 1 sin1 3 ttf 2 at tetf 3 4 3cos ttf 解 1 3 1 sin L f tLt 2 2 2 3 1 sin 11 3 1 3 1 1 LLt ss ss s s 2 at tetf 2 1 L t s 2 1 at L f tL te sa 3 2 cos 3 sin 3 cos 3 42 f tttt 2 sin 3 cos 3 2 L f ttt 圖 2 2 習題 2 2 機械系統(tǒng)示意圖 22 2 2 sin 3 cos 3 2 23 299 23 29 LtLt s ss s s 2 4 求下列函數(shù)的拉氏反變換 1 5 2 1 ss s sF 2 3 6 2 ss s sF 3 1 152 2 2 ss ss sF 解 1 112 2 5 25 s F s ssss 11 12 25 LF sL ss 11 25 12 2 25 2 tt LL ss ee 2 22 6211 3 3 s F s sssss 11 2 211 3 LF sL sss 111 2 3 111 2 3 21 t LLL sss te 3 2 22 25115 1 1 sss F s s sss 11 2 15 1 s LF sL ss 11 2 15 1 1 cos5sin s LL ss tt 2 5 試分別列寫圖 2 3 中各無源網(wǎng)絡的微分方程 設電容C上的電壓為 tuc 電容 1 C上的電壓為 1 tuc 以此類推 R1 R2 C uiuo a uc t RR C1 ui uo b C2 uc1 t uc2 t C C R1 ui uo c R2 uR1 t uc1 t uc2 t 圖 2 3 習題 2 5 無源網(wǎng)絡示意圖 解 a 設電容C上電壓為 tuc 由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 21 R tu R tu dt tdu C tututu occ oic 整理得輸入輸出關系的微分方程為 121 11 R tu dt tdu Ctu RRdt tdu C ii o o b 設電容 1 C 2 C上電壓為 21 tutu cc 由基爾霍夫定律可寫出回路方程 為 dt tdu RCtutu dt tdu C R tutu R tutu tututu c co ccoci oic 1 12 2 2 22 1 整理得輸入輸出關系的微分方程為 R tu dt tdu C dt tud CRC R tu dt tdu CC dt tud CRC iiiooo 2 2 1 2 2 2121 2 2 21 c 設電阻 2 R上電壓為 2 R ut 兩電容上電壓為 21 tutu cc 由基爾霍夫定 律可寫出回路方程為 21 tututu Ric 1 22 tututu Roc 2 2 221 R tu dt tdu C dt tdu C Rcc 3 dt tdu C R tutu coi 2 1 4 2 代入 4 并整理得 CR tutu dt tdu dt tdu oioR 1 2 5 1 2 代入 3 并整理得 2 22 2 R tu dt tdu C dt tdu C dt tdu C RRoi 兩端取微分 并將 5 代入 整理得輸入輸出關系的微分方程為 CR tu dt tdu CRdt tud CR CR tu dt tdu CRdt tud CR iiiooo 11 2 2 2 11 2 2 2 1 1 1 2 6 求圖 2 4 中各無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù) R1 R2 C Ui s Uo s a RR C1 b C2 C C R1 c R2 Uc s Uc1 s Uc2 s Ui s Uo s Uc1 s Uc2 s Ui s Uo s UR2 s 圖 2 4 習題 2 6 示意圖 解 a 由圖得 21 R sU R sU sCsU oC C 1 sUsUsU oiC 2 2 代入 1 整理得傳遞函數(shù)為 2121 221 21 1 11 1 RRCsRR RCsRR RR Cs R Cs sU sU i o b 由圖得 1 sUsUsU oiC 1 22 22 ssUC R sUsU R sUsU C CoCi 2 211 sUsUssURC CoC 整理得傳遞函數(shù)為 1 2 12 2 1 2 1 21 2 21 2 1 2 21 2 2 2 1 2 1 CCRssCCR sRCsCCR sRC sRC sRC sRC sRC sU sU i o c 由圖得 21 sUsUsU RiC 1 22 sUsUsU RoC 2 2 2 21 R sU sCsUsCsU R CC 3 2 1 sCsU R sUsU C oi 4 整理得傳遞函數(shù)為 1 2 112 1 21 22 21 1 22 21 2121 2 CsRRsCRR CsRsCRR CsRRRR Cs R Cs sU sU i o 2 7 求圖 2 5 中無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù) 解 由圖得 12 2 12 1 U sUs CsUs RRLs 整理得 212 2 111212 12 1 11 UsRRLs U sRCLsR R CL sRR Cs RRLs 2 8 試簡化圖 2 6 中所示系統(tǒng)結構圖 并求傳遞函數(shù) sRsC和 sNsC 解 a 求傳遞函數(shù) sRsC 按下列步驟簡化結構圖 圖 2 5 習題 2 7 無源網(wǎng)絡示意圖 令0 sN 利用反饋運算簡化如圖 2 8a 所示 串聯(lián)等效如圖 2 8b 所示 根據(jù)反饋運算可得傳遞函數(shù) 3212211 21 3 22 2 11 1 22 2 11 1 1 1 11 1 11 HGGHGHG GG H HG G HG G HG G HG G sR sC 32122112211 21 1HGGHGHGHGHG GG 求傳遞函數(shù) sNsC 按下列步驟簡化結構圖 R S C S H3 11 1 1HG G 22 2 1HG G 圖 2 8a R S C S H3 22 2 11 1 11HG G HG G 圖 2 8b 圖 2 6 習題 2 8 系統(tǒng)結構圖示意圖 令0 sR 重畫系統(tǒng)結構圖如圖 2 8c 所示 將 3 H輸出端的端子前移 并將反饋運算合并如圖 2 8d 所示 1 G和 1 H 串聯(lián)合并 并將單位比較點前移如圖 2 8e 所示 串并聯(lián)合并如圖 2 8f 所示 根據(jù)反饋和串聯(lián)運算 得傳遞函數(shù) G1 C S H1 G2 H2 H3 N S 圖 2 8c 22 2 1HG G G1 C S H1 H3 H1 N S 圖 2 9d 22 2 1HG G G1H1 C S 1 G1H1 H3 H1 N S 圖 2 8e C S H3 H1 N S 11 1 1 HG 22 121 1HG HGG 圖 2 8f 1 3 22 121 22 121 11 1 1 1 1 1 H H HG HGG HG HGG HGsN sC 32122 121 11 11 1 1 HGGHG HGG HG HG 32122 1212 1HGGHG HGGG b 求傳遞函數(shù) sRsC 按下列步驟簡化結構圖 將 2 H的引出端前移如圖 2 8g 所示 合并反饋 串聯(lián)如圖 2 8h 所示 將 1 H的引出端前移如圖 2 8i 所示 G1 R S C S H1 G3 H2 H3 G2 1 G3 圖 2 8g G1 R S C S H1 H2 G3 33 32 1HG GG 圖 2 8h 合并反饋及串聯(lián)如圖 2 8j 所示 根據(jù)反饋運算得傳遞函數(shù) 1 32 33 3322 321 3322 321 1 1 1 1 H GG HG HGHG GGG HGHG GGG sR sC 331133221 321 1HGHGHGHGHG GGG 2 9 試簡化圖 2 7 中所示系統(tǒng)結構圖 并求傳遞函數(shù) sRsC G1 R S C S H1 H2 G3 33 32 1HG GG 32 33 1 GG HG 圖 2 8i R S C S 3322 321 1HGHG GGG 1 32 33 1 H GG HG 圖 2 8j 習題 2 4 無源網(wǎng)絡示意圖 圖 2 7 習題 2 9 系統(tǒng)結構圖示意圖 解 求傳遞函數(shù) sRsC 按下列步驟簡化結構圖 將 1 H的引出端前移如圖 2 9a 所示 合并反饋及串聯(lián)如圖 2 9b 所示 合并反饋 串聯(lián)如圖 2 9c 所示 根據(jù)反饋運算 得傳遞函數(shù) G1G2G3G4 H1 H2 H3 R S C S 1 G4 圖 2 9a G1 H3 R S C S H1 G4 243 432 1HGG GGG 圖 2 9b H3 R S C S 243132 4321 1HGGHGG GGGG 圖 2 9c 34321243132 4321 3 243132 4321 243132 4321 1 1 1 1 HGGGGHGGHGG GGGG H HGGHGG GGGG HGGHGG GGGG sR sC 2 10 根據(jù)圖 2 6 給出的系統(tǒng)結構圖 畫出該系統(tǒng)的信號流圖 并用梅森公式求 系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC和 sNsC 解 a 根據(jù)結構圖與信號流圖的對應關系 用節(jié)點代替結構圖中信號線上傳遞 的信號 用標有傳遞函數(shù)的之路代替結構圖中的方框 可以繪出系統(tǒng)對應的信號 流圖 如圖 2 10a 所示 1 令0 sN 求系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC 由信號流圖 2 10a 可見 從源節(jié)點 sR到阱節(jié)點 sC之間 有一條前向通 路 其增益為 211 GGp 有三個相互接觸的單獨回路 其回路增益分別為 111 HGL 222 HGL 3213 HGGL 1 L與 2 L互不接觸 221112 HGHGL 流圖特征式 R S 1G1G21 C S H1H2 H3 1 N S 2121321221112321 1 1HHGGHGGHGHGLLLL 由于前向通路與所有單獨回路都接觸 所以余因子式 1 1 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 21213212211 2111 1 HHGGHGGHGHG GGp sR sC 2 令0 sR 求系統(tǒng)傳遞函數(shù) sNsC 由信號流圖 2 10a 可見 從源節(jié)點 sN到阱節(jié)點 sC之間 有兩條前向 通路 其增益為 21 Gp 1212 HGGp 有兩個相互接觸的單獨回路 其回路增益分別為 221 HGL 3212 HGGL 沒有互不接觸的回路 所以流圖特征式為 3212221 1 1HGGHGLL 由于前向通路與所有單獨回路都接觸 所以余因子式 1 1 1 2 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 32122 1212 2 1 1 1 HGGHG HGGG p sR sC i ii b 根據(jù)結構圖與信號流圖的對應關系 用節(jié)點代替結構圖中信號線上傳 遞的信號 用標有傳遞函數(shù)的之路代替結構圖中的方框 可以繪出系統(tǒng)對應的信 號流圖 如圖 2 10b 所示 求系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC 由信號流圖 2 10b 可見 從源節(jié)點 sR到阱節(jié)點 sC之間 有一條前向通 路 其增益為 3211 GGGp 有三個相互接觸的單獨回路 其回路增益分別為 111 HGL 222 HGL 333 HGL 1 L與 3 L互不接觸 313113 HHGGL 流圖特征式為 313133221113321 1 1HHGGHGHGHGLLLL 由于前向通路與所有單獨回路都接觸 所以余因子式 1 1 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 3131332211 32111 1 HHGGHGHGHG GGGp sR sC 2 11 根據(jù)圖 2 7 給出的系統(tǒng)結構圖 畫出該系統(tǒng)的信號流圖 并用梅森公式求 系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC R S 1G1G2G31 C S H2 H1 H3 11 圖 2 10b 解 根據(jù)結構圖與信號流圖的對應關系 用節(jié)點代替結構圖中信號線上傳遞的信 號 用標有傳遞函數(shù)的之路代替結構圖中的方框 可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖 如圖 2 11a 所示 由信號流圖 2 11a 可見 從源節(jié)點 sR到阱節(jié)點 sC之間 有一條前向通 路 其增益為 43211 GGGGp 有三個相互接觸的單獨回路 其回路增益分別為 1321 HGGL 2432 HGGL 343213 HGGGGL 沒有互不接觸回路 因此 流圖特征式 34321243132321 1 1HGGGGHGGHGGLLL 由于前向通路與所有單獨回路都接觸 所以余因子式 1 1 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 34321243132 432111 1 HGGGGHGGHGG GGGGp sR sC R S 1G1G2G3G41 C S H1 H2 H3 圖 2 11a 3 2 已知各系統(tǒng)得脈沖響應 試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 1 1 25 0 0125 t k te 2 510sin 445 k ttt 3 3 0 1 1 t k te 解 1 0 0125 1 25 sL k t s 2 10 5 sin4cos4 2 sL k tL ttt 22222 54 5 2 44 s sss 32 2 2 214 2 5 1 1616 1 16 ss s s 3 111 0 1 1 10 31 3 sL k t sss s 3 3 已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應為 1 2 10 12 5sin 1 653 1 t h tet 試求系 統(tǒng)的超調(diào)量 峰值時間 p t和調(diào)節(jié)時間 s t 解 1 2 1012 5sin 1 653 1 t h tet 1 2 10 1 1 25sin 1 653 1 t et 由上式可知 此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是 10 但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動態(tài)性 能指標 由于標準的二階系統(tǒng)單位階躍響應表達式為 2 2 1 1sin 1 1 nt n htet 所以有 2 2 1 2 111 25 11 6 n n 解上述方程組 得 0 6 2 n 所以 此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng) 其動態(tài)性能指標如下 超調(diào)量 2 10 6 1 2 5 100 100 9 5 ee 峰值時間 2 1 96 2 0 8 1 p n ts 調(diào)節(jié)時間 3 53 5 2 92 2 0 6 s n t 3 4 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 41 0 6 s G s s s 試求系統(tǒng)在單位階 躍輸入下的動態(tài)性能 解題過程 由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 222 0 41 1 12 n dnn G sssa s G sssa ss 其中2 1 0 5 2 5 2 n nd az z 這是一個比例 微分控制二階系統(tǒng) 比例 微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應為 2 1sin 1 dnt nd h tret 故顯然有 22 2 22 3 1 dnn d z r z 22 11 arctan arctan1 686 ndd dnd z 2 1 arctan1 047 3 d d d 此系統(tǒng)得動態(tài)性能指標為 峰值時間 2 3 155 1 d p nd t 超調(diào)量 2 1 2 116 2 dpn t d re 調(diào)節(jié)時間 222 11 3ln 2 lnln 1 22 5 134 nnnd s dn zz t 3 5 已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應為 6010 1 0 21 2 tt h tee 試確定系統(tǒng)的阻 尼比 和自然頻率 n 解 系統(tǒng)的單位脈沖響應為 60101060 121212 tttt k th teeee 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 11600 12 106010600 sL k t ssss 自然頻率 60024 5 n 阻尼比 70 1 429 2600 3 6 已知系統(tǒng)特征方程為 432 310520ssss 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維 茨穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 先用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 列出勞斯表如下 4 3 2 1 0 3 5 2 10 1 47 2 10 153 47 2 s s s s s 顯然 由于表中第一列元素得符號有兩次改變 所以該系統(tǒng)在s右半平面有 兩個閉環(huán)極點 因此 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 再用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 顯然 特征方程的各項系數(shù)均 為正 則 21203 10 5 3 1470aaa a 22 14 2 3 102 200 1 a a a 顯然 此系統(tǒng)不穩(wěn)定 3 7 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 2 4 625 K G s ssss 試應 用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義為多大值時 特使系統(tǒng)振蕩 并求出振蕩頻率 解 由題得 特征方程是 432 12691982000ssssK 列勞斯表 4 3 2 1 0 1 69 200 K 12 198 52 5 200 K 7995 12K 200 K s s s s s 由題意 令 1 s所在行為零得666 25K 由 2 s行得 2 52 5200666 250s 解之得 4 062si 所以振蕩角頻率為 4 062 rads 3 8 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 0 51 1 0 51 Ks G s s sss 試確定 系統(tǒng)穩(wěn)定時的K值范圍 解 由題可知系統(tǒng)的特征方程為 432 34 2 20D ssssK sK 列勞斯表如下 4 3 2 1 0 1 4 3 2 K 10 K 2K 3 10 K 2 K 6 3 10 K 3 2K s s s K s s 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得 10 0 3 10 2 3 6 0 10 3 20 K KKK K K 解上述方程組可得 01 705K 3 9 系統(tǒng)結構如圖 3 1 所示 1 Tss K sG 定義誤差 tctrte 1 若希望圖 a 中 系統(tǒng)所有的特征根位于s平面上2 s的左側(cè) 且阻尼 比為 0 5 求滿足條件的TK 的取值范圍 2 求圖 a 系統(tǒng)的單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差 3 為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零 讓斜坡輸入先通過一個比例微分環(huán)節(jié) 如圖 b 所 示 試求出合適的 0 K值 解 1 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 T K s T s TK KsTs K s 1 2 2 即 T K TTT K nnn 1 1 5 0 1 2 2 2 ssKsTssD令 代入上式得 02 14 14 2 2 22 TTsTTsKssTsD 列出勞斯表 2 1 0 T 4T 12 1 4T 4T 12 sT s sT 4 1002 14 041 0 TTTTT 無解或 02 14 041 0TTTT KT4 4 10 2 ttR 系統(tǒng)為 I 型系統(tǒng) Kess 1 3 KsTs KsKK KTss K sKsG 2 0 0 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 2 2 KsTss KKTs KsTs sKKTs s sGsRsCsRsE KK K KK KsTs KKTs ssEe ss ss 10 11 lim lim 0 0 2 0 00 令 0 K并沒有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性 a b 圖 3 1 習題 3 9 示意圖 3 10 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 1 100 0 11 5 G s ss 2 50 0 11 5 G s sss 試求輸入分別為 2r tt 和 2 22r ttt 時 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 解 1 10020 0 11 5 0 11 0 21 G s ssss 由上式可知 該系統(tǒng)是0型系統(tǒng) 且20K 0型系統(tǒng)在 2 1 1 2 t tt信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為 1 1K 根據(jù)線性 疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為 2r tt 時的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 2 ss e 該系統(tǒng)在輸 入為 2 22r ttt 時的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 1 22 1 ss e K 2 5010 0 11 5 0 11 0 21 G s ssssss 由上式可知 該系統(tǒng)是 型系統(tǒng) 且10K 型系統(tǒng)在 2 1 1 2 t tt信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為 1 0 K 根據(jù)線性疊加 原理有該系統(tǒng)在輸入為 2r tt 時的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 1 20 2 ss e K 該系統(tǒng)在輸入 為 2 22r ttt 時的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 1 202 ss e K 3 11 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為 01 1 1 01 1 1 1 asasas bsbsbsb sHsG sG s n n n m m m m 誤差定義為 tctrte 試證 1 系統(tǒng)在階躍信號輸入下 穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為 01 1 1 0 asasas a s n n n 2 系統(tǒng)在斜坡信號輸入下 穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為 01 1 1 01 asasas asa s n n n 3 推導系統(tǒng)在斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件 4 求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)型別之間的關系 解 1 01 1 1 0 asasas a s n n n 1 ssRsCsRsE 01 1 1 1 1 1 1 asasas sasas s n n n n n n 01 1 1 1 2 1 1 asasas asas n n n n n n 滿足終值定理的條件 0lim lim 01 1 1 1 1 1 00 asasas sasas ssEe n n n n n n ss 即證 2 01 1 1 01 asasas asa s n n n 1 ssRsCsRsE 01 1 1 2 2 1 1 2 1 asasas sasas s n n n n n n 01 1 1 2 2 1 1 asasas asas n n n n n n 滿足終值定理的條件 0lim lim 01 1 1 2 1 1 00 asasas sasas ssEe n n n n n n ss 即證 3 對于加速度輸入 穩(wěn)態(tài)誤差為零的必要條件為 01 1 1 01 2 2 asasas asasa s n n n 同理可證 4 系統(tǒng)型別比閉環(huán)函數(shù)分子最高次冪大 1 次 3 12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 50 0 11 21 G s ss 2 2 4200 K G s s ss 3 22 10 21 41 210 ss G s sss 試求位臵誤差系數(shù) p K 速度誤差系數(shù) v K 加速度誤差系數(shù) a K 解 1 此系統(tǒng)是一個0型系統(tǒng) 且20K 故查表可得10 p KK 0 v K 0 a K 2 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得 2 00 2 00 22 2 00 lim lim 4200 lim lim 4200 200 lim lim0 4200 p ss v ss a ss K KG s H s s ss KK Ks G s H ss s ss K Ks G s H ss s ss 3 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得 22 00 22 00 22 22 00 10 21 41 lim lim 210 10 21 41 lim lim 210 10 21 41 lim lim1 210 p ss v ss a ss ss KG s H s sss ss Ks G s H ss sss ss Ks G s H ss sss 3 13 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) isTs K sT K KsG m m f f1 1 1 0 輸入信號為 1 tbtatr 其中 0 K m K f K i f T m T均為正數(shù) a 和 b 為已知正常數(shù) 如果要求閉 環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 ss e 0 其中0 0 試求系統(tǒng)各參數(shù)滿足的條件 解 首先系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 0 23 KssTTsTT mfmf 式中 iKKKK mf 0 為系統(tǒng)的開環(huán)增益 各參數(shù)滿足 0 K 0 fmmf TKTTT 即穩(wěn)定條件為 mf m TT TTf K 0 由于本例是 I 型系統(tǒng) 其 p K KKv 故在 1 tbtatr 作用下 其穩(wěn)態(tài)誤差 0 K b ess 必有 0 b K 于是 即能保證系統(tǒng)穩(wěn)定 又滿足對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求的各參數(shù)之 間的條件為 mf mf mf TT TT iKKK b 0 0 3 14 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1G sTs 試用動態(tài)誤差系數(shù)法求出 當輸入信號分別為 2 2r tt 時 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 解 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 234 1 1 1 e E sTs sTsTsTsTs R sG sTs 所以有 234 e E ssR sTs R sTsR sTsR sTsR s 對上式進行拉氏反變換可得 234 4 e tT r tT r tT r tT rt 1 當 2 2r tt 時 顯然有 4 1 0 r tt r t r trt 將上述三式代入 1 式 可得 234 100 e tT tTTTT tT 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為lim lim ss tt ee tT tT 3 15 假設可用傳送函數(shù) 1 1 C s R sTs 描述溫度計的特性 現(xiàn)在用溫度計測量盛 在容器內(nèi)的水溫 需要一分鐘時間才能指出實際水溫的 98的數(shù)值 如果 給容器加熱 使水溫依10 min的速度線性變化 問溫度計的穩(wěn)態(tài)誤差有 多大 解 由題意 該一階系統(tǒng)得調(diào)整時間1min s t 但4 s tT 所以0 25minT 系統(tǒng)輸入為 10r tt 可推得 2 10 R s s 因此可得 2 110 1 1 C sR s TssTs 101010t Tc ttTTe c t的穩(wěn)態(tài)分量為 1010 ss cttT 穩(wěn)態(tài)誤差為 1010 0 252 5 ssss etr tctT 所以 穩(wěn)態(tài)誤差為2 5 C 3 16 如圖 3 2 所示的控制系統(tǒng)結構圖 誤差 sE在輸入端定義 擾動輸入 12 ttn 1 試求40 K時 系統(tǒng)在擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差 2 若20 K 其結果又如何 3 在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié) s 1 對其結果有何影響 在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié) s 1 對其結果又有何影響 解 令 105 0 1 s K G 5 1 2 s G 5 2 H 則 212 sEGGsNGsC 代入 sHCsRsE 圖 3 2 習題 3 16 示意圖 得 1 1 21 21 21 2 sR HGG GG sN HGG G sC 令0 sR 得擾動作用下的輸出表達式 1 21 2 sN HGG G sCn 此時的誤差表達式為 1 21 2 sN HGG HG sHCsRsE nn 若在 s 右半平面上解析 則有 1 lim lim 21 2 00 ssN HGG HG ssEe s n s ssn 在擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出為 1 lim lim 21 2 00 ssN HGG G ssCC s n s n 代入HGGsN 21 的表達式 可得 K e K c ssnn 5 21 5 5 21 1 1 當40 K時 101 5 101 2 ssnn ec 2 當20 K時 51 5 51 2 ssnn ec 可見 開環(huán)增益的減小將導致擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大 且穩(wěn)態(tài)誤差的 絕對值也增大 3 若s1加在擾動之前 則 105 0 1 ss K G 5 1 2 s G 5 2 H 得 0 0 ssnn ec 若s1加在擾動之后 則 105 0 1 s K G 5 1 2 s G 5 2 H 20 04 0 40 02 0 5 2 2 KK K cn 20 1 0 40 05 0 5 2 5 KK K essn 可見在擾動作用點之前的前向通路中加入積分環(huán)節(jié) 可以消除階躍輸入引起 的穩(wěn)態(tài)誤差 3 17 設隨動系統(tǒng)的微分方程為 2 2 3 3 tKrtKc dt tdc dt tcd T dt tcd TT mam 其中 tc為系統(tǒng)輸出量 tr為系統(tǒng)輸入量 m T為電動機機電時間常數(shù) a T為電動機電磁時間常數(shù) K為系統(tǒng)開環(huán)增益 初始條件全部為零 試討論 1 a T m T與K之間關系對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 2 當01 0 a T 1 0 m T 500 K時 可否忽略 a T的影響 在什么影 響下 a T的影響可以忽略 解 1 對系統(tǒng)微分方程在零初始條件下進行拉氏變換 得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 0 23 KssTsTT mam 當 m T a T K均為正值時 且有 0 1 2 KTTD am 即 a TK10 時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 2 由于01 0 a T 因此只有當1000 K 閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定 顯然 對于500 K 閉環(huán)不穩(wěn)定 此時若略去 a T 閉環(huán)特征方程為 05001 0 22 ssKssTm 上式中各項系數(shù)為正 從而得到得出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的錯誤結論 如果 100 K 如果100 K 則略去 a T不會影響閉環(huán)穩(wěn)定性 對于本例 當 a TK1 時 不能忽略 a T對穩(wěn)定性的影響 否則可以 忽略 3 18 設計題設計題 飛機的自動控制 是一個需要多變量反饋方式的例子 在該系統(tǒng)中 飛機的 飛行姿態(tài)由三組翼面決定 分別是 升降舵 方向舵和副翼 如附圖 3 3 a 所示 飛行員通過操縱這三組翼面 可以使飛機按照既定的路線飛行 這里所要討論的自動駕駛儀是一個自動控制系統(tǒng) 它通過調(diào)節(jié)副翼表面來控 制傾角 只要使副翼表面產(chǎn)生一個 的變形 氣壓在這些表面上會產(chǎn)生一個扭 矩 使飛機產(chǎn)生側(cè)滾 飛機副翼是由液壓操縱桿來控制的 后者的傳遞函數(shù)為 s 1 測量實際的傾角 并與輸入設定值進行比較 其差值被用來驅(qū)動液壓操縱 桿 而液壓操縱桿則反過來又會引起副翼表面產(chǎn)生變形 圖 3 3 a 飛機副翼模型圖 為簡單化起見 這里假定飛機的側(cè)滾運動與其他運動無關 其結構圖如圖 3 3 b 所示 又假定1 1 K 且角速率 由速率陀螺將其值進行反饋 期望的階 躍響應的超調(diào)量 10 調(diào)節(jié)時間 以 2 的標準 sts9 試選擇合適的 a K 和 2 K值 解 由于過阻尼響應緩慢 故通常不希望采用過阻尼系統(tǒng) 在本題中 0 1 欠阻尼 2 22 1 1 1 aa KaKa G s s sK KsK Ks 2 2 1 a Ka s sK KsKa 因此 2 2 21 n na Ka K K 計算可得 2 1 2 n a Ka K K Ka 又因 2 1100 e 3 5 9 s n t 由題計算可得0 59 0 659 n 圖 3 3 b 飛機控制傾角結構圖 故 2 0 4 0 634 a KK 4 1 已知系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖 4 1 所示 試繪制相應的根軌跡圖 解 a 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn b 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn c 根軌跡的漸近線條數(shù)為3 mn 漸近線的傾斜角為 60 1 180 2 240 3 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 a b c d e f 圖 4 1a 根軌跡圖 圖 4 1 習題 4 1 系統(tǒng)零極點分布圖 d 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn e 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn f 根軌跡的漸近線條數(shù)為1 mn 漸近線的傾斜角為 180 4 2 已知單位反饋控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為 1 4 2 1 2 sss sK sG 2 5 2 1 ssss K sG 3 204 4 2 ssss K sG 4 164 1 1 2 ssss sK sG 0 K 畫出各系統(tǒng)的根軌跡圖 解 1 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)開環(huán)有限零點為1 1 z 開環(huán)有限極點為4 2 0 432 1 ppp 實軸上的根軌跡區(qū)間為 1 2 4 根軌跡的漸近線條數(shù)為3 mn 漸近線的傾角為 60 1 180 2 60 3 漸近線與實軸的交點為 3 5 11 mn zp m i i n i i a 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖 4 2a 所示 2 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點 開環(huán)有限極點為5 2 1 0 4321 pppp 實軸上的根軌跡區(qū)間為 0 1 2 5 根軌跡的漸近線條數(shù)為4 mn 漸近線的傾角為 45 1 135 2 135 3 45 4 漸近線與實軸的交點為 2 11 mn zp m i i n i i a 分離點方程為 0 5 1 2 1 1 11 dddd 解得分離點40 0 06 4 21 dd 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖 4 2b 所示 j 0 2 4 1 圖 4 2a 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖 3 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點 開環(huán)有限極點為42 4 0 4 321 jppp 實軸上根軌跡區(qū)間為 0 4 根軌跡的漸近線條數(shù)為4 mn 2 a 315 225 135 45 a 根軌跡的起始角 復數(shù)開環(huán)有限極點42 4 3 jp 處 90 90 43 pp 分離點方程為 0 42 1 42 1 4 11 jdjddd 解得分離點62 2 3 21 jdd 檢查 2 1 d時 64 K 62 3 2 jd 時 100 K 321 ddd皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點 確定根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 080368 234 KsssssD 列寫勞斯表 j 0 1 2 5 圖 4 2b 4 3 2 1 0 1 36 K 8 80 26 K 80 268 s 26 s 0 s s s K 當260 K時 勞斯表出現(xiàn)全零行 輔助方程為 026026 2 ssA 解得根軌跡與虛軸交點為10 根軌跡如下圖 4 2c 所示 4 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)開環(huán)有限零點為 1 1z 開環(huán)有限極點為 1 0p 2 1p 322 4 3 jp 實軸上根軌跡區(qū)間為 1 0 1 根軌跡的漸近線條數(shù)為3 mn 3 2 a 60 180 60 a 分離點方程為 1 1 322 1 322 1 1 11 djdjddd 解得分離點45 0 26 2 21 dd j 0 4 2 6 4 4 2 2 圖 4 2c 根軌跡如下圖 4 2d 所示 4 3 給定系統(tǒng)如圖 4 2 所示 0 K 試畫出系統(tǒng)的根軌跡 并分析增益對系統(tǒng) 阻尼特性的影響 解 解 1 作系統(tǒng)的根軌跡 開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 3 2 ss ssK sFsG 開環(huán)極點為0和1 開環(huán)零點為2 和3 所以實軸上的根軌跡區(qū)間為 2 3 和 0 1 分離點方程 3 1 2 1 1 11 dddd 得分離點634 0 366 2 21 dd 檢查 j 0 11 圖 4 2d 圖 4 2 習題 4 3 系統(tǒng)零極點分布圖 366 2 1 d時 0718 0 3 2 1 366 2 s ss ss K 634 0 2 d時 93 13 3 2 1 634 0 s ss ss K 可得到根軌跡如下圖 4 3a 所示 2 分析增益對阻尼特性的影響 從根軌跡圖可以看出 對于任意0 K 閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的 但阻尼狀況 不同 增益較小時 0718 00 K 系統(tǒng)過阻尼 增益很大時 93 13 K 系統(tǒng)過阻尼 增益中等時 93 130718 0 K 系統(tǒng)欠阻尼 4 4 給定控制系統(tǒng)如圖 4 3 所示 0 K 試用系統(tǒng)的根軌跡圖確定 速度反 饋增益K為何值時能使閉環(huán)系統(tǒng)極點阻尼比等于7 0 解 解 1 求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并劃成標準形式 通過方塊圖變換或代數(shù)運算 可以求得單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) j 0 1 2 3 圖 4 3a 圖 4 3 習題 4 4 系統(tǒng)結構圖 101 101 1 101 1 10 kssssk s sG 因為可變參數(shù)K不是分子多項式的相乘因子 所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 0101010 101 2 kssskss 改寫為 0 10 10 1 2 ss ks 即 上述閉環(huán)特征方程也相當于開環(huán)傳遞函數(shù)為 kK ss Ks sG10 0 10 2 的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 2 根據(jù) G s作出根軌跡圖 G s有兩個極點0 53 1225j 一個零點0 所以負實軸是根軌跡 而且 其上有分離點 將閉環(huán)特征方程改寫為 s ss K 10 2 由0 dsdK可以求得10 s 其中10 s在根軌跡上 對應增益為 03246 5 K 故10 s是實軸上的分離點 根軌跡如圖 4 4a 所示 3 求反饋增益k 首先要確定閉環(huán)極點 設途中虛線代表0 7 則閉 j 0 0 7 圖 4 4a 環(huán)極點為根軌跡和該虛線的交點 由0 7 可得arccos45 57 設 nnnn jjs 51 07 01 2 1 列出該點對應的輻角條件 1225 35 0 1225 35 0 arg arg 11 jsjs s sG 12 180 5 07 0 1225 351 0 arctan 5 07 0 1225 351 0 arctan 7 0 51 0 arctan k n n n n 經(jīng)整理得 7 0 51 0 arctan 12 180 5 07 0 1225 351 0 arctan 5 07 0 1225 351 0 arctan k n n n n 兩邊同取正切 整理得 02020 100202 1 2 n 解得 1623 3 n 所以該閉環(huán)極點為 1 2 21362 2583sj 再由 4272 3 10 2583 22136 2 2 js s ss K 得速度反饋增益為3427 010 Kk 4 5 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 15 0 1 sss K sG 要求系統(tǒng)的 閉環(huán)極點有一對共軛復數(shù)極點 其阻尼比為5 0 試確定開環(huán)增益K 并 近似分析系統(tǒng)的時域性能 解 根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的基本法則 作系統(tǒng)的概略根軌跡如圖 4 5a 所示 欲確定K 需先確定共軛復極點 設復極點為 1 2 sxjy 根據(jù)阻尼比的要求 應保證 xxtgy732 1 arccos180 在圖上作0 5 的阻尼線 并得到初始試探點的橫坐標0 3x 由此求得縱坐 標0 52y 在0 30 52sj 處檢查相角條件 6 173 sG 不滿足相角條件 修正0 32x 則0 554y 點0 320 554sj 處的相角為 177 4 再取0 33x 則0 572y 點0 330 572sj 處的相角為180 因此共軛復極點 1 2 0 330 572sj 由模值條件求得 513 0 2 1 572 033 0 js KK 運用綜合除法求得另一閉環(huán)極點為 3 2 34s 共軛復極點的實部與實極點的實 部之比為0 14 因此可視共軛復極點為系統(tǒng)的主導極點 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可 近似表示為 436 0665 0 436 0 s 2 ss 并可近似地用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時域性能 j 0 2 1 1 2 2 1 0 5 圖 4 5a 6 10 5 3 n s t 3 16 100 2 1 e 4 6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 14 1 6 4 42 2 2 K sssss ssK sG 試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖 并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時 K 的取值范圍 解 由題得 開環(huán)極點 0 4 6 和0 70 714j 開環(huán)零點 11 7321j 分離 會合點 從s平面的零點 極點分布可知在區(qū)間內(nèi) 4 0 可能有分離 會 合點 記 25432 2 4 6 1 41 11 43943 624 24 A ss sssssssss B sss 由 A s B sA s B s 可得 4322 5432 545 611787 224 24 11 43943 624 22 ssssss ssssss 經(jīng)整理后得到 65432 330 8127 4338 4531 2348 8960ssssss 用試探法或程序算得區(qū)間 4 0 內(nèi)的一個根為2 3557 它就是實軸上的分離點 根軌跡自復數(shù)極點的出射角 54 88 根軌跡趨向復數(shù)零點的入射角 102 52 根軌跡與虛軸的交點 閉環(huán)特征方程為 5432 11 439 43 6 242 40f ssssk sK sK 令sj 可得 42 43 11 4