胡壽松自動(dòng)控制原理課后習(xí)題答案.pdf

胡壽松自動(dòng)控制原理課后習(xí)題答案胡壽松自動(dòng)控制原理課后習(xí)題答案 1 請(qǐng)解釋下列名字術(shù)語(yǔ) 自動(dòng)控制系統(tǒng) 受控對(duì)象 擾動(dòng) 給定值 參考輸入 反饋 解 自動(dòng)控制系統(tǒng) 能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)控制任務(wù)的系統(tǒng) 由控制裝臵與被控對(duì)象組成 受控對(duì)象 要求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的機(jī)器 設(shè)備或生產(chǎn)過(guò)程 擾動(dòng) 擾動(dòng)是一種對(duì)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號(hào) 如果擾動(dòng)產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部 稱為內(nèi)擾 擾動(dòng)產(chǎn)生在系統(tǒng)外部 則稱為外擾 外擾是系統(tǒng)的輸入量 給定值 受控對(duì)象的物理量在控制系統(tǒng)中應(yīng)保持的期望值 參考輸入即為給定值 反饋 將系統(tǒng)的輸出量饋送到參考輸入端 并與參考輸入進(jìn)行比較的過(guò)程 2 請(qǐng)說(shuō)明自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成部分 解 作為一個(gè)完整的控制系統(tǒng) 應(yīng)該由如下幾個(gè)部分組成 被控對(duì)象 所謂被控對(duì)象就是整個(gè)控制系統(tǒng)的控制對(duì)象 執(zhí)行部件 根據(jù)所接收到的相關(guān)信號(hào) 使得被控對(duì)象產(chǎn)生相應(yīng)的動(dòng)作 常 用的執(zhí)行元件有閥 電動(dòng)機(jī) 液壓馬達(dá)等 給定元件 給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入量 即參考量 比較元件 把測(cè)量元件檢測(cè)到的被控量的實(shí)際值與給定元件給出的參考值 進(jìn)行比較 求出它們之間的偏差 常用的比較元件有差動(dòng)放大 器 機(jī)械差動(dòng)裝臵和電橋等 測(cè)量反饋元件 該元部件的職能就是測(cè)量被控制的物理量 如果這個(gè)物理量 是非電量 一般需要將其轉(zhuǎn)換成為電量 常用的測(cè)量元部件有 測(cè)速發(fā)電機(jī) 熱電偶 各種傳感器等 放大元件 將比較元件給出的偏差進(jìn)行放大 用來(lái)推動(dòng)執(zhí)行元件去控制被 控對(duì)象 如電壓偏差信號(hào) 可用電子管 晶體管 集成電路 晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級(jí)加以放大 校正元件 亦稱補(bǔ)償元件 它是結(jié)構(gòu)或參數(shù)便于調(diào)整的元件 用串聯(lián)或反 饋的方式連接在系統(tǒng)中 用以改善系統(tǒng)的性能 常用的校正元 件有電阻 電容組成的無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò) 它們與原系統(tǒng)串聯(lián)或 與原系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)內(nèi)反饋系統(tǒng) 3 請(qǐng)說(shuō)出什么是反饋控制系統(tǒng) 開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)各有什么優(yōu)缺 點(diǎn) 解 反饋控制系統(tǒng)即閉環(huán)控制系統(tǒng) 在一個(gè)控制系統(tǒng) 將系統(tǒng)的輸出量通過(guò)某測(cè) 量機(jī)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量 并將該測(cè)量值與輸入量進(jìn)行比較 形成一個(gè)反饋通道 從而形成一個(gè)封閉的控制系統(tǒng) 開環(huán)系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn) 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單 缺點(diǎn) 控制的精度較差 閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn) 控制精度高 缺點(diǎn) 結(jié)構(gòu)復(fù)雜 設(shè)計(jì)分析麻煩 制造成本高 4 請(qǐng)說(shuō)明自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本性能要求 解 1 穩(wěn)定性 對(duì)恒值系統(tǒng)而言 要求當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后 經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的 調(diào)整能夠回到原來(lái)的期望值 而對(duì)隨動(dòng)系統(tǒng)而言 被控制量始終跟蹤參考量的變 化 穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定的 與外界因素?zé)o關(guān) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng) 的基本要求 不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)預(yù)定任務(wù) 2 準(zhǔn)確性 控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性一般用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)表示 即系統(tǒng)在參考輸入信 號(hào)作用下 系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做 給定穩(wěn)態(tài)誤差 顯然 這種誤差越小 表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高 3 快速性 對(duì)過(guò)渡過(guò)程的形式和快慢的要求 一般稱為控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 系統(tǒng)的快速性主要反映系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的變化而作出相應(yīng)的快慢程度 如穩(wěn)定高 射炮射角隨動(dòng)系統(tǒng) 雖然炮身最終能跟蹤目標(biāo) 但如果目標(biāo)變動(dòng)迅速 而炮身行 動(dòng)遲緩 仍然抓不住目標(biāo) 2 1 設(shè)質(zhì)量 彈簧 摩擦系統(tǒng)如圖 2 1 所示 途中f為黏性摩擦系數(shù) k為彈簧系 數(shù) 系統(tǒng)的輸入量為力 p t 系統(tǒng)的輸出量為質(zhì)量m的位移 x t 試列出系統(tǒng)的 輸入輸出微分方程 解 顯然 系統(tǒng)的摩擦力為 dt tdx f 彈簧力為 tkx 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有 2 2 dt txd mtkx dt tdx ftp 移項(xiàng)整理 得系統(tǒng)的微分方程為 2 2 tptkx dt tdx f dt txd m 圖 2 1 習(xí)題 2 1 質(zhì)量 彈簧 摩擦系統(tǒng)示意圖 2 2 試列寫圖 2 2 所示機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分 方程 解 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 不計(jì)重力時(shí) 得 2 11 221111 2 d ydy k y ty tMk yfF dtdt 整理得 2 11 112122 2 d ydy Mfkky tFk y t dtdt 2 3 求下列函數(shù)的拉氏變換 1 sin1 3 ttf 2 at tetf 3 4 3cos ttf 解 1 3 1 sin L f tLt 2 2 2 3 1 sin 11 3 1 3 1 1 LLt ss ss s s 2 at tetf 2 1 L t s 2 1 at L f tL te sa 3 2 cos 3 sin 3 cos 3 42 f tttt 2 sin 3 cos 3 2 L f ttt 圖 2 2 習(xí)題 2 2 機(jī)械系統(tǒng)示意圖 22 2 2 sin 3 cos 3 2 23 299 23 29 LtLt s ss s s 2 4 求下列函數(shù)的拉氏反變換 1 5 2 1 ss s sF 2 3 6 2 ss s sF 3 1 152 2 2 ss ss sF 解 1 112 2 5 25 s F s ssss 11 12 25 LF sL ss 11 25 12 2 25 2 tt LL ss ee 2 22 6211 3 3 s F s sssss 11 2 211 3 LF sL sss 111 2 3 111 2 3 21 t LLL sss te 3 2 22 25115 1 1 sss F s s sss 11 2 15 1 s LF sL ss 11 2 15 1 1 cos5sin s LL ss tt 2 5 試分別列寫圖 2 3 中各無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程 設(shè)電容C上的電壓為 tuc 電容 1 C上的電壓為 1 tuc 以此類推 R1 R2 C uiuo a uc t RR C1 ui uo b C2 uc1 t uc2 t C C R1 ui uo c R2 uR1 t uc1 t uc2 t 圖 2 3 習(xí)題 2 5 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)示意圖 解 a 設(shè)電容C上電壓為 tuc 由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 21 R tu R tu dt tdu C tututu occ oic 整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為 121 11 R tu dt tdu Ctu RRdt tdu C ii o o b 設(shè)電容 1 C 2 C上電壓為 21 tutu cc 由基爾霍夫定律可寫出回路方程 為 dt tdu RCtutu dt tdu C R tutu R tutu tututu c co ccoci oic 1 12 2 2 22 1 整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為 R tu dt tdu C dt tud CRC R tu dt tdu CC dt tud CRC iiiooo 2 2 1 2 2 2121 2 2 21 c 設(shè)電阻 2 R上電壓為 2 R ut 兩電容上電壓為 21 tutu cc 由基爾霍夫定 律可寫出回路方程為 21 tututu Ric 1 22 tututu Roc 2 2 221 R tu dt tdu C dt tdu C Rcc 3 dt tdu C R tutu coi 2 1 4 2 代入 4 并整理得 CR tutu dt tdu dt tdu oioR 1 2 5 1 2 代入 3 并整理得 2 22 2 R tu dt tdu C dt tdu C dt tdu C RRoi 兩端取微分 并將 5 代入 整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為 CR tu dt tdu CRdt tud CR CR tu dt tdu CRdt tud CR iiiooo 11 2 2 2 11 2 2 2 1 1 1 2 6 求圖 2 4 中各無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) R1 R2 C Ui s Uo s a RR C1 b C2 C C R1 c R2 Uc s Uc1 s Uc2 s Ui s Uo s Uc1 s Uc2 s Ui s Uo s UR2 s 圖 2 4 習(xí)題 2 6 示意圖 解 a 由圖得 21 R sU R sU sCsU oC C 1 sUsUsU oiC 2 2 代入 1 整理得傳遞函數(shù)為 2121 221 21 1 11 1 RRCsRR RCsRR RR Cs R Cs sU sU i o b 由圖得 1 sUsUsU oiC 1 22 22 ssUC R sUsU R sUsU C CoCi 2 211 sUsUssURC CoC 整理得傳遞函數(shù)為 1 2 12 2 1 2 1 21 2 21 2 1 2 21 2 2 2 1 2 1 CCRssCCR sRCsCCR sRC sRC sRC sRC sRC sU sU i o c 由圖得 21 sUsUsU RiC 1 22 sUsUsU RoC 2 2 2 21 R sU sCsUsCsU R CC 3 2 1 sCsU R sUsU C oi 4 整理得傳遞函數(shù)為 1 2 112 1 21 22 21 1 22 21 2121 2 CsRRsCRR CsRsCRR CsRRRR Cs R Cs sU sU i o 2 7 求圖 2 5 中無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) 解 由圖得 12 2 12 1 U sUs CsUs RRLs 整理得 212 2 111212 12 1 11 UsRRLs U sRCLsR R CL sRR Cs RRLs 2 8 試簡(jiǎn)化圖 2 6 中所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 并求傳遞函數(shù) sRsC和 sNsC 解 a 求傳遞函數(shù) sRsC 按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖 圖 2 5 習(xí)題 2 7 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)示意圖 令0 sN 利用反饋運(yùn)算簡(jiǎn)化如圖 2 8a 所示 串聯(lián)等效如圖 2 8b 所示 根據(jù)反饋運(yùn)算可得傳遞函數(shù) 3212211 21 3 22 2 11 1 22 2 11 1 1 1 11 1 11 HGGHGHG GG H HG G HG G HG G HG G sR sC 32122112211 21 1HGGHGHGHGHG GG 求傳遞函數(shù) sNsC 按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖 R S C S H3 11 1 1HG G 22 2 1HG G 圖 2 8a R S C S H3 22 2 11 1 11HG G HG G 圖 2 8b 圖 2 6 習(xí)題 2 8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖示意圖 令0 sR 重畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 2 8c 所示 將 3 H輸出端的端子前移 并將反饋運(yùn)算合并如圖 2 8d 所示 1 G和 1 H 串聯(lián)合并 并將單位比較點(diǎn)前移如圖 2 8e 所示 串并聯(lián)合并如圖 2 8f 所示 根據(jù)反饋和串聯(lián)運(yùn)算 得傳遞函數(shù) G1 C S H1 G2 H2 H3 N S 圖 2 8c 22 2 1HG G G1 C S H1 H3 H1 N S 圖 2 9d 22 2 1HG G G1H1 C S 1 G1H1 H3 H1 N S 圖 2 8e C S H3 H1 N S 11 1 1 HG 22 121 1HG HGG 圖 2 8f 1 3 22 121 22 121 11 1 1 1 1 1 H H HG HGG HG HGG HGsN sC 32122 121 11 11 1 1 HGGHG HGG HG HG 32122 1212 1HGGHG HGGG b 求傳遞函數(shù) sRsC 按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖 將 2 H的引出端前移如圖 2 8g 所示 合并反饋 串聯(lián)如圖 2 8h 所示 將 1 H的引出端前移如圖 2 8i 所示 G1 R S C S H1 G3 H2 H3 G2 1 G3 圖 2 8g G1 R S C S H1 H2 G3 33 32 1HG GG 圖 2 8h 合并反饋及串聯(lián)如圖 2 8j 所示 根據(jù)反饋運(yùn)算得傳遞函數(shù) 1 32 33 3322 321 3322 321 1 1 1 1 H GG HG HGHG GGG HGHG GGG sR sC 331133221 321 1HGHGHGHGHG GGG 2 9 試簡(jiǎn)化圖 2 7 中所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 并求傳遞函數(shù) sRsC G1 R S C S H1 H2 G3 33 32 1HG GG 32 33 1 GG HG 圖 2 8i R S C S 3322 321 1HGHG GGG 1 32 33 1 H GG HG 圖 2 8j 習(xí)題 2 4 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)示意圖 圖 2 7 習(xí)題 2 9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖示意圖 解 求傳遞函數(shù) sRsC 按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖 將 1 H的引出端前移如圖 2 9a 所示 合并反饋及串聯(lián)如圖 2 9b 所示 合并反饋 串聯(lián)如圖 2 9c 所示 根據(jù)反饋運(yùn)算 得傳遞函數(shù) G1G2G3G4 H1 H2 H3 R S C S 1 G4 圖 2 9a G1 H3 R S C S H1 G4 243 432 1HGG GGG 圖 2 9b H3 R S C S 243132 4321 1HGGHGG GGGG 圖 2 9c 34321243132 4321 3 243132 4321 243132 4321 1 1 1 1 HGGGGHGGHGG GGGG H HGGHGG GGGG HGGHGG GGGG sR sC 2 10 根據(jù)圖 2 6 給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖 并用梅森公式求 系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC和 sNsC 解 a 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 用節(jié)點(diǎn)代替結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)線上傳遞 的信號(hào) 用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替結(jié)構(gòu)圖中的方框 可以繪出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的信號(hào) 流圖 如圖 2 10a 所示 1 令0 sN 求系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC 由信號(hào)流圖 2 10a 可見 從源節(jié)點(diǎn) sR到阱節(jié)點(diǎn) sC之間 有一條前向通 路 其增益為 211 GGp 有三個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路 其回路增益分別為 111 HGL 222 HGL 3213 HGGL 1 L與 2 L互不接觸 221112 HGHGL 流圖特征式 R S 1G1G21 C S H1H2 H3 1 N S 2121321221112321 1 1HHGGHGGHGHGLLLL 由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸 所以余因子式 1 1 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 21213212211 2111 1 HHGGHGGHGHG GGp sR sC 2 令0 sR 求系統(tǒng)傳遞函數(shù) sNsC 由信號(hào)流圖 2 10a 可見 從源節(jié)點(diǎn) sN到阱節(jié)點(diǎn) sC之間 有兩條前向 通路 其增益為 21 Gp 1212 HGGp 有兩個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路 其回路增益分別為 221 HGL 3212 HGGL 沒(méi)有互不接觸的回路 所以流圖特征式為 3212221 1 1HGGHGLL 由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸 所以余因子式 1 1 1 2 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 32122 1212 2 1 1 1 HGGHG HGGG p sR sC i ii b 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 用節(jié)點(diǎn)代替結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)線上傳 遞的信號(hào) 用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替結(jié)構(gòu)圖中的方框 可以繪出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的信 號(hào)流圖 如圖 2 10b 所示 求系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC 由信號(hào)流圖 2 10b 可見 從源節(jié)點(diǎn) sR到阱節(jié)點(diǎn) sC之間 有一條前向通 路 其增益為 3211 GGGp 有三個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路 其回路增益分別為 111 HGL 222 HGL 333 HGL 1 L與 3 L互不接觸 313113 HHGGL 流圖特征式為 313133221113321 1 1HHGGHGHGHGLLLL 由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸 所以余因子式 1 1 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 3131332211 32111 1 HHGGHGHGHG GGGp sR sC 2 11 根據(jù)圖 2 7 給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖 并用梅森公式求 系統(tǒng)傳遞函數(shù) sRsC R S 1G1G2G31 C S H2 H1 H3 11 圖 2 10b 解 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 用節(jié)點(diǎn)代替結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)線上傳遞的信 號(hào) 用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替結(jié)構(gòu)圖中的方框 可以繪出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖 如圖 2 11a 所示 由信號(hào)流圖 2 11a 可見 從源節(jié)點(diǎn) sR到阱節(jié)點(diǎn) sC之間 有一條前向通 路 其增益為 43211 GGGGp 有三個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路 其回路增益分別為 1321 HGGL 2432 HGGL 343213 HGGGGL 沒(méi)有互不接觸回路 因此 流圖特征式 34321243132321 1 1HGGGGHGGHGGLLL 由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸 所以余因子式 1 1 根據(jù)梅森增益公式 得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 34321243132 432111 1 HGGGGHGGHGG GGGGp sR sC R S 1G1G2G3G41 C S H1 H2 H3 圖 2 11a 3 2 已知各系統(tǒng)得脈沖響應(yīng) 試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 1 1 25 0 0125 t k te 2 510sin 445 k ttt 3 3 0 1 1 t k te 解 1 0 0125 1 25 sL k t s 2 10 5 sin4cos4 2 sL k tL ttt 22222 54 5 2 44 s sss 32 2 2 214 2 5 1 1616 1 16 ss s s 3 111 0 1 1 10 31 3 sL k t sss s 3 3 已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 1 2 10 12 5sin 1 653 1 t h tet 試求系 統(tǒng)的超調(diào)量 峰值時(shí)間 p t和調(diào)節(jié)時(shí)間 s t 解 1 2 1012 5sin 1 653 1 t h tet 1 2 10 1 1 25sin 1 653 1 t et 由上式可知 此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是 10 但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性 能指標(biāo) 由于標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為 2 2 1 1sin 1 1 nt n htet 所以有 2 2 1 2 111 25 11 6 n n 解上述方程組 得 0 6 2 n 所以 此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng) 其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如下 超調(diào)量 2 10 6 1 2 5 100 100 9 5 ee 峰值時(shí)間 2 1 96 2 0 8 1 p n ts 調(diào)節(jié)時(shí)間 3 53 5 2 92 2 0 6 s n t 3 4 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 41 0 6 s G s s s 試求系統(tǒng)在單位階 躍輸入下的動(dòng)態(tài)性能 解題過(guò)程 由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 222 0 41 1 12 n dnn G sssa s G sssa ss 其中2 1 0 5 2 5 2 n nd az z 這是一個(gè)比例 微分控制二階系統(tǒng) 比例 微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 2 1sin 1 dnt nd h tret 故顯然有 22 2 22 3 1 dnn d z r z 22 11 arctan arctan1 686 ndd dnd z 2 1 arctan1 047 3 d d d 此系統(tǒng)得動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為 峰值時(shí)間 2 3 155 1 d p nd t 超調(diào)量 2 1 2 116 2 dpn t d re 調(diào)節(jié)時(shí)間 222 11 3ln 2 lnln 1 22 5 134 nnnd s dn zz t 3 5 已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 6010 1 0 21 2 tt h tee 試確定系統(tǒng)的阻 尼比 和自然頻率 n 解 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 60101060 121212 tttt k th teeee 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 11600 12 106010600 sL k t ssss 自然頻率 60024 5 n 阻尼比 70 1 429 2600 3 6 已知系統(tǒng)特征方程為 432 310520ssss 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維 茨穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 先用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 列出勞斯表如下 4 3 2 1 0 3 5 2 10 1 47 2 10 153 47 2 s s s s s 顯然 由于表中第一列元素得符號(hào)有兩次改變 所以該系統(tǒng)在s右半平面有 兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) 因此 該系統(tǒng)不穩(wěn)定 再用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 顯然 特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均 為正 則 21203 10 5 3 1470aaa a 22 14 2 3 102 200 1 a a a 顯然 此系統(tǒng)不穩(wěn)定 3 7 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 2 4 625 K G s ssss 試應(yīng) 用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義為多大值時(shí) 特使系統(tǒng)振蕩 并求出振蕩頻率 解 由題得 特征方程是 432 12691982000ssssK 列勞斯表 4 3 2 1 0 1 69 200 K 12 198 52 5 200 K 7995 12K 200 K s s s s s 由題意 令 1 s所在行為零得666 25K 由 2 s行得 2 52 5200666 250s 解之得 4 062si 所以振蕩角頻率為 4 062 rads 3 8 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 0 51 1 0 51 Ks G s s sss 試確定 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍 解 由題可知系統(tǒng)的特征方程為 432 34 2 20D ssssK sK 列勞斯表如下 4 3 2 1 0 1 4 3 2 K 10 K 2K 3 10 K 2 K 6 3 10 K 3 2K s s s K s s 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得 10 0 3 10 2 3 6 0 10 3 20 K KKK K K 解上述方程組可得 01 705K 3 9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 3 1 所示 1 Tss K sG 定義誤差 tctrte 1 若希望圖 a 中 系統(tǒng)所有的特征根位于s平面上2 s的左側(cè) 且阻尼 比為 0 5 求滿足條件的TK 的取值范圍 2 求圖 a 系統(tǒng)的單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差 3 為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零 讓斜坡輸入先通過(guò)一個(gè)比例微分環(huán)節(jié) 如圖 b 所 示 試求出合適的 0 K值 解 1 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 T K s T s TK KsTs K s 1 2 2 即 T K TTT K nnn 1 1 5 0 1 2 2 2 ssKsTssD令 代入上式得 02 14 14 2 2 22 TTsTTsKssTsD 列出勞斯表 2 1 0 T 4T 12 1 4T 4T 12 sT s sT 4 1002 14 041 0 TTTTT 無(wú)解或 02 14 041 0TTTT KT4 4 10 2 ttR 系統(tǒng)為 I 型系統(tǒng) Kess 1 3 KsTs KsKK KTss K sKsG 2 0 0 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 2 2 KsTss KKTs KsTs sKKTs s sGsRsCsRsE KK K KK KsTs KKTs ssEe ss ss 10 11 lim lim 0 0 2 0 00 令 0 K并沒(méi)有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性 a b 圖 3 1 習(xí)題 3 9 示意圖 3 10 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 1 100 0 11 5 G s ss 2 50 0 11 5 G s sss 試求輸入分別為 2r tt 和 2 22r ttt 時(shí) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 解 1 10020 0 11 5 0 11 0 21 G s ssss 由上式可知 該系統(tǒng)是0型系統(tǒng) 且20K 0型系統(tǒng)在 2 1 1 2 t tt信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為 1 1K 根據(jù)線性 疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為 2r tt 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 2 ss e 該系統(tǒng)在輸 入為 2 22r ttt 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 1 22 1 ss e K 2 5010 0 11 5 0 11 0 21 G s ssssss 由上式可知 該系統(tǒng)是 型系統(tǒng) 且10K 型系統(tǒng)在 2 1 1 2 t tt信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為 1 0 K 根據(jù)線性疊加 原理有該系統(tǒng)在輸入為 2r tt 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 1 20 2 ss e K 該系統(tǒng)在輸入 為 2 22r ttt 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為 2 1 202 ss e K 3 11 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為 01 1 1 01 1 1 1 asasas bsbsbsb sHsG sG s n n n m m m m 誤差定義為 tctrte 試證 1 系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下 穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為 01 1 1 0 asasas a s n n n 2 系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下 穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為 01 1 1 01 asasas asa s n n n 3 推導(dǎo)系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件 4 求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)型別之間的關(guān)系 解 1 01 1 1 0 asasas a s n n n 1 ssRsCsRsE 01 1 1 1 1 1 1 asasas sasas s n n n n n n 01 1 1 1 2 1 1 asasas asas n n n n n n 滿足終值定理的條件 0lim lim 01 1 1 1 1 1 00 asasas sasas ssEe n n n n n n ss 即證 2 01 1 1 01 asasas asa s n n n 1 ssRsCsRsE 01 1 1 2 2 1 1 2 1 asasas sasas s n n n n n n 01 1 1 2 2 1 1 asasas asas n n n n n n 滿足終值定理的條件 0lim lim 01 1 1 2 1 1 00 asasas sasas ssEe n n n n n n ss 即證 3 對(duì)于加速度輸入 穩(wěn)態(tài)誤差為零的必要條件為 01 1 1 01 2 2 asasas asasa s n n n 同理可證 4 系統(tǒng)型別比閉環(huán)函數(shù)分子最高次冪大 1 次 3 12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 50 0 11 21 G s ss 2 2 4200 K G s s ss 3 22 10 21 41 210 ss G s sss 試求位臵誤差系數(shù) p K 速度誤差系數(shù) v K 加速度誤差系數(shù) a K 解 1 此系統(tǒng)是一個(gè)0型系統(tǒng) 且20K 故查表可得10 p KK 0 v K 0 a K 2 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得 2 00 2 00 22 2 00 lim lim 4200 lim lim 4200 200 lim lim0 4200 p ss v ss a ss K KG s H s s ss KK Ks G s H ss s ss K Ks G s H ss s ss 3 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得 22 00 22 00 22 22 00 10 21 41 lim lim 210 10 21 41 lim lim 210 10 21 41 lim lim1 210 p ss v ss a ss ss KG s H s sss ss Ks G s H ss sss ss Ks G s H ss sss 3 13 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) isTs K sT K KsG m m f f1 1 1 0 輸入信號(hào)為 1 tbtatr 其中 0 K m K f K i f T m T均為正數(shù) a 和 b 為已知正常數(shù) 如果要求閉 環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 ss e 0 其中0 0 試求系統(tǒng)各參數(shù)滿足的條件 解 首先系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 0 23 KssTTsTT mfmf 式中 iKKKK mf 0 為系統(tǒng)的開環(huán)增益 各參數(shù)滿足 0 K 0 fmmf TKTTT 即穩(wěn)定條件為 mf m TT TTf K 0 由于本例是 I 型系統(tǒng) 其 p K KKv 故在 1 tbtatr 作用下 其穩(wěn)態(tài)誤差 0 K b ess 必有 0 b K 于是 即能保證系統(tǒng)穩(wěn)定 又滿足對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求的各參數(shù)之 間的條件為 mf mf mf TT TT iKKK b 0 0 3 14 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1G sTs 試用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法求出 當(dāng)輸入信號(hào)分別為 2 2r tt 時(shí) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 解 系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 234 1 1 1 e E sTs sTsTsTsTs R sG sTs 所以有 234 e E ssR sTs R sTsR sTsR sTsR s 對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得 234 4 e tT r tT r tT r tT rt 1 當(dāng) 2 2r tt 時(shí) 顯然有 4 1 0 r tt r t r trt 將上述三式代入 1 式 可得 234 100 e tT tTTTT tT 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為lim lim ss tt ee tT tT 3 15 假設(shè)可用傳送函數(shù) 1 1 C s R sTs 描述溫度計(jì)的特性 現(xiàn)在用溫度計(jì)測(cè)量盛 在容器內(nèi)的水溫 需要一分鐘時(shí)間才能指出實(shí)際水溫的 98的數(shù)值 如果 給容器加熱 使水溫依10 min的速度線性變化 問(wèn)溫度計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差有 多大 解 由題意 該一階系統(tǒng)得調(diào)整時(shí)間1min s t 但4 s tT 所以0 25minT 系統(tǒng)輸入為 10r tt 可推得 2 10 R s s 因此可得 2 110 1 1 C sR s TssTs 101010t Tc ttTTe c t的穩(wěn)態(tài)分量為 1010 ss cttT 穩(wěn)態(tài)誤差為 1010 0 252 5 ssss etr tctT 所以 穩(wěn)態(tài)誤差為2 5 C 3 16 如圖 3 2 所示的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 誤差 sE在輸入端定義 擾動(dòng)輸入 12 ttn 1 試求40 K時(shí) 系統(tǒng)在擾動(dòng)輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差 2 若20 K 其結(jié)果又如何 3 在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié) s 1 對(duì)其結(jié)果有何影響 在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié) s 1 對(duì)其結(jié)果又有何影響 解 令 105 0 1 s K G 5 1 2 s G 5 2 H 則 212 sEGGsNGsC 代入 sHCsRsE 圖 3 2 習(xí)題 3 16 示意圖 得 1 1 21 21 21 2 sR HGG GG sN HGG G sC 令0 sR 得擾動(dòng)作用下的輸出表達(dá)式 1 21 2 sN HGG G sCn 此時(shí)的誤差表達(dá)式為 1 21 2 sN HGG HG sHCsRsE nn 若在 s 右半平面上解析 則有 1 lim lim 21 2 00 ssN HGG HG ssEe s n s ssn 在擾動(dòng)輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出為 1 lim lim 21 2 00 ssN HGG G ssCC s n s n 代入HGGsN 21 的表達(dá)式 可得 K e K c ssnn 5 21 5 5 21 1 1 當(dāng)40 K時(shí) 101 5 101 2 ssnn ec 2 當(dāng)20 K時(shí) 51 5 51 2 ssnn ec 可見 開環(huán)增益的減小將導(dǎo)致擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大 且穩(wěn)態(tài)誤差的 絕對(duì)值也增大 3 若s1加在擾動(dòng)之前 則 105 0 1 ss K G 5 1 2 s G 5 2 H 得 0 0 ssnn ec 若s1加在擾動(dòng)之后 則 105 0 1 s K G 5 1 2 s G 5 2 H 20 04 0 40 02 0 5 2 2 KK K cn 20 1 0 40 05 0 5 2 5 KK K essn 可見在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通路中加入積分環(huán)節(jié) 可以消除階躍輸入引起 的穩(wěn)態(tài)誤差 3 17 設(shè)隨動(dòng)系統(tǒng)的微分方程為 2 2 3 3 tKrtKc dt tdc dt tcd T dt tcd TT mam 其中 tc為系統(tǒng)輸出量 tr為系統(tǒng)輸入量 m T為電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù) a T為電動(dòng)機(jī)電磁時(shí)間常數(shù) K為系統(tǒng)開環(huán)增益 初始條件全部為零 試討論 1 a T m T與K之間關(guān)系對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 2 當(dāng)01 0 a T 1 0 m T 500 K時(shí) 可否忽略 a T的影響 在什么影 響下 a T的影響可以忽略 解 1 對(duì)系統(tǒng)微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換 得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 0 23 KssTsTT mam 當(dāng) m T a T K均為正值時(shí) 且有 0 1 2 KTTD am 即 a TK10 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 2 由于01 0 a T 因此只有當(dāng)1000 K 閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定 顯然 對(duì)于500 K 閉環(huán)不穩(wěn)定 此時(shí)若略去 a T 閉環(huán)特征方程為 05001 0 22 ssKssTm 上式中各項(xiàng)系數(shù)為正 從而得到得出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的錯(cuò)誤結(jié)論 如果 100 K 如果100 K 則略去 a T不會(huì)影響閉環(huán)穩(wěn)定性 對(duì)于本例 當(dāng) a TK1 時(shí) 不能忽略 a T對(duì)穩(wěn)定性的影響 否則可以 忽略 3 18 設(shè)計(jì)題設(shè)計(jì)題 飛機(jī)的自動(dòng)控制 是一個(gè)需要多變量反饋方式的例子 在該系統(tǒng)中 飛機(jī)的 飛行姿態(tài)由三組翼面決定 分別是 升降舵 方向舵和副翼 如附圖 3 3 a 所示 飛行員通過(guò)操縱這三組翼面 可以使飛機(jī)按照既定的路線飛行 這里所要討論的自動(dòng)駕駛儀是一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng) 它通過(guò)調(diào)節(jié)副翼表面來(lái)控 制傾角 只要使副翼表面產(chǎn)生一個(gè) 的變形 氣壓在這些表面上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)扭 矩 使飛機(jī)產(chǎn)生側(cè)滾 飛機(jī)副翼是由液壓操縱桿來(lái)控制的 后者的傳遞函數(shù)為 s 1 測(cè)量實(shí)際的傾角 并與輸入設(shè)定值進(jìn)行比較 其差值被用來(lái)驅(qū)動(dòng)液壓操縱 桿 而液壓操縱桿則反過(guò)來(lái)又會(huì)引起副翼表面產(chǎn)生變形 圖 3 3 a 飛機(jī)副翼模型圖 為簡(jiǎn)單化起見 這里假定飛機(jī)的側(cè)滾運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān) 其結(jié)構(gòu)圖如圖 3 3 b 所示 又假定1 1 K 且角速率 由速率陀螺將其值進(jìn)行反饋 期望的階 躍響應(yīng)的超調(diào)量 10 調(diào)節(jié)時(shí)間 以 2 的標(biāo)準(zhǔn) sts9 試選擇合適的 a K 和 2 K值 解 由于過(guò)阻尼響應(yīng)緩慢 故通常不希望采用過(guò)阻尼系統(tǒng) 在本題中 0 1 欠阻尼 2 22 1 1 1 aa KaKa G s s sK KsK Ks 2 2 1 a Ka s sK KsKa 因此 2 2 21 n na Ka K K 計(jì)算可得 2 1 2 n a Ka K K Ka 又因 2 1100 e 3 5 9 s n t 由題計(jì)算可得0 59 0 659 n 圖 3 3 b 飛機(jī)控制傾角結(jié)構(gòu)圖 故 2 0 4 0 634 a KK 4 1 已知系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖 4 1 所示 試?yán)L制相應(yīng)的根軌跡圖 解 a 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn b 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn c 根軌跡的漸近線條數(shù)為3 mn 漸近線的傾斜角為 60 1 180 2 240 3 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 a b c d e f 圖 4 1a 根軌跡圖 圖 4 1 習(xí)題 4 1 系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖 d 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn e 根軌跡的漸近線條數(shù)為0 mn f 根軌跡的漸近線條數(shù)為1 mn 漸近線的傾斜角為 180 4 2 已知單位反饋控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為 1 4 2 1 2 sss sK sG 2 5 2 1 ssss K sG 3 204 4 2 ssss K sG 4 164 1 1 2 ssss sK sG 0 K 畫出各系統(tǒng)的根軌跡圖 解 1 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為1 1 z 開環(huán)有限極點(diǎn)為4 2 0 432 1 ppp 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為 1 2 4 根軌跡的漸近線條數(shù)為3 mn 漸近線的傾角為 60 1 180 2 60 3 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 3 5 11 mn zp m i i n i i a 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖 4 2a 所示 2 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)沒(méi)有開環(huán)有限零點(diǎn) 開環(huán)有限極點(diǎn)為5 2 1 0 4321 pppp 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為 0 1 2 5 根軌跡的漸近線條數(shù)為4 mn 漸近線的傾角為 45 1 135 2 135 3 45 4 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 2 11 mn zp m i i n i i a 分離點(diǎn)方程為 0 5 1 2 1 1 11 dddd 解得分離點(diǎn)40 0 06 4 21 dd 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖 4 2b 所示 j 0 2 4 1 圖 4 2a 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖 3 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)沒(méi)有開環(huán)有限零點(diǎn) 開環(huán)有限極點(diǎn)為42 4 0 4 321 jppp 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為 0 4 根軌跡的漸近線條數(shù)為4 mn 2 a 315 225 135 45 a 根軌跡的起始角 復(fù)數(shù)開環(huán)有限極點(diǎn)42 4 3 jp 處 90 90 43 pp 分離點(diǎn)方程為 0 42 1 42 1 4 11 jdjddd 解得分離點(diǎn)62 2 3 21 jdd 檢查 2 1 d時(shí) 64 K 62 3 2 jd 時(shí) 100 K 321 ddd皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn) 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 080368 234 KsssssD 列寫勞斯表 j 0 1 2 5 圖 4 2b 4 3 2 1 0 1 36 K 8 80 26 K 80 268 s 26 s 0 s s s K 當(dāng)260 K時(shí) 勞斯表出現(xiàn)全零行 輔助方程為 026026 2 ssA 解得根軌跡與虛軸交點(diǎn)為10 根軌跡如下圖 4 2c 所示 4 按下列步驟繪制根軌跡 系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為 1 1z 開環(huán)有限極點(diǎn)為 1 0p 2 1p 322 4 3 jp 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為 1 0 1 根軌跡的漸近線條數(shù)為3 mn 3 2 a 60 180 60 a 分離點(diǎn)方程為 1 1 322 1 322 1 1 11 djdjddd 解得分離點(diǎn)45 0 26 2 21 dd j 0 4 2 6 4 4 2 2 圖 4 2c 根軌跡如下圖 4 2d 所示 4 3 給定系統(tǒng)如圖 4 2 所示 0 K 試畫出系統(tǒng)的根軌跡 并分析增益對(duì)系統(tǒng) 阻尼特性的影響 解 解 1 作系統(tǒng)的根軌跡 開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 3 2 ss ssK sFsG 開環(huán)極點(diǎn)為0和1 開環(huán)零點(diǎn)為2 和3 所以實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為 2 3 和 0 1 分離點(diǎn)方程 3 1 2 1 1 11 dddd 得分離點(diǎn)634 0 366 2 21 dd 檢查 j 0 11 圖 4 2d 圖 4 2 習(xí)題 4 3 系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖 366 2 1 d時(shí) 0718 0 3 2 1 366 2 s ss ss K 634 0 2 d時(shí) 93 13 3 2 1 634 0 s ss ss K 可得到根軌跡如下圖 4 3a 所示 2 分析增益對(duì)阻尼特性的影響 從根軌跡圖可以看出 對(duì)于任意0 K 閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的 但阻尼狀況 不同 增益較小時(shí) 0718 00 K 系統(tǒng)過(guò)阻尼 增益很大時(shí) 93 13 K 系統(tǒng)過(guò)阻尼 增益中等時(shí) 93 130718 0 K 系統(tǒng)欠阻尼 4 4 給定控制系統(tǒng)如圖 4 3 所示 0 K 試用系統(tǒng)的根軌跡圖確定 速度反 饋增益K為何值時(shí)能使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)阻尼比等于7 0 解 解 1 求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并劃成標(biāo)準(zhǔn)形式 通過(guò)方塊圖變換或代數(shù)運(yùn)算 可以求得單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) j 0 1 2 3 圖 4 3a 圖 4 3 習(xí)題 4 4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 101 101 1 101 1 10 kssssk s sG 因?yàn)榭勺儏?shù)K不是分子多項(xiàng)式的相乘因子 所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 0101010 101 2 kssskss 改寫為 0 10 10 1 2 ss ks 即 上述閉環(huán)特征方程也相當(dāng)于開環(huán)傳遞函數(shù)為 kK ss Ks sG10 0 10 2 的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 2 根據(jù) G s作出根軌跡圖 G s有兩個(gè)極點(diǎn)0 53 1225j 一個(gè)零點(diǎn)0 所以負(fù)實(shí)軸是根軌跡 而且 其上有分離點(diǎn) 將閉環(huán)特征方程改寫為 s ss K 10 2 由0 dsdK可以求得10 s 其中10 s在根軌跡上 對(duì)應(yīng)增益為 03246 5 K 故10 s是實(shí)軸上的分離點(diǎn) 根軌跡如圖 4 4a 所示 3 求反饋增益k 首先要確定閉環(huán)極點(diǎn) 設(shè)途中虛線代表0 7 則閉 j 0 0 7 圖 4 4a 環(huán)極點(diǎn)為根軌跡和該虛線的交點(diǎn) 由0 7 可得arccos45 57 設(shè) nnnn jjs 51 07 01 2 1 列出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輻角條件 1225 35 0 1225 35 0 arg arg 11 jsjs s sG 12 180 5 07 0 1225 351 0 arctan 5 07 0 1225 351 0 arctan 7 0 51 0 arctan k n n n n 經(jīng)整理得 7 0 51 0 arctan 12 180 5 07 0 1225 351 0 arctan 5 07 0 1225 351 0 arctan k n n n n 兩邊同取正切 整理得 02020 100202 1 2 n 解得 1623 3 n 所以該閉環(huán)極點(diǎn)為 1 2 21362 2583sj 再由 4272 3 10 2583 22136 2 2 js s ss K 得速度反饋增益為3427 010 Kk 4 5 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 15 0 1 sss K sG 要求系統(tǒng)的 閉環(huán)極點(diǎn)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 其阻尼比為5 0 試確定開環(huán)增益K 并 近似分析系統(tǒng)的時(shí)域性能 解 根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的基本法則 作系統(tǒng)的概略根軌跡如圖 4 5a 所示 欲確定K 需先確定共軛復(fù)極點(diǎn) 設(shè)復(fù)極點(diǎn)為 1 2 sxjy 根據(jù)阻尼比的要求 應(yīng)保證 xxtgy732 1 arccos180 在圖上作0 5 的阻尼線 并得到初始試探點(diǎn)的橫坐標(biāo)0 3x 由此求得縱坐 標(biāo)0 52y 在0 30 52sj 處檢查相角條件 6 173 sG 不滿足相角條件 修正0 32x 則0 554y 點(diǎn)0 320 554sj 處的相角為 177 4 再取0 33x 則0 572y 點(diǎn)0 330 572sj 處的相角為180 因此共軛復(fù)極點(diǎn) 1 2 0 330 572sj 由模值條件求得 513 0 2 1 572 033 0 js KK 運(yùn)用綜合除法求得另一閉環(huán)極點(diǎn)為 3 2 34s 共軛復(fù)極點(diǎn)的實(shí)部與實(shí)極點(diǎn)的實(shí) 部之比為0 14 因此可視共軛復(fù)極點(diǎn)為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可 近似表示為 436 0665 0 436 0 s 2 ss 并可近似地用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時(shí)域性能 j 0 2 1 1 2 2 1 0 5 圖 4 5a 6 10 5 3 n s t 3 16 100 2 1 e 4 6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 14 1 6 4 42 2 2 K sssss ssK sG 試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖 并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí) K 的取值范圍 解 由題得 開環(huán)極點(diǎn) 0 4 6 和0 70 714j 開環(huán)零點(diǎn) 11 7321j 分離 會(huì)合點(diǎn) 從s平面的零點(diǎn) 極點(diǎn)分布可知在區(qū)間內(nèi) 4 0 可能有分離 會(huì) 合點(diǎn) 記 25432 2 4 6 1 41 11 43943 624 24 A ss sssssssss B sss 由 A s B sA s B s 可得 4322 5432 545 611787 224 24 11 43943 624 22 ssssss ssssss 經(jīng)整理后得到 65432 330 8127 4338 4531 2348 8960ssssss 用試探法或程序算得區(qū)間 4 0 內(nèi)的一個(gè)根為2 3557 它就是實(shí)軸上的分離點(diǎn) 根軌跡自復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角 54 88 根軌跡趨向復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角 102 52 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 閉環(huán)特征方程為 5432 11 439 43 6 242 40f ssssk sK sK 令sj 可得 42 43 11 4