高等數(shù)學(xué)(二)復(fù)習(xí)大綱及復(fù)習(xí)題.doc

武漢理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)院專升本入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（二）復(fù)習(xí)大綱及復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)（二）入學(xué)考試以中國人民大學(xué)趙樹嫄主編微積分（修訂本）為復(fù)習(xí)參考教材，難度不超過該教材每章后習(xí)題，具體要求如下：第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)1、熟練掌握函數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，能進(jìn)行函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算；會計算函數(shù)的定義域；會判斷函數(shù)的奇偶性、有界性。2、掌握函數(shù)的表示方法，能建立簡單的函數(shù)關(guān)系。3、熟練掌握極限的概念及性質(zhì)，會利用左右極限判斷極限的存在性；會利用極限運(yùn)算法則、兩個重要極限、無窮小量的性質(zhì)求極限。4、熟練掌握函數(shù)連續(xù)的概念及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會判斷分?jǐn)嗪瘮?shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性；掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的概念及其分類，會判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。5、掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會利用介值定理判斷方程根的存在性。第二部分 導(dǎo)數(shù)與微分1、熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的概念，會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程；知道連續(xù)、可導(dǎo)及可微之間的關(guān)系。2、熟練掌握和、差、積、商的求導(dǎo)法則；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)法則及微分法則；會計算各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分；會計算簡單的高階導(dǎo)數(shù)。第三部分 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、熟練掌握中值定理的條件及結(jié)論，會利用拉格郎日中值定理證明不等式。2、熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、能用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式，掌握凹凸性的定義及其判定方法。3、掌握函數(shù)極值的概念及求法，會利用極值的理論解決實(shí)際應(yīng)用中的最值問題。4、熟練掌握導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用。第四部分 不定積分1、熟練掌握不定積分概念及性質(zhì)，熟練掌握積分方法，會用換元積分法和分布積分法計算不定積分。2、了解幾種特殊類型函數(shù)的積分方法；了解積分表的使用。第五部分 定積分及其應(yīng)用1、熟練掌握定積分的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用；熟練掌握變上限積分函數(shù)的概念及性質(zhì)，會求變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2、熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法，會利用換元積分法和分部積分法計算定積分。3、掌握廣義積分的概念及收斂性的判斷，會計算廣義積分，會判斷廣義積分的收斂性。4、掌握定積分的元素法，熟練掌握在平面直角坐標(biāo)系下，平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積計算方法。5、熟練掌握定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用。第八章 多元函數(shù)微分學(xué)1、 了解多元函數(shù)的概念。了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念。2、 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念。了解全微分的概念。3、會求二元函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會求二元函數(shù)的全微分。4、 掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5、會求由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。6、 了解二元函數(shù)極值存在的必要條件、充分條件。會求二元函數(shù)的極值。第九章 微分方程1、 熟練掌握微分方程的有關(guān)概念。2、 熟練掌握變量可分離的微分方程、一階線性微分方程的解法。武漢理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)院專升本入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題及解答一、選擇題例1 函數(shù)的定義域是（ C ）A、（-1，+） B、-1，+ C、（1，+） D、 1，+例2 設(shè)（a為大于零的常數(shù)），則 A、 x（x-a） B、x（x+a） C、（x-a）（x+a） D、例3 函數(shù)是定義域內(nèi)的（ C）A、周期函數(shù) B、單調(diào)函數(shù) C、有界函數(shù) D、無界函數(shù)例 4（ A）A、e2 B、e C、 D、例5（ D ）A、0 B、1 C、 D、2例 6 A、0 B、 C、 D、例 7 ( D )A、 B、2 C、0 D、-2例 8函數(shù)的間斷點(diǎn)的個數(shù)為（C）A、0 B、1 C、2 D、3例 9設(shè) 在x=0處連續(xù)，則a等于（D ）A、-1 B、1 C、2 D、3例10 設(shè)函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo)，并且則 等于( D )A、 B、2 C、 D、-2例11設(shè)=1，則在x=x0處，當(dāng)時與相比較為( D )A、 低階無窮小量 B、高階無窮小量 C、 同階但不等價 D、等價無窮小量例12設(shè)存在，則=( B ) A、 B、 C、 D、例13設(shè)函數(shù)f（x）在x=a處可導(dǎo)，則( C )A、0 B、 C、2 D、例14設(shè)( C )A、 B、C、-2cosx D、-例15 設(shè) （ A ）A、在（0，）內(nèi)單調(diào)減少 B、在（）內(nèi)單調(diào)減少C、在（0，+）內(nèi)單調(diào)減少 D、（0，+）在內(nèi)單調(diào)增加例16 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（ C ）A、（-5，5） B、（，0） C、（0，） D、（-）例17 以下結(jié)論正確的是（ C ）A、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是的極值點(diǎn)B、若x0為的駐點(diǎn)，則x0必為的極值點(diǎn)C、若在x0處有極值，且存在，則必有=0D、若在x0處連續(xù)，則一定存在例18是（ ）的一個原函數(shù)A、 B、 C、 D、分析：由原函數(shù)的概念及知，應(yīng)選B例19（ A）是函數(shù)的一個原函數(shù)A、 B、 C、 D、例20設(shè)函數(shù)在上是連續(xù)的，下列等式正確的是（ C ）A、 B、C、 D、例21設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則=( B ) A、小于零 B、等于零 C、大于零 D 、不確定例22設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則曲線與直線所圍成的平面圖形的面積等于（ C ）A、 B、 C、 D 、例23設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，A、 B、 C、 D、例24下列微分方程中，屬于變量可分離的微分方程是（C ）A、 B、C、 D、例25方程是（ C ）A、變量可分離的方程 B、齊次方程 C、一階線性方程 D、都不對例26微分方程（ C ）A、 B、 C、 D、二、填空題 例1設(shè)，則 分析：設(shè)例2 函數(shù)的反函數(shù) 分析：設(shè)例3函數(shù)的定義域是 分析：要使函數(shù)有意義必須滿足：x，即所以函數(shù)的定義域?yàn)椋豪?若=3 ， 則a= 分析：當(dāng)x時，分母的極限為0，分式的極限存在，可知分子的極限一定為0，即，解得：a=-2例5設(shè) 分析：根據(jù)函數(shù)在定點(diǎn)連續(xù)的定義，f（x）必須滿足條件f（-0）=f（+0）=f（0）而f（-0）=，f（+0）=所以A=0例6 設(shè)函數(shù)則 分析：例7設(shè) 分析：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得= 所以例8 曲線方程在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為 法線方程為 分析：切線方程為：法線方程為：例9 函數(shù)由方程確定，則 分析：將方程的兩端對求導(dǎo)可得；解得：例10設(shè)函數(shù) 分析： =所以 例11 函數(shù)f（x）=（ ）在-1，1上滿足羅爾定理的條件A、 B、 C、1-x2 D、x-1分析：羅爾定理有三個條件，（1）f（x）在a，b上連續(xù)，（2）f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，（3）f（a）=f（b）對于A，在x=0處無定義，不連續(xù)對于B，f（x）在x=0處不可導(dǎo)對于D，f（-1）f（1）而對于C，同時滿足三個條件，故選C例12 下列函數(shù)在1，e上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的是（ ）A、 B、 C、 D、分析：拉格朗日定理有兩個條件，（1）f（x）在a，b上連續(xù)，（2）f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，只要驗(yàn)證哪個函數(shù)同時滿足兩個條件對于A，f（x）在x=1處無定義，可知f（x）在1，e上不連續(xù)；對于C，f（x）在x=1處無定義，可知f（x）在1，e上不連續(xù)；對于D，f（x）在x=e處無定義，可知f（x）在1，e上不連續(xù)；而對于B，f（x）在1，e 連續(xù)，在（1，e）上可導(dǎo)，故選B例13 設(shè) （ ）A、在（0，）內(nèi)單調(diào)減少 B、在（）內(nèi)單調(diào)減少C、在（0，+）內(nèi)單調(diào)減少 D、（0，+）在內(nèi)單調(diào)增加分析：的定義域?yàn)椋?，+），而當(dāng) 當(dāng)x（0，）時，f（x）單調(diào)減少，而當(dāng)x（）時，f（x）單調(diào)增加，故選A例14 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（ ）A、（-5，5） B、（，0） C、（0，） D、（-）分析：的定義域?yàn)椋?），由于可知x0時，所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（0，），故選C例15 以下結(jié)論正確的是（ ）A、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是的極值點(diǎn)B、若x0為的駐點(diǎn)，則x0必為的極值點(diǎn)C、若在x0處有極值，且存在，則必有=0D、若在x0處連續(xù)，則一定存在分析：設(shè)y=，則y在x=0處連續(xù)，不可導(dǎo)，但x=0是y=極小值點(diǎn)，可知A、D不對；設(shè)y=x3，則，x=0為y=x3的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)，應(yīng)排除B；由極值的必要條件可知C正確。例16 函數(shù)的一個原函數(shù)是 分析：由原函數(shù)的定義可知只需計算由于只求的一個原函數(shù)，因此，填即可例17 設(shè)則 分析：由不定積分的性質(zhì)可知，因此1例18 分析：由不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的互逆性可知例19 若則 由原函數(shù)和不定積分的定義可知=例20 定積分 分析：由積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)為奇函數(shù)可知，0例21 設(shè) 分析：由變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式可得，例22定積分 分析：=例23設(shè)函數(shù) 分析：由牛頓-萊布尼茨公式，=例24定積分 分析：=1-例25設(shè)，則 分析：求時，把y當(dāng)作常數(shù)，=，可得2例26設(shè)，則 分析：=例27設(shè)則 分析：=例28微分方程的自變量為 ，未知函數(shù)為 ，方程的階數(shù)為 。分析：所給的方程中將x作為函數(shù)，y作為自變量，方程為二階微分方程。例29微分方程的階數(shù)為 分析：所給的方程的未知函數(shù)y的最高階導(dǎo)數(shù)為2，因此為二階微分方程例30微分方程為 方程分析：由于，因此所給的方程為變量可分離的微分方程。例31微分方程的通解為 分析：所給的方程為變量可分離的微分方程，分離變量得2dx兩邊積分得lny=2x+c1，或?qū)憺槔?2微分方程滿足的 特解為 分析；所給的方程為變量可分離的微分方程，分離變量得兩邊分別積分 例33設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x單位時的成本函數(shù)為C（x），收益函數(shù)為R（x），則生產(chǎn)該產(chǎn)品x單位時的利潤函數(shù)L（x）為 分析：根據(jù)利潤函數(shù)與成本函數(shù)、收益函數(shù)之間的關(guān)系可知L（x）= R（x）- C（x）例34設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本C與產(chǎn)量x的關(guān)系為C（x） =100+7x+50，則生產(chǎn)該產(chǎn)品的邊際成本為 分析：由于邊際成本就是成本函數(shù)的變化率，而所以該產(chǎn)品的邊際成本為例35設(shè)某商品的需求量Q與價格p的函數(shù)關(guān)系為Q=，則需求量Q對價格p的彈性為 分析：由于需求量對價格的彈性為故=-三、計算解答題例1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)x=1處連續(xù)，試確定常數(shù)a、b的值解：要使f（x）在x=1處連續(xù)，必須滿足條件即b=-1-a，因此f（x）=從而有a=2，b=-3例2 確定A的值，使函數(shù) 在點(diǎn)x=0處連續(xù)解：要使f（x）在x=0處連續(xù)，必須滿足條件 f（x）=f（x）=f（0）而f（x）=（f（x）=令得A=，所以當(dāng)A=時，f（x）在x=0處連續(xù)例3 設(shè)函數(shù)，求解：=則 =例4 設(shè)函數(shù) ，求 解：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)=例5 設(shè)函數(shù)解：先求，令所以 例6 由方程確定隱函數(shù)，求dy解：這是隱函數(shù)求微分的問題，先求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求微分，方程兩邊對x求導(dǎo)得：即 解得：例7 設(shè)函數(shù)解：，例8 設(shè)曲線方程為，求在點(diǎn)P（2，）處的切線方程解：這是由方程所確定的隱函數(shù)，利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法解題方程兩邊對x求導(dǎo)得：曲線在點(diǎn)處的切線方程為 化簡得：例9求極限 解：所給的極限是“”型，用羅必塔法則求解=例10求極限 解：所給的極限是 “0型”，可先變形=例11求極限（）解(一)：所給的極限是“”型，可先通分，再用羅必塔法則，（）=解(二)：利用當(dāng)與等價 （）=例12求極限解：所給的極限是“00”型，可通過變量代換，轉(zhuǎn)化為“”型，再計算，設(shè)，先求出，然后求出=0，所以即=1例13 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及曲線的凹凸區(qū)間解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，），令由，函數(shù)在（0，）內(nèi)單調(diào)增加由，函數(shù)在（-1，0）內(nèi)單調(diào)減少根據(jù)前面的討論，x=0為極小值點(diǎn)，其極小值為由于在時，總有，因此曲線是凹的。例14 若=解：由于所以例15 已知曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），求該曲線的方程。 解：由由于曲線過點(diǎn)（1，0），故0=1+c c=1故所求的曲線方程為例16 求解：=注意：對于冪函數(shù)在不定積分或求導(dǎo)運(yùn)算時，先轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)或負(fù)指數(shù)之后再積分或求導(dǎo)能簡化運(yùn)算例17求解：=3例18求解：由湊微分法=-=-例19求解：由湊微分法=-例20求解：利用換元積分法，通過變量代換，化無理函數(shù)為有理函數(shù)，再計算不定積分設(shè)=2=例21求解：利用分步積分法，令=-例22求解：利用分步積分法，令=例23求解：利用分步積分法，令=例24求解：利用分步積分法，令=-=-=-例25求解：此類題目要連續(xù)兩次使用分步積分法，=由此得到一個含有由此解出=例26 計算解：利用換元積分法令所以=例27計算解：利用換元積分法令所以=2例28計算解：對于含絕對值的定積分，要先劃分積分區(qū)間，去掉絕對值符號，再計算=例29 設(shè)函數(shù)解：對于分段函數(shù)定積分的計算，要把積分區(qū)間分成幾個區(qū)間，然后將被積函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上積分例30計算解：利用分步積分法=例31已知二元函數(shù)=求解：由=可得=令，則有所以例32設(shè)求，解：=例33設(shè)，求解：令所以=例34設(shè)函數(shù)由方程確定，求，解法一：設(shè)，分別求F對x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)， 解法二：將原方程兩邊分別對x、y求偏導(dǎo)數(shù)，把z當(dāng)作是x、y的函數(shù)有，方程兩邊對x求導(dǎo)：，解得：=方程兩邊對y求導(dǎo)：，解得：=例35若函數(shù)，在點(diǎn)（1，-1）處取得極值，試確定常數(shù)a、b，問f（1，-1）是極大值還是極小值？解:根據(jù)二元函數(shù)極值存在的必要條件，必有所以求的二階偏導(dǎo)數(shù)且A=40，根據(jù)二元函數(shù)極值存在的充分必要條件可知，f（1，-1）=-2是極小值。例36求微分方程的通解解：分離變量得，兩邊同時積分于是為所求的通解例37求微分方程的通解，并求滿足初始條件y（0）=0特解解：由原方程得分離變量得，兩邊同時積分 得通解為，由y（0）=0得，故所求的特解為例38求微分方程的通解解：分離變量得兩邊同時積分于是故所求的通解為例39求微分方程的通解解：該方程為一階線性微分方程且，由求解公式=故所求的通解為例40求微分方程的通解解：該方程為一階線性微分方程且，由求解公式=故所求的通解為四、應(yīng)用題例1 某車間靠墻蓋一長方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠砌24米長的墻,問該屋長、寬各為多少時小屋面積最大？最大值為多少？解：設(shè)長方形的長為x，寬為y，則 s=xy，2（x+y）=24s（x）=x（12-x） S（x）=12-2x 由S（x）=0得：x=y=6當(dāng)長寬相等且等于6時，面積最大，最大面積為36m2例2在斜邊之長為a的一切直角三角形中求有最大周長的直角三角形。 解：L=x+y+a=x+a L=1- 由L=0得：x=y=當(dāng)兩直角邊相等且等于時周長最大。例3在區(qū)間0，4上，計算曲線所圍城圖形的面積。解：如圖所示：在區(qū)間0，2上，在區(qū)間2，4上，故所求的面積為：A=16例4計算由解：如圖所示：先求出曲線在點(diǎn)（）處的法線方程，由于所以曲線在點(diǎn)（）處的法線方程的斜率k=-因此法線方程為再求曲線與法線的交點(diǎn)，由解得交點(diǎn)A（），B（）S=例5求由曲線一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：所給的曲線圍成的平面圖形如圖所示：所求的體積為所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積減去所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積當(dāng)故例6某廠每批生產(chǎn)某種產(chǎn)品x單位時的費(fèi)用為C（x）=5x+200（元），得到的收益為R（x）=10x-（元），問每批生產(chǎn)多少單位時，可以使利潤最大？解：首先要求出利潤函數(shù)；其次根據(jù)邊際利潤等于0時所得的利潤最大求出xL（x）=R（x）-C（x）=5x-5x-0.02x由0得x=250，且0.02所以每批生產(chǎn)250單位時所得的利潤最大。例7某商品的價格p與需求量Q的關(guān)系為p=10-（1） 求需求量為20時的總收益R、平均收益、和邊際收益（2） Q為多少時總收益最大？解：收益函數(shù)為R（Q）=Pq=，=10-（1）R（20）=120，=6，（2）由=0得Q=25，且，當(dāng)Q=25時總收益最大。例8某產(chǎn)品生產(chǎn)x單位時的總成本C為x的函數(shù)C=C（x）=（1）求生產(chǎn)900單位時的總成本和平