第二章 導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課.ppt

第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課 一 導(dǎo)數(shù)與微分的基本概念 1 導(dǎo)數(shù)定義 2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 為曲線在點(diǎn)的切線斜率 3 在處可導(dǎo)的充分必要條件 在處可導(dǎo) 且 與都存在 二 極限 連續(xù) 可導(dǎo)與可微的關(guān)系 4 在處的可微定義 三 求導(dǎo)法則 1 四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 2 反函數(shù)求導(dǎo)法則 1 2 3 函數(shù)在對應(yīng)的內(nèi)也可導(dǎo) 且 或 設(shè)在區(qū)間內(nèi)單調(diào) 可導(dǎo)且 則其反 3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 4 隱函數(shù)求導(dǎo)法則 求導(dǎo)過程中牢記是的函數(shù) 方程中含有的 項(xiàng)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) 然后由求導(dǎo)后的方程解出 5 參數(shù)方程求導(dǎo) 參數(shù)方程確定可導(dǎo)函數(shù) 則 由方程確定了 方程兩端對求導(dǎo) 在 四 高階導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo) 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是可導(dǎo)函數(shù) 則將的 導(dǎo)函數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 記作 依此類推 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)叫做的階導(dǎo)數(shù) 記 五 典型例題 分析計(jì)算分段函數(shù)分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 要根據(jù)定義看是否有 解 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù) 并且還要看左右導(dǎo)數(shù)是否相等 例1 設(shè) 問是否存在 例2 設(shè) 求及 及求導(dǎo)法則求出 故求應(yīng)選用 先求 后求 因而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求 解 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 和處函數(shù)值 的方法 而是分段函數(shù)的分段點(diǎn) 分析當(dāng)時(shí) 是可導(dǎo)函數(shù) 且可利用求導(dǎo)公式 為未知量的方程 由已知條件在分段點(diǎn)處可導(dǎo) 得一個(gè)方程 又由函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必要條件 在處連續(xù) 得第二個(gè)方程 解此聯(lián)立方程組 可求出 分析此題要求兩個(gè)待定常數(shù) 通常需要尋找兩個(gè)只以 解 因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo) 所以在處連續(xù) 即 例4 已知 求 解 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 綜上 所以 例5 設(shè) 求 解 解 例6 設(shè) 求 解 例7 求星形線在處的導(dǎo)數(shù) 故 解 方程兩邊對求導(dǎo)得 將代入上方程 得 1 將 2 代入 1 中得 例9 求函數(shù)的微分 解 所以 分析因?yàn)楹谐朔e與冪指函數(shù) 故應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法 解 應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法 函數(shù)兩邊取對數(shù)得 所以 方程兩邊對求導(dǎo)得 例10 設(shè) 求 例11 設(shè) 求 方程兩邊對求導(dǎo)得 解 函數(shù)兩邊取對數(shù)得方程 所以 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為 則所求切線方程為 解 先求切點(diǎn)坐標(biāo) 將代入曲線方程得 將代入上式 得 再求曲線在切點(diǎn)處的切線斜率