奧數(shù).行程.相遇和追及公式.doc

相遇和追及問(wèn)題一行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系?；竟剑?路程速度時(shí)間 速度路程時(shí)間 時(shí)間路程速度關(guān)鍵問(wèn)題：確定行程過(guò)程中的位置二相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度相遇時(shí)間+乙的速度相遇時(shí)間（甲的速度+乙的速度）相遇時(shí)間速度和相遇時(shí)間.相向運(yùn)動(dòng)相遇問(wèn)題的 速度和相遇時(shí)間總路程，即 數(shù)量關(guān)系 總路程速度和相遇時(shí)間 總路程相遇時(shí)間速度和三追及有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度追及時(shí)間-乙的速度追及時(shí)間（甲的速度-乙的速度）追及時(shí)間速度差追及時(shí)間. 一般地追擊問(wèn)題的 追及路程速度差追及時(shí)間，即 數(shù)量關(guān)系 速度差追及路程追及時(shí)間 追及時(shí)間追及路程速度差 【分段提速 】 環(huán)路周長(zhǎng)(路程差）速度差相遇時(shí)間環(huán)路上【同向運(yùn)動(dòng)】追擊問(wèn)題 環(huán)路周長(zhǎng)相遇時(shí)間速度差 數(shù)量關(guān)系 速度差相遇時(shí)間環(huán)路周長(zhǎng)速度和相遇時(shí)間環(huán)路周長(zhǎng) 路程差速度差相同走過(guò)的時(shí)間往返平均速度往返總路程往返總時(shí)間 平均速度總路程總時(shí)間1、“環(huán)形跑道”，也是稱為封閉回路，它可以是圓形的、長(zhǎng)方形的、三角形的，也可以是由長(zhǎng)方形和兩個(gè)半圓組成的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)形狀。解題時(shí)，我們可以運(yùn)動(dòng)“轉(zhuǎn)化法”把線路“拉直”或“截?cái)唷保瑥牟及盐矬w在“環(huán)形路道”上的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的物體在直線上的運(yùn)動(dòng)。2、在行程問(wèn)題中，與環(huán)形有關(guān)的行程問(wèn)題的解決方法與一般行程問(wèn)題的方法類似，但有兩點(diǎn)值得注意：一是兩人同地背向運(yùn)動(dòng)，從第一次相遇到下一次相遇共行一個(gè)全程；而是同地、同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，甲追上乙時(shí)甲比乙多行一個(gè)行程。環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)直徑兩端同向：路程差nSnS+0.5S相對(duì)(反向)：路程和nSnS-0.5S比例知識(shí)精講：比例的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)最后一個(gè)重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個(gè)小學(xué)“壓軸知識(shí)點(diǎn)”的角色。從一個(gè)工具性的知識(shí)點(diǎn)而言，比例在解很多應(yīng)用題時(shí)有著“得天獨(dú)厚”的優(yōu)勢(shì)，往往體現(xiàn)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡(jiǎn)單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問(wèn)題，對(duì)于工程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會(huì)應(yīng)用比例的工具分析2個(gè)物體在某一段相同路線上的運(yùn)動(dòng)情況，我們將甲、乙的速度、時(shí)間、路程分別用來(lái)表示，大體可分為以下兩種情況：1. 當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，經(jīng)過(guò)同一段時(shí)間后，他們走過(guò)的路程之比就等于他們的速度之比。相同時(shí)間內(nèi)，速度倍數(shù)路程倍數(shù)。，這里因?yàn)闀r(shí)間相同，即,所以由得到，甲乙在同一段時(shí)間t內(nèi)的路程之比等于速度比2. 當(dāng)2個(gè)物體運(yùn)行速度在所討論的路線上保持不變時(shí)，走過(guò)相同的路程時(shí)，2個(gè)物體所用的時(shí)間之比等于他們速度的反比。路程一定時(shí)，時(shí)間和速度成反比，這里因?yàn)槁烦滔嗤?，即，由得，甲乙在同一段路程s上的時(shí)間之比等于速度比的反比。多次相遇問(wèn)題：一、由簡(jiǎn)單行程問(wèn)題拓展出的多次相遇問(wèn)題所有行程問(wèn)題都是圍繞“路程速度時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解二、多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā)： 第1次相遇，共走1個(gè)全程； 第2次相遇，共走3個(gè)全程； 第3次相遇，共走5個(gè)全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出發(fā)： 第1次相遇，共走2個(gè)全程； 第2次相遇，共走4個(gè)全程； 第3次相遇，共走6個(gè)全程； ， ； 第N次相遇，共走2N個(gè)全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個(gè)全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵 路程差三、解多次相遇問(wèn)題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易。本講中的行程問(wèn)題是特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。 一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時(shí)間速度和路程差=追及時(shí)間速度差行程問(wèn)題常用的解題方法及分類：公式法即根據(jù)常用的行程問(wèn)題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件；圖示法在一些復(fù)雜的行程問(wèn)題中，為了明確過(guò)程，常用示意圖作為輔助工具示意圖包括線段圖和折線圖圖示法即畫(huà)出行程的大概過(guò)程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)另外在多次相遇、追及問(wèn)題中，畫(huà)圖分析往往也是最有效的解題方法；比例法行程問(wèn)題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時(shí)間等)往往是不確定的，在沒(méi)有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題；分段法在非勻速即分段變速的行程問(wèn)題中，公式不能直接適用這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問(wèn)題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來(lái)；方程法在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼庑谐虇?wèn)題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一(計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過(guò)之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問(wèn)題。包括一人或者二人時(shí)(同時(shí)、異時(shí))、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問(wèn)題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=vt結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)圖(基本功)解答。二、復(fù)雜相遇追及問(wèn)題。(1)多人相遇追及問(wèn)題。比一般相遇追及問(wèn)題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問(wèn)題。解題思路完全一樣，只是相對(duì)復(fù)雜點(diǎn)，關(guān)鍵是標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)圖的能力能否清楚表明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(2)多次相遇追及問(wèn)題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù)相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問(wèn)題。分為標(biāo)準(zhǔn)型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問(wèn)題(少見(jiàn)，如已知兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí)相遇、追及的次數(shù))。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定，不能從路程入手，將會(huì)很繁，最好一開(kāi)始就用求單位相遇、追及時(shí)間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，無(wú)法具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見(jiàn)，所以不贅述)：?jiǎn)纬滔嘤鰰r(shí)間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時(shí)間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時(shí)間：Tn= t單程相遇(2n-1)第m次追及時(shí)間：Tm= t單程追及(2m-1)限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)= (Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)= (Tm+ t單程追及)/2 t單程追及注：是取整符號(hào)之后再選取甲或者乙來(lái)研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問(wèn)題需要注意，不要把運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。三、火車問(wèn)題。特點(diǎn)無(wú)非是涉及到車長(zhǎng)，火車過(guò)橋時(shí)間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時(shí)間，因此火車的路程是橋長(zhǎng)與車身長(zhǎng)度之和?；疖嚺c人錯(cuò)身時(shí)，忽略人本身的長(zhǎng)度，兩者路程和為火車本身長(zhǎng)度；火車與火車錯(cuò)身時(shí)，兩者路程和則為兩車身長(zhǎng)度之和。題型分為：(1)火車vs點(diǎn)(靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人)s火車=(v火車 v人)t經(jīng)過(guò)(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車)s火車+s橋=v火車t經(jīng)過(guò)和s火車1+s火車2=(v火車1v火車2)t經(jīng)過(guò)合并(1)和(2)來(lái)理解即s和=v相對(duì)t經(jīng)過(guò)把電線桿、人的水平長(zhǎng)度想象為0即可?；疖噯?wèn)題足見(jiàn)基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問(wèn)題一般不是問(wèn)題。(3)坐在火車?yán)?。本身所在火車的車長(zhǎng)就形同虛設(shè)了，注意的是相對(duì)速度的計(jì)算。電線桿、橋、隧道的速度為0。火車與火車上的人錯(cuò)身時(shí)，只要認(rèn)為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長(zhǎng)度，那么他所看到的錯(cuò)車的相應(yīng)路程仍只是對(duì)面火車的長(zhǎng)度.對(duì)于火車過(guò)橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來(lái)進(jìn)行四、流水行船問(wèn)題。理解了相對(duì)速度，流水行船問(wèn)題也就不難了。理解記住1個(gè)公式(順?biāo)?靜水船速+水流速度)就可以順勢(shì)理解和推導(dǎo)出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順?biāo)?逆水船速)2，水流速度=(順?biāo)?逆水船速)2)，對(duì)于流水問(wèn)題也就夠了。技巧性結(jié)論如下：(1)相遇追及。水流速度對(duì)于相遇追及的時(shí)間沒(méi)有影響，即對(duì)無(wú)論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開(kāi)出：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 同樣道理，如果兩只船，同向運(yùn)動(dòng)，一只船追上另一只船所用的時(shí)間，與水速無(wú)關(guān).甲船順?biāo)俣?乙船順?biāo)俣?（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.說(shuō)明：兩船在水中的相遇與追及問(wèn)題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問(wèn)題一樣，與水速?zèng)]有關(guān)系.(2) 流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段)與船速、水速、順行逆行無(wú)關(guān)。此結(jié)論所帶來(lái)的時(shí)間等式常常非常容易的解決流水落物問(wèn)題，其本身也非常容易記憶。五、間隔發(fā)車問(wèn)題?？臻g理解稍顯困難，證明過(guò)程對(duì)快速解題沒(méi)有幫助。一旦掌握了3個(gè)基本公式，一般問(wèn)題都可以迎刃而解。(1)在班車?yán)?。即柳卡?wèn)題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。(2)在班車外。一般間隔發(fā)車問(wèn)題，聯(lián)立3個(gè)基本公式：汽車間距=(汽車速度+行人速度)相遇事件時(shí)間間隔-1汽車間距=(汽車速度-行人速度)追及事件時(shí)間間隔-2汽車間距=汽車速度汽車發(fā)車時(shí)間間隔-31、2合并理解，即汽車間距=相對(duì)速度時(shí)間間隔分為2個(gè)小題型：1. 一般間隔發(fā)車問(wèn)題。用3個(gè)公式迅速作答;2.求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫(huà)圖-盡可能多的列3個(gè)好使公式-結(jié)合s全程=vt-結(jié)合植樹(shù)問(wèn)題數(shù)數(shù)。六、平均速度問(wèn)題。相對(duì)容易的題型。大公式要牢牢記?。嚎偮烦?平均速度總時(shí)間。用s=vt寫(xiě)出相應(yīng)的比要比直接寫(xiě)比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問(wèn)題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問(wèn)題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實(shí)相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問(wèn)題、幾何位置問(wèn)題(審題不仔細(xì)容易漏掉多種位置可能)、不等式問(wèn)題(針對(duì)“能否看到”問(wèn)題，即問(wèn)甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇。八、時(shí)鐘問(wèn)題。時(shí)鐘問(wèn)題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及問(wèn)題，不過(guò)這里的兩個(gè)“人”分別是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。時(shí)鐘問(wèn)題有別于其他行程問(wèn)題是因?yàn)樗乃俣群涂偮烦痰亩攘糠绞讲辉偈浅Ｒ?guī)的米每秒或者千米每小時(shí)，而是2個(gè)指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。時(shí)鐘問(wèn)題是環(huán)形問(wèn)題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針= 12v時(shí)針(1)總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走1/12格，0.5;分針每分鐘走1格，6。時(shí)針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫(huà)圖總結(jié))。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時(shí)針)+格或角(差)格：x=x/12+(開(kāi)始時(shí)落后時(shí)針的格+終止時(shí)超過(guò)時(shí)針的格)角：6x=x/2+(開(kāi)始時(shí)落后時(shí)針的角度+終止時(shí)超過(guò)時(shí)針的角度)可以解決大部分時(shí)針問(wèn)題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。(3)壞鐘問(wèn)題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問(wèn)題了，變成比例問(wèn)題了，有相應(yīng)的比例公式。九、自動(dòng)扶梯問(wèn)題。仍然用基本關(guān)系式s扶梯級(jí)數(shù)=(v人速度v扶梯速度)t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級(jí)”，唯一要注意的是t上或下要表示成實(shí)際走的級(jí)數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動(dòng)扶梯問(wèn)題。十、十字路口問(wèn)題。即在不同方向上的行程問(wèn)題。沒(méi)有特殊的解題技巧，只要老老實(shí)實(shí)把圖畫(huà)對(duì)，再通過(guò)幾何分析就可以解決。十一、校車問(wèn)題。就是這樣一類題：隊(duì)伍多，校車少，校車來(lái)回接送，隊(duì)伍不斷步行和坐車，最終同時(shí)到達(dá)目的地(即到達(dá)目的地的最短時(shí)間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來(lái)回不同)、班級(jí)速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)(最常見(jiàn))(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個(gè)(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫(huà)圖-列3個(gè)式子：1、 總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間;2、班車走的總路程;3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車同時(shí)出發(fā)后回來(lái)接它的時(shí)間。最后會(huì)得到幾個(gè)路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。十二、保證往返類。簡(jiǎn)單例題：A、B兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個(gè)人24天的食物和水。如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點(diǎn))?這類問(wèn)題其實(shí)屬于智能應(yīng)用題類。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間T(1)返回類。(保證一個(gè)人走的最遠(yuǎn)，所有人都要活著回來(lái))1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。2、多人：沒(méi)搞明白，建議高手補(bǔ)充。(2)穿沙漠類(保證一個(gè)人穿過(guò)沙漠不回來(lái)了，其他人都要活著回來(lái))共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。1、中途不放食物：T2n/(n+1)t。T是穿沙漠需要的天數(shù)。2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+1/(2n-1)t還有幾類不甚常見(jiàn)的雜題，沒(méi)有典型性和代表性，在此不贅述。在研究追及和相遇問(wèn)題時(shí)，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個(gè)被研究的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，2個(gè)物體所運(yùn)行的時(shí)間相同(2)在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中，2個(gè)物體所走的是同一路徑。牛吃草問(wèn)題概念及公式牛吃草問(wèn)題又稱為消長(zhǎng)問(wèn)題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來(lái)的。典型牛吃草問(wèn)題的條