幾何、三角函數(shù)精講與習(xí)題講解.doc

幾何、三角函數(shù)精講與習(xí)題講解1.面積公式(p是周長(zhǎng)的一半)2.面積定理 等底等高的三角形的面積相等. 等高(比)的兩個(gè)三角形的面積之經(jīng)等于底(高)之比.3.等積變換 一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)變形,但面積保持不變,這種變形稱為等積變換.平面幾何的幾個(gè)重要定理平面幾何的知識(shí)競(jìng)賽要求：三角形的邊角不等關(guān)系;面積及等積變換;三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心）及其性質(zhì); 四個(gè)重要定理;幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)-費(fèi)馬點(diǎn),到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)-重心,三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)-重心;簡(jiǎn)單的等周問(wèn)題: 在周長(zhǎng)一定的邊形的集合中，正邊形的面積最大。 在周長(zhǎng)一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的面積最大。 在面積一定的邊形的集合中，正邊形的周長(zhǎng)最小。 在面積一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的周長(zhǎng)最小。 梅涅勞斯定理及其逆定理若一條直線截ABC的三條邊（或他們的延長(zhǎng)線），所得交點(diǎn)分別為，則有.結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)即：若四邊形ABCD內(nèi)接于圓,則有廣義的托勒密定理在四邊形ABCD中,有:,并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)接于圓時(shí),等號(hào)成立.塞瓦定理：設(shè)分別是邊上的點(diǎn),則三線共點(diǎn)的充要條件是:. MQRACPB西姆松定理及其逆定理:若從外接圓上一點(diǎn)作BC、AB、AC的垂線，垂足分別為，則三點(diǎn)共線.反過(guò)來(lái)也成立. 這條直線叫西姆松線.三角形五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心,統(tǒng)稱為三角形的五重心:三角形三條中線的交點(diǎn).ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)與重心G的連線(中線)必平分對(duì)邊.中線長(zhǎng)的計(jì)算.(2)重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍. (3).外心:三角形外接圓的圓心(三邊垂直平分線的交點(diǎn)).ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性質(zhì)：(1)外心到三頂點(diǎn)等距，即OA=OB=OC.(2)A=.如果已知外心或通過(guò)分析“挖掘”出外心，與外心有關(guān)的幾何定理，尤其是圓周角與圓心角關(guān)系定理，就可以大顯神通了.內(nèi)心: 三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心.ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)：(1)內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角.(2)A的平分線和ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，則D與頂點(diǎn)B、C、內(nèi)心I等距(即D為BCI的外心).(3)BIC=90+A，CIA=90 +B，AIB=90+C.垂心: 三角形三條高線所在的直線的交點(diǎn).ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對(duì)邊，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC內(nèi)，且AH、BH、CH分別與對(duì)邊相交于D、E、F，則A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六組四點(diǎn)共圓.(3)ABH的垂心為C,BHC的垂心為A,ACH的垂心為B.(4)三角形的垂心到任一頂點(diǎn)的距離等于外心到對(duì)邊距離的2倍.例1.如圖,在四邊形中,的面積比是3:4:1, 點(diǎn)分別在上,滿足,并且共線,求證:與分別是和的中點(diǎn).(1983年全國(guó)高中聯(lián)賽題)提示：設(shè) 利用面積得圖中的一些線段比.對(duì)DEC運(yùn)用梅涅勞斯定理可得關(guān)于的方程,解方程即可.例2(1999年全國(guó)聯(lián)賽第二試試題)如圖,在四邊形中,對(duì)角線平分,在上取一點(diǎn),與AC相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)交于,求證:.例3. AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過(guò)E、F分別作半圓的切線得交點(diǎn)P，求證：PQAB.分析：延長(zhǎng)EP到K，使PK=PE，連KF、AE、EF、BF，直線PQ交AB于H.因EQF=AQB=(1)+(+2)=ABF+BAE=QFP+QEP， 又由PK=PE=PF知K=PFK，EQF+K=QFK+QEK=，從而E、Q、F、K四點(diǎn)共圓.由PK=PF=PE知，P為EFK的外心，顯然PQ=PE=PF.于是1+AQH=1+PQF=1+PFQ=1+AFP=1+ABF=90.由此知QHAH，即PQAB.例5.如圖所示，在ABC中，AB=AC，有一個(gè)圓內(nèi)切于ABC的外接圓，且與AB、AC分別相切于P、Q，求證：線段PQ的中點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心.分析：設(shè)小圓圓心為，與ABC的外接圓切于D，連A，顯然APQ，且ABC為等腰三角形， 所以A過(guò)ABC的外接圓，D在A的延長(zhǎng)線上，從而O為ABC的頂角BAC的平分線的點(diǎn)，下面只需證OB平分ABC.為此，連接OB、PD、QD，由對(duì)稱性易知，OD平分PDQ,而APQ=PDQ,PQBC，故APQ=ABC，PDQ=ABC，由P、B、D、O四點(diǎn)共圓得PBO=PDO=PDQ.所以PBO=ABC.于是O為ABC的內(nèi)心.說(shuō)明：本題還可證明O到ABC的三邊距離相等.思考練習(xí)7.如圖所示，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圓分別為O和O1，求證：O與O1的半徑相等.分析:過(guò)A作O和O1的直徑AP、AQ，連接PB、QB，則ABP=ABQ=90.故P、B、Q三點(diǎn)共線.因H是ABC的垂心，故D、C、E、H四點(diǎn)共圓，AHE=C.而AHE=Q，C=P，故P=Q，AP=AQ.因此O與O1的半徑相等。說(shuō)明：由本題結(jié)論，可得垂心的另一個(gè)性質(zhì)：若H是ABC的垂心，則ABH=BCH=CAH=ABC.三角函數(shù)的三角變換一、 巧用關(guān)系式例1 已知sincos=，求。解析：將切化弦，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)的目的，然后再求值。原式=例2 已知sin+cos=，求tan的值。法1：，sincos=0，又，sin0，cos0，sincos0，sincos=，sin=，cos=，tan=。法2：由法1可得sin0，cos0，sincos=，sin與cos為方程的兩個(gè)根，sin=，cos=，tan=。點(diǎn)評(píng)：方程的思想在三角函數(shù)的求值中經(jīng)常用到，例如，已知sin=2cos，求sin與cos的值，其思路為列方程組：即可。例3 求證：。證明：由1+2 sincos立即想到，進(jìn)而可以約分達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。左邊=右邊。點(diǎn)評(píng)：由于，從方程的的觀點(diǎn)來(lái)看，sin+cos ，sin cos ，sincos這三個(gè)量被兩個(gè)方程聯(lián)系在一起，因而知其中三者之一必可求其余兩個(gè)式子，如設(shè)sin+cos=t，則sincos=（t1），這樣的變換思想在三角函數(shù)中應(yīng)用比較廣泛。當(dāng)題目中涉及多個(gè)名稱的函數(shù)時(shí)，注重“弦、切” 互化思想。例4 已知函數(shù)y=2 sincos+sincos（），求y的最大值和最小值。解析：設(shè)t= sincos，則2 sincos=1t，于是y=t+t+1=，又t= sincos=，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)t=1