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變量與函數(shù) 育才中學(xué) 司徒卓鏗教材分析函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一,它揭示了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系之間相互依存和變化的實(shí)質(zhì),是刻畫和研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型.通過變量之間的關(guān)系,能使學(xué)生進(jìn)一步審視已有的代數(shù)式、方程、不等式、平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)及其聯(lián)系,增強(qiáng)綜合應(yīng)用知識(shí)的意識(shí),提高分析問題和解決問題的能力.學(xué)情解析變量與函數(shù)的概念把學(xué)生由常量數(shù)學(xué)引入變量數(shù)學(xué),是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)上的又一大飛躍.“變量與函數(shù)”對(duì)學(xué)生在認(rèn)知上和思維上都有較高要求,入門會(huì)有一定困難.創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實(shí)情景,使學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情景中感知變量和函數(shù)的存在和意義,體會(huì)變量之間的互相依存關(guān)系和變化規(guī)律.目標(biāo)和目標(biāo)解析(1)學(xué)生通過直觀感知,能分清實(shí)例中的常量與變量,領(lǐng)悟函數(shù)概念的意義,能列舉函數(shù)的實(shí)例,并能寫出簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系式.(2)學(xué)生通過對(duì)實(shí)際問題中數(shù)量之間相互依存關(guān)系的探索,學(xué)會(huì)用函數(shù)思想去描述、研究其變化規(guī)律,初步理解對(duì)應(yīng)的思想,逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)觀察、分析問題.在本節(jié)教學(xué)時(shí),教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實(shí)情境,使學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中感知變量和函數(shù)的存在和意義,體會(huì)變量之間的相互依存關(guān)系和變化規(guī)律,真正起好組織者、引導(dǎo)者和合作者的作用. 在教學(xué)過程中,學(xué)生的學(xué)法應(yīng)以自主探究與合作交流為主.教學(xué)過程一、情景屋(引出課題)師:同學(xué)們,大千世界是處在不停的運(yùn)動(dòng)變化之中的,請(qǐng)看屏幕一組鏡頭:(電腦演示一組畫面)1、 學(xué)生欣賞運(yùn)動(dòng)變化的畫面:(1) 紅旗飄揚(yáng)過程 (2) 花開過程(3) 波濤洶涌過程2、 思考:師:如何來研究這些運(yùn)動(dòng)變化并尋找規(guī)律呢?你還能舉出類似的例子嗎? 這些運(yùn)動(dòng)變化都有一定規(guī)律,數(shù)學(xué)上常用變量與函數(shù)來刻畫各種運(yùn)動(dòng)變化。通過實(shí)際問題初步認(rèn)識(shí)函數(shù)及其圖象,第一節(jié):“變量與函數(shù)”二、實(shí)例庫(形成概念)1.票房收入問題:每張電影票的售價(jià)為10元.(1)若一場(chǎng)售出150張電影票,則該場(chǎng)的票房收入是 元;(2)若一場(chǎng)售出205張電影票,則該場(chǎng)的票房收入是 元;(3)若一場(chǎng)售出310張電影票,則該場(chǎng)的票房收入是 元;(4)若一場(chǎng)售出張電影票,則該場(chǎng)的票房收入元,則 .小結(jié)反思:(1)票房收入隨售出的電影票變化而變化,即隨 的變化而變化;(2)當(dāng)售出票數(shù)取定一個(gè)確定的值時(shí),票房收入的取值是否唯一確定?(例如,當(dāng)=150時(shí),的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:_2.圓周長(zhǎng)問題:如果用表示圓的半徑,圓的周長(zhǎng)用表示.(1)=_;(2)當(dāng)時(shí),=_; (3)當(dāng)時(shí),=_. 小結(jié)反思:(1)圓周長(zhǎng)隨 變化而變化,即隨 的變化而變化;(2)當(dāng)半徑取定一個(gè)確定的值時(shí),圓周長(zhǎng)的取值是否唯一確定?(例如,當(dāng)=5時(shí),的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:_3.行程問題:汽車以60千米/秒的速度勻速行駛,行駛里程為千米,行駛時(shí)間為小時(shí).請(qǐng)根據(jù)題意填表:(時(shí))1234510(千米)小結(jié)反思:(1)行駛路程隨 的變化而變化,即隨 的變化而變化;(2)當(dāng)行駛時(shí)間取定一個(gè)確定的值時(shí),行駛路程的取值是否唯一確定?(例如,當(dāng)=3時(shí),的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:_4.溫度變化問題:如圖一,是北京春季某一天的氣溫隨時(shí)間t變化的圖象,看圖回答:圖一(1)這天的8時(shí)的氣溫是 ,14時(shí)的氣溫是 ,22時(shí)的氣溫是 ; (2)這一天中,最高氣溫是 ,最低氣溫是 ;(3)這一天中,在4時(shí)12時(shí),氣溫( ),在12時(shí)14時(shí)氣溫( ),在16時(shí)24時(shí),氣溫( ).A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變小結(jié)反思:(1)天氣溫度隨 的變化而變化,即隨 的變化而變化;(2)當(dāng)時(shí)間取定一個(gè)確定的值時(shí),溫度的取值是否唯一確定?(例如,當(dāng)=12時(shí),的取值是唯一、還是有多個(gè)值?)答:_三、問題苑(認(rèn)識(shí)概念)在一個(gè)變化過程中:(1)發(fā)生變化的量叫做 ; (2)不變的量叫做 ;(3)如果有兩個(gè)變量和,對(duì)于的每一個(gè)值,都有 的值與之對(duì)應(yīng),稱是 ,是的 ;(4)如果當(dāng)時(shí),叫做當(dāng)時(shí)的函數(shù)值.四、快樂套餐(鞏固練習(xí))練習(xí)一指出前面四個(gè)問題中的常量、變量、自變量與函數(shù).1.“票房收入問題”中, 是常量, 是變量, 是自變量,是的函數(shù).2.“圓周長(zhǎng)問題”中, 是常量, 是變量, 是自變量,是 的函數(shù).3.“行程問題”中, 是常量, 是變量, 是自變量, 是 的函數(shù).4.“氣溫變化問題”, 是常量, 是變量, 是自變量, 是 的函數(shù).注意:常量與變量必須依存于一個(gè)變化過程中,判斷一個(gè)量是常量還是變量,關(guān)鍵看它在這個(gè)變化過程中是否發(fā)生變化.設(shè)計(jì)意圖:鞏固常量、變量、自變量、函數(shù)的概念,例 一個(gè)三角形的底邊為5,高可以任意伸縮,三角形的面積也隨之發(fā)生了變化.解:(1)面積隨變化的關(guān)系式_ ,其中常量是 ,變量是 ,圖二 是自變量, 是 的函數(shù); (2)當(dāng)3時(shí),面積_;(3)當(dāng)10時(shí),面積_;(4)當(dāng)高由1變化到5時(shí),面積從_ _變化到_.變式1:一個(gè)三角形的高為6,底邊可以任意伸縮,三角形的面積s也隨之發(fā)生了變化(1)面積s隨a變化的關(guān)系式s=_ ,其中常量是 ,變量是 , 是自變量, 是 的函數(shù); (2)當(dāng)?shù)走卆由1變化到5時(shí),函數(shù)值s從_ _變化到_. 6變式2:蛋糕師傅現(xiàn)要做一個(gè)底面為三角形且面積為200平方厘米規(guī)格的蛋糕,你能幫他設(shè)計(jì)一下蛋糕底面三角形形狀嗎?(1)底邊a隨高h(yuǎn)變化的關(guān)系式a=_,變量是_,自變量是_,_是_的函數(shù)。(2)填表幫蛋糕師傅完成設(shè)計(jì):高h(yuǎn)(cm)102040底a(cm) 8ha變式3:一個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)a可以任意伸縮,三角形的面積s也隨之發(fā)生了變化(1)面積s隨a變化的關(guān)系式s=_ ,其中常量是 ,變量是 , 是自變量, 是 的函數(shù); (2)當(dāng)函數(shù)值s=50時(shí),對(duì)應(yīng)腰長(zhǎng)a=_.a變式4:如圖所示,等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為10cm,AC與MN在同一直線上。開始時(shí)A點(diǎn)與M點(diǎn)重合,讓ABC向右運(yùn)動(dòng),最后A點(diǎn)與N點(diǎn)重合。(1)試寫出重疊部分面積y隨MA長(zhǎng)度x變化關(guān)系式.(2)當(dāng)MA=2cm時(shí),求重疊部分的面積。B10ACQPNM五、沉思閣(概念拓展)練習(xí)三1.填表并回答問題:14916與具有函數(shù)關(guān)系嗎?為什么?變式:若,則與具有函數(shù)關(guān)系嗎?為什么?2.下列各圖中,表示是的函數(shù)的有_(可以多選).六、點(diǎn)金帚(歸納小結(jié))1、函數(shù)的概念:自變量(確定)函數(shù)值( 確定)設(shè)計(jì)意圖:通過小結(jié),讓學(xué)生抓住理解函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)2、回顧“票房收入問題”、“圓周長(zhǎng)問題”、“行程問題”、“氣溫變化問題”,表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系有哪些方法?(1) ;(2) ;(3) 七、作業(yè)1. 寫出下列問題中的函數(shù)解析式:(1)正方形的面積與邊長(zhǎng)關(guān)系式;(2)秀水村的耕地面積是m2,這個(gè)村人的占有耕地面積隨這個(gè)村人數(shù)的變化而變化.解:(1)函數(shù)解析式: , 是自變量, 是 的函數(shù);(2)函數(shù)解析式: , 是自變量, 是 的函數(shù).2. 一年期的存款利率是4%,()填表: 本金(元)1002005001000一年到期后所得的利息(元)()本金元與一年到期后所得的利息元之間的關(guān)系式是_;()常量是 ,變量是 ,其中 是自變量, 是 的函數(shù).3. 小明、爸爸和爺爺同時(shí)從家中出發(fā)到同一目的地又立即返回.小明去時(shí)騎自行車,返回時(shí)步行;爺爺去時(shí)步行,返回時(shí)騎自行車;爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等,小明與爺爺騎自行車的速度相等. 下面表示各人行走的
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