對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)典例題.doc

實(shí)用文檔經(jīng)典例題透析類型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用1將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路點(diǎn)撥：運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).總結(jié)升華：對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題的重要手段.舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路點(diǎn)撥：將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.類型二、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值2求值： 解：.總結(jié)升華：對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式1】求的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)思路點(diǎn)撥：將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進(jìn)行運(yùn)算.解：.類型三、積、商、冪的對(duì)數(shù)3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a舉一反三：【變式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【變式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【變式3】設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：.證明：.【變式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0. 求證：.證明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .類型四、換底公式的運(yùn)用4(1)已知logxy=a， 用a表示； (2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路點(diǎn)撥：將條件和結(jié)論中的底化為同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.舉一反三：【變式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1) (2)；(3)法一： 法二：.總結(jié)升華：運(yùn)用換底公式時(shí)，理論上換成以大于0不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個(gè)題，一般以題中某個(gè)對(duì)數(shù)的底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對(duì)數(shù)也可.類型五、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用5求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 舉一反三：【變式1】求值：解：另解：設(shè) =m (m0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【變式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解： ，類型六、函數(shù)的定義域、值域求含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.6. 求下列函數(shù)的定義域： (1)； (2).思路點(diǎn)撥：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：x20，4-x0，解出不等式就可求出定義域.解：(1)因?yàn)閤20，即x0，所以函數(shù)；(2)因?yàn)?-x0，即x0且a1，kR).解：(1)因?yàn)椋?所以， 所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，)(，2).(2)因?yàn)?ax-k2x0， 所以()xk. 1當(dāng)k0時(shí)，定義域?yàn)镽； 2當(dāng)k0時(shí)， (i)若a2，則函數(shù)定義域?yàn)?k，+)； (ii)若0a2，且a1，則函數(shù)定義域?yàn)?-，k)； (iii)若a=2，則當(dāng)0k0且a1)思路點(diǎn)撥：由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成.(1)解法1：畫出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象，橫坐標(biāo)為3.4的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為8.5的點(diǎn)的下方，所以，log23.4log28.5； 解法2：由函數(shù)y=log2x在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.48.5，所以log23.4log28.5； 解法3：直接用計(jì)算器計(jì)算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4log28.5；(2)與第(1)小題類似，log0.3x在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.8log0.32.7；(3)注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小. 解法1：當(dāng)a1時(shí)，y=logax在(0，+)上是增函數(shù)，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9當(dāng)0a1時(shí)，y=logax在(0，+)上是減函數(shù)，且5.1loga5.9 解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令b1=loga5.1，則，令b2=loga5.9，則當(dāng)a1時(shí)，y=ax在R上是增函數(shù)，且5.15.9所以，b1b2，即當(dāng)0a1時(shí)，y=ax在R上是減函數(shù)，且5.1b2，即.舉一反三：【變式1】（2011 天津理 7）已知?jiǎng)t（ ）A B C D解析：另，在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)圖像，由圖像可得 又為單調(diào)遞增函數(shù)， 故選C.9. 證明函數(shù)上是增函數(shù). 思路點(diǎn)撥：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時(shí)熟悉利用對(duì)函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對(duì)數(shù)大小的方法.證明：設(shè)，且x1x2 則 又y=log2x在上是增函數(shù) 即f(x1)0且a1)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：設(shè)t=logax(xR+， tR).當(dāng)a1時(shí)，t=logax為增函數(shù)，若t1t2，則0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x11， f(t1)f(t2)， f(t)在R上為增函數(shù)，當(dāng)0a1或0a1， f(x)在R上總是增函數(shù).10求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的值域和單調(diào)區(qū)間. 解：設(shè)t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4. y=t為減函數(shù)，且00，即-1x0的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問(wèn)題.f(x)的值域?yàn)镽與ax2+2x+1恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求f(x)取遍一切實(shí)數(shù)，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使u能取遍一切正數(shù)的條件是. 解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，即：關(guān)于x的不等式ax2+2x+10的解集為R， 當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?x+10，其解集不是R； 當(dāng)a0時(shí)，有 a1. a的取值范圍為a1.(2)f(x)的值域?yàn)镽，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù) a=0或0a1， a的取值范圍為0a1.13已知函數(shù)h(x)=2x(xR)，它的反函數(shù)記作g(x)，A、B、C三點(diǎn)在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8(a1)，記ABC的面積為S. (1)求S=f(a)的表達(dá)式； (2)求函數(shù)f(a)的值域；(3) 判斷函數(shù)S=f(a)的單調(diào)性，并予以證明；(4)若S2，求a的取值范圍.解：(1)依題意有g(shù)(x)=log2x(x0). 并且 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a1)，如圖. A，C中點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為log2a+log2(a+8) S=|BD|42=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2 =2log2(1+). 由于a1時(shí)，a2+8a9， 11+，又函數(shù)y=l