可口可樂易拉罐.ppt

可口可樂罐頭為什么是這種樣子 問題 可口可樂 雪碧 健力寶等銷量極大的飲料罐 易拉罐 頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少 為什么 它們的形狀為什么是這樣的 知識準(zhǔn)備 體積給定的圓柱體 其表面積最小的尺寸 半徑和高 為多少 表面積用S表示 體積用V表示 則有 它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高 約為6厘米和12厘米 中間胖的部分的直徑約為6 6厘米 胖的部分高約為10 2厘米 可口可樂飲料罐上標(biāo)明凈含量為355毫升 即355立方厘米 簡化模型 分析和假設(shè) 首先把飲料罐近似看成一個(gè)正圓柱是有一定合理性的 要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí) 求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比 實(shí)際上 飲料罐的形狀是繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體圖形 用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬 厚 因?yàn)橐箘爬?假設(shè)除易拉罐的頂蓋外 罐的厚度相同 記作 頂蓋的厚度為 想象一下 硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上 有人測量過 頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的3倍 因此 我們可以進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)建模 這時(shí)必須考慮所用材料的體積 設(shè)飲料罐的半徑為r 因此 直徑為d 2r 罐的高為h 罐內(nèi)體積為V b為除頂蓋外的材料的厚度 其中r h是自變量 所用材料的體積SV是因變量 而b和V是固定參數(shù) 是待定參數(shù) 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為 飲料罐頂蓋所用材料的體積為飲料罐底部所用材料的體積為所以 SV和V分別為 因?yàn)閎 r 所以帶的項(xiàng)可以忽略因此 記 建立以下的數(shù)學(xué)模型 其中S是目標(biāo)函數(shù) 是約束條件 V是已知的 即罐內(nèi)體積一定 即要在體積一定的條件下 求罐的體積最小的r h和使得r h和測量結(jié)果吻合 這是一個(gè)求條件極值的問題 模型的求解 一種解法 從約束中解出一個(gè)變量 化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題 從解 代入S 使原問題化為 求d h使S最小 即 求r使最小 求臨界點(diǎn) 令其導(dǎo)數(shù)為零得解得臨界點(diǎn)為因此 測量數(shù)據(jù)為h d 2 即 即頂蓋的厚度是其他材料厚度的3倍 為驗(yàn)證這個(gè)r確實(shí)使S達(dá)到極小 計(jì)算S的二階導(dǎo)數(shù)所以 這個(gè)r確實(shí)使S達(dá)到局部極小 因?yàn)榕R界點(diǎn)只有一個(gè) 因此也是全局極小 驗(yàn)證和進(jìn)一步的分析 有人測量過頂蓋的厚度確實(shí)為其他材料厚度的3倍 如果易拉罐的半徑為3厘米 則其體積為即裝不下那么多飲料 為什么 模型到底對不對 按照 V 365立方厘米 可以算得r 3 074厘米 一種可能的考慮 粗略的計(jì)算 可以把飲料罐的體積看成兩部分 一是上底半徑為3厘米 下底半徑為3 3厘米 高為1厘米的錐臺 二是半徑為3 3厘米 高為10 2厘米的圓柱體 它們的體積分別為31 2立方厘米和349立方厘米總共為380 2立方厘米 驗(yàn)證 通過測量重量或容積來驗(yàn)證 我們可以認(rèn)為1立方厘米的水和飲料的重量都是1克 測量結(jié)果為 未打開罐時(shí)飲料罐的重量為370克 倒出來的可樂確實(shí)重355克 空的飲料罐重量為15克 裝滿水的飲料罐重量為380克 這和我們的近似計(jì)算380 2立方厘米十分接近 飲料罐不能裝滿飲料 而是留有10立方厘米的空間余量 探討 更有意思的是 計(jì)算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比為6 6 10 2 0 647 非常接近黃金分割比0 618 這是巧合嗎 還是這樣的比例看起來最舒服 最美 探討 此外 諸如底部的形狀 上拱的底面 頂蓋實(shí)際上也不是平面的 略有上拱 頂蓋實(shí)際上是半徑為3 0 4 0 2 3 6平方厘米的材料沖壓而成的 從頂蓋到胖的部分的斜率為0 3 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接 粘合 很牢固 耐壓 所有這些都是物理 力學(xué) 工程或材料方面的要求 必須要有有關(guān)方面的實(shí)際工作者或?qū)＜襾泶_定 因此 我們可以體會到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)是很復(fù)雜的過程 只依靠數(shù)學(xué)知識是不夠的 必須和實(shí)際工作者的經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合 考慮實(shí)際所用材料的模型 實(shí)際上 頂蓋的半徑為r 0 6厘米 而正圓柱的高為h 0 6厘米 因此 問題化為 當(dāng)V固定時(shí) 求d h使S最小 我們從約束中解出一個(gè)變量 化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題 即 現(xiàn)盡管三次方程求根有公式 但是很繁瑣 而且最終還是要數(shù)