第5講　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù).doc

第5講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【2013年高考會(huì)這樣考】1考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域2考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用3考查以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)4考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】復(fù)習(xí)本講首先要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，這是研究對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)圖象的重要依據(jù)，同時(shí)熟練把握對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，特別注意底數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響基礎(chǔ)梳理1對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義如果axN(a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)(2)幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法 一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a0且a1)logaN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為10lg N自然對(duì)數(shù)底數(shù)為eln_N2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)alogaNN；logaaNN(a0且a1)(2)對(duì)數(shù)的重要公式換底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logablogbclogcdlogad.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：R過(guò)點(diǎn)(1,0)當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)0x1，y0當(dāng)x1時(shí)，y0當(dāng)0x1時(shí)，y0是(0，)上的增函數(shù)是(0，)上的減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱 一種思想對(duì)數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式可以互化，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則都可以通過(guò)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化進(jìn)行證明兩個(gè)防范解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(a,1)，(1,0)，.四種方法對(duì)數(shù)值的大小比較方法(1) 化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性(2)作差或作商法(3)利用中間量(0或1)(4)化同真數(shù)后利用圖象比較雙基自測(cè)1(2010四川)2 log510log50.25()A0 B1 C2 D4解析原式log5100log50.25log5252.答案C2(人教A版教材習(xí)題改編)已知alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BacbCbac Dcab解析將三個(gè)數(shù)都和中間量1相比較：0alog0.70.81，blog1.10.90，c1.10.91.答案C3(2012黃岡中學(xué)月考)函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域?yàn)?)A(0，) B0，)C(1，) D1，)解析設(shè)yf(x)，t3x1.則ylog2t，t3x1，xR.由ylog2t，t1知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，)答案A4(2012汕尾模擬)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)|ln(2x)|在其上為增函數(shù)的是()A(，1 B.C. D1,2)解析法一當(dāng)2x1，即x1時(shí)，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此時(shí)函數(shù)f(x)在(，1上單調(diào)遞減當(dāng)02x1，即1x2時(shí)，f(x)|ln(2x)|ln(2x)，此時(shí)函數(shù)f(x)在1,2)上單調(diào)遞增，故選D.法二f(x)|ln(2x)|的圖象如圖所示由圖象可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2)上為增函數(shù)，故選D.答案D5若loga1，則a的取值范圍是_答案考向一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【例1】求值：(1)；(2)(lg 5)2lg 50lg 2；(3)lg lg lg .審題視點(diǎn) 運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式解(1)原式.(2)原式(lg 5)2lg(105)lg (lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5(lg 2lg 5)lg 10.法二原式lglg 4lg(7)lglg. 對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)與指數(shù)互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算可根據(jù)對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行在解決對(duì)數(shù)的運(yùn)算和與對(duì)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意化簡(jiǎn)過(guò)程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化【訓(xùn)練1】 (1)若2a5b10，求的值(2)若xlog341，求4x4x的值解(1)由已知alog210，blog510，則lg 2lg 5lg 101.(2)由已知xlog43，則4x4x4log434log433.考向二對(duì)數(shù)值的大小比較【例2】已知f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，設(shè)af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()Acab BcbaCbca Dabc審題視點(diǎn) 利用函數(shù)單調(diào)性或插入中間值比較大小解析log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log47log49,0.20.62log49，又f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，故f(x)在0，)上是單調(diào)遞減的，f(0.20.6)f(log3)f(log47)，即cba，故選B.答案B 一般是同底問(wèn)題利用單調(diào)性處理，不同底問(wèn)題的處理，一般是利用中間值來(lái)比較大小，同指(同真)數(shù)問(wèn)題有時(shí)也可借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)解決【訓(xùn)練2】 (2010全國(guó))設(shè)alog32，bln 2，c5，則()Aabc Bbca Ccab Dcba解析法一alog32，bln 2，而log23log2e1，所以ab，c5，而2log24log23，所以ca，綜上cab，故選C.法二alog32，bln 2，1log2elog232，1；c5，所以cab，故選C.答案C考向三對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)loga(2ax)，是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)在0,1上是關(guān)于x的減函數(shù)，若存在，求a的取值范圍審題視點(diǎn) a0且a1，問(wèn)題等價(jià)于在0,1上恒有.解a0，且a1，u2ax在0,1上是關(guān)于x的減函數(shù)又f(x)loga(2ax)在0,1上是關(guān)于x的減函數(shù)，函數(shù)ylogau是關(guān)于u的增函數(shù)，且對(duì)x0,1時(shí)，u2ax恒為正數(shù)其充要條件是，即1a2.a的取值范圍是(1,2) 研究函數(shù)問(wèn)題，首先考慮定義域，即定義域優(yōu)先的原則研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意內(nèi)層與外層的單調(diào)性問(wèn)題復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的法則是“同增異減”本題的易錯(cuò)點(diǎn)為：易忽略2ax0在0,1上恒成立，即2a0.實(shí)質(zhì)上是忽略了真數(shù)大于0的條件【訓(xùn)練3】 已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)求f(x)在區(qū)間上的值域解(1)由4x10解得x0，因此f(x)的定義域?yàn)?0，)(2)設(shè)0x1x2，則04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上遞增(3)f(x)在區(qū)間上遞增，又f0，f(2)log415，因此f(x)在上的值域?yàn)?，log415難點(diǎn)突破4與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)求值問(wèn)題有關(guān)的解題基本方法指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，高考中除與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題外，一般還