數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)水位變化.doc

第3課時(shí) 橋拱問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題.2.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策.教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入某大學(xué)的校門(mén)是一拋物線形的水泥建筑物（如圖所示），大門(mén)的寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各掛有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，請(qǐng)你確定校門(mén)的高度是多少？二、合作探究探究點(diǎn)一：建立二次函數(shù)模型【類(lèi)型一】運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題例1 某學(xué)校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖6-4-10，隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問(wèn)此球能否準(zhǔn)確投中？此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？分析：這是一個(gè)有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點(diǎn)、最高點(diǎn)（頂點(diǎn)）、和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問(wèn)題就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大小解：由條件可得到球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)、和籃圈的坐標(biāo)分別為A（0，），B（4，4），C（7，3），其中B是拋物線的頂點(diǎn)設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y=A（xh）2+k，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，可得y= （x4）2+4將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式，得左邊=右邊，即點(diǎn)C在拋物線上所以此球一定能投中將x=1代入函數(shù)式，得y=3因?yàn)?.13，所以蓋帽能獲得成功 例2如圖，足球場(chǎng)上守門(mén)員在O處開(kāi)出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起據(jù)實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來(lái)的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來(lái)最大高度的一半（1）求足球開(kāi)始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式（2）足球第一次落地點(diǎn)C距守門(mén)員多少米？（取4=7）（3）運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米？（取2=5） 分析：要求足球開(kāi)始飛出到第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式，則需要根據(jù)已知條件確定點(diǎn)A和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，因?yàn)镺A=1，OB=6，BM=4，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(6,4).根據(jù)頂點(diǎn)式可求到拋物線關(guān)系式.因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上,所以要求OC的長(zhǎng),只要把點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y=0,代入函數(shù)關(guān)系式,通過(guò)解方程求到OC的長(zhǎng).要計(jì)算運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米,實(shí)際就是求DB的長(zhǎng).求解的方法有多種.解：(1)設(shè)第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=a(x-6)2+4, 由已知：當(dāng)x=0時(shí)y=1,即1=36a+4,所以a=-所以函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-6)2+4或y=-x2+x+1.(2) 令y=0,則-(x-6)2+4=0, 所以(x-6)2=48,所以x1=4+613,x2=-4+60(舍去）所以足球第一次落地距守門(mén)員約13米（3）如圖，第二次足球彈出后的距離為CD,根據(jù)題意：CD=EF（即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個(gè)單位）所以2=-(x-6)2+4,解得x1=6-2,x2=6+2,所以CD=|x1-x2|=410. 所以BD=13-6+10=17(米）方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，將實(shí)際問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件.常有兩個(gè)步驟：（1）根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）應(yīng)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)作答.【類(lèi)型二】涵洞通行問(wèn)題例3（2014湖北潛江）如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2米.水面下降1米時(shí)，水面的寬度為 米.解析：如圖，建立直角坐標(biāo)，設(shè)這條拋物線為y=ax2，把點(diǎn)（2，-2）代入，得-2=a22，a=，y=x2，當(dāng)y=-3時(shí)，x23，x故答案為.方法總結(jié)：在解決呈拋物線形狀的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常的步驟是：（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系；（2）將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)出拋物線的解析式，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；（4）利用函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問(wèn)題.例4如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對(duì)稱(chēng)的一部分和矩形的一部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米. 現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系. (1) 直接寫(xiě)出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3) 若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD- DC- CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？分析：解決問(wèn)題的思路是首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，挖掘條件確定圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)M(12，0)和拋物線頂點(diǎn)P(6，6)；已知頂點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)關(guān)系式為，可利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)上某些點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出有關(guān)“支撐架”總長(zhǎng)AD+DC+CB二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，從而解決問(wèn)題解：(1)根據(jù)題意，分別求出M(12，0)，最大高度為6米，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，底部寬度為12米，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6，即P(6，6). (2) 設(shè)此函數(shù)關(guān)系式為：. 因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，3)，所以，即.所以此函數(shù)關(guān)系式為：.(3) 設(shè)A(m，0)，則B(12-m，0)，C，D .即“支撐架”總長(zhǎng)AD+DC+CB = . 因?yàn)榇硕魏瘮?shù)的圖象開(kāi)口向下.所以當(dāng)m = 0時(shí)，AD+DC+CB有最大值為18. 例5如圖，三孔橋截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB20米，頂點(diǎn)M距水面6米（即MO6米），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5米（NC4.5米）當(dāng)水位上漲剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，借助圖6-4-4 中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF 分析：觀察圖的圖象可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，頂點(diǎn)為（0，6），故可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=ax26又因?yàn)锳B20，所以O(shè)B10，故B（10，0）又在拋物線上，可代入求值解：設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax26依題意，得B（10，0）a10260解得a=0.06即y=0.06x26當(dāng)y=4.5時(shí)，0.06x26=4.5，解得x=5DF5