數(shù)學(xué)人教版八年級下冊一次函數(shù)與方程不等式.doc

19.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式【知識與技能】1.理解一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系.2.會根據(jù)一次函數(shù)的圖象解決一元一次方程、不等式、二元一次方程組的求解問題.【過程與方法】學(xué)習(xí)用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程、不等式，初步感受用全面的觀點(diǎn)處理局部問題的思想.【情感態(tài)度】經(jīng)歷方程、不等式與函數(shù)關(guān)系的探究，學(xué)習(xí)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)問題.【教學(xué)重點(diǎn)】一次函數(shù)與方程、不等式關(guān)系的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】一次函數(shù)與方程、不等式關(guān)系的理解.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x+20的圖象.問題1 直線y=2x+20與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程2x+20=0的解嗎？為什么？問題2 這兩個問題是同一個問題么？由學(xué)生完成以上任務(wù)的畫圖與思考，教師走入每個學(xué)習(xí)小組，指導(dǎo)交流與總結(jié)，適時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行評判.【歸納總結(jié)】從“數(shù)”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；從“形”的角度看，直線y=2x+20與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-10，0），這也說明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一個一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求相應(yīng)自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=ax+b，確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.二、思考探究，獲取新知問題1 一個物體現(xiàn)在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再過幾秒它的速度為17m/s？思考：（1）本題的相等關(guān)系是什么？（2）設(shè)再過x秒物體速度為17m/s，能否列出方程？（3）如果速度用y表示，那么能否列出函數(shù)關(guān)系式？（4）上面不同的解法各有何特點(diǎn)？解法1 設(shè)再過x秒物體速度為17m/s.由題意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y（m/s）是時間x（s）的函數(shù)，關(guān)系式為y=2x+5.當(dāng)函數(shù)值為17時，對應(yīng)的自變量x值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可變形得到2x-12=0. 從圖象上看，直線y=2x-12與x軸的交點(diǎn)為（6，0）.故x=6.問題2 1.解不等式5x+63x+10.【思考】不等式5x+63x+10可以轉(zhuǎn)化為ax+b0的形式嗎？所有的不等式是否都可以轉(zhuǎn)化成這種形式呢？2.當(dāng)自變量x為何值時函數(shù)y=2x-4的值大于0？【思考】上述兩個問題是同一個問題嗎？3.問題2能用一次函數(shù)圖象說明嗎？【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生解不等式后思考問題，并師生共同歸納：（1）在問題1中，不等式5x+63x+10可以轉(zhuǎn)化為2x-40，解這個不等式得x2.（2）解問題2就是要不等式2x-40，得出x2時函數(shù)y=2x-4的值大于0.因此它們是同一問題.（3）如圖，函數(shù)y=2x-4與x軸的交點(diǎn)為（2,0），且這個函數(shù)的y隨著x的增大而增大，故要求當(dāng)函數(shù)y=2x-4的值大于0時的自變量的值，只需在圖中找出當(dāng)函數(shù)圖象在x軸上方時的x的值即可，由圖可知，當(dāng)x2時，函數(shù)y=2x-4的值大于0. 問題3 試用一次函數(shù)圖象法求解從中總結(jié)你的體會.【歸納總結(jié)】上面的方程組可以轉(zhuǎn)化為其本質(zhì)是求當(dāng)x為何值時，兩個一次函數(shù)的y值相等，它反映在圖象上，就是求直線與y=2x-1的交點(diǎn)坐標(biāo).三、典例精析，掌握新知例1 若直線y=kx+6與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是24，求常數(shù)k的值是多少？【分析】（1）一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形是直角三角形，兩條直角邊的長分別是圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值和與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值.（2）確定圖象與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過令x=0和y=0解方程求得.解：設(shè)直線y=kx+6與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A、B.令y=0，得x=-；令x=0，得y=6.A（-，0），B（0，6），|OA|=|-|，|OB|=6.S=OAOB=|-|6=24.|k|=.k=.【教學(xué)說明】教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生利用一次函數(shù)解析式和方程的關(guān)系先得出直線與兩個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再借助直線y=kx+6與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是24來構(gòu)造方程.例2 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，求（1）當(dāng)x為何值時，kx+b0；（2）當(dāng)x為何值時，kx+b=0；（3）當(dāng)x為何值時，kx+b0.解：（1）當(dāng)x3時，kx+b0；（2）當(dāng)x=3時，kx+b=0；（3）當(dāng)x3時，kx+b0. 【教學(xué)說明】尋找kx+b0的解集，實(shí)際上就是尋找當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)y=kx+b的圖象在x軸的上方；尋找kx+b0的解集，實(shí)際上就是尋找x為何值時，一次函數(shù)y=kx+b的圖象在x軸的下方.例3 用作圖象的方法解方程組【分析】首先將兩個方程分別寫成一次函數(shù)的形式，然后在直角坐標(biāo)系中作出它們的圖象，觀察得出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出方程組的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)y=3-x的圖象l1和y=3x-5的圖象l2，如圖所示，觀察圖象得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，1）.所以，方程組的解是四、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖，已知直線y=kx-3經(jīng)過點(diǎn)M，求此直線與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo).【分析】要求此直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就需確定這條直線對應(yīng)的函數(shù)解析式，即確定直線y=kx-3中的k，這由直線過點(diǎn)M（-2，1）求得.2.用畫函數(shù)圖象的方法解不等式3x+22x+1.【分析】本題可以把原不等式的兩邊分別看作一次函數(shù)，也可以先化簡將其看作一個一次函數(shù)，然后畫出函數(shù)圖象求解.3.已知如圖所示，直線l1:y=2x-4與x軸交于點(diǎn)A，直線l2:y=-3x+1與x軸交于點(diǎn)B，且直線l1與l2相交于點(diǎn)P，求APB的面積.【分析】顯然本題易求A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣很容易求出線段AB的長度，則本題的關(guān)鍵就是求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而把點(diǎn)P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到線段AB的距離，求點(diǎn)P的坐標(biāo)的方法就是聯(lián)立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程組，求解即可.【教學(xué)說明】下列問題有一定綜合性，教師提示思路，由學(xué)生分組討論求解.【答案】1.解：由圖象可知，點(diǎn)M（-2，1）在直線y=kx-3上，-2k-3=1，解得k=-2.此直線的解析式為y=-2x-3.當(dāng)y=0時，可得x=-，直線與x軸交于（-，0）.當(dāng)x=0時，可得y=-3，直線與y軸交于（0，-3）.2.解法一：將原不等式的兩邊分別看作兩個一次函數(shù)，畫出直線y=3x+2和直線y=2x+1的圖象，如圖1，由圖象可以看出它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，當(dāng)x-1時，直線y=3x+2在直線y=2x+1的上方，即不等式3x+22x+1的解集為x-1. 圖1 圖2解法二：原不等式也可以化為x+10，畫出y=x+1的圖象，如圖2，可以看出當(dāng)x-1時這條直線上的點(diǎn)在x軸的上方，即y=x+10，所以不等式的解集為x-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，則A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=，則B（，0），則AB=，解得P（1，-2），則點(diǎn)P到直線AB的距離為2. SAPB=2=.五、師生互動，課堂小結(jié)結(jié)合下表總結(jié)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：從數(shù)的角度看：從形的角度看：反思如何由一次函數(shù)圖象求得一元一次不等式的解集.理解一次函數(shù)圖象與二元一次方程組間的關(guān)系.掌握圖象法解二元一次方程組的步驟.1.布置作業(yè)：