matlab在科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用8+-+概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解.ppt

第8章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 概率分布與偽隨機(jī)數(shù)生成統(tǒng)計(jì)量分析數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方差分析及計(jì)算機(jī)求解 8 1概率分布與偽隨機(jī)數(shù)生成8 1 1概率密度函數(shù)與分布函數(shù)概述 通用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)值 函數(shù)pdf格式P pdf name K A P pdf name K A B P pdf name K A B C 說明返回在X K處 參數(shù)為A B C的概率密度值 對(duì)于不同的分布 參數(shù)個(gè)數(shù)是不同 name為分布函數(shù)名 例如二項(xiàng)分布 設(shè)一次試驗(yàn) 事件Y發(fā)生的概率為p 那么 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 事件Y恰好發(fā)生K次的概率P K為 P K P X K pdf bino K n p 例 計(jì)算正態(tài)分布N 0 1 的隨機(jī)變量X在點(diǎn)0 6578的密度函數(shù)值 解 pdf norm 0 6578 0 1 ans 0 3213例 自由度為8的卡方分布 在點(diǎn)2 18處的密度函數(shù)值 解 pdf chi2 2 18 8 ans 0 0363 隨機(jī)變量的累積概率值 分布函數(shù)值 通用函數(shù)cdf用來計(jì)算隨機(jī)變量的概率之和 累積概率值 函數(shù)cdf格式cdf name K A cdf name K A B cdf name K A B C 說明返回以name為分布 隨機(jī)變量X K的概率之和的累積概率值 name為分布函數(shù)名 例 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量X落在區(qū)間 0 4 內(nèi)的概率 解 cdf norm 0 4 0 1 ans 0 6554例 求自由度為16的卡方分布隨機(jī)變量落在 0 6 91 內(nèi)的概率 解 cdf chi2 6 91 16 ans 0 0250 隨機(jī)變量的逆累積分布函數(shù) MATLAB中的逆累積分布函數(shù)是已知 求x 命令icdf計(jì)算逆累積分布函數(shù)格式icdf name F A icdf name F A B icdf name F A B C 說明返回分布為name 參數(shù)為a1 a2 a3 累積概率值為F的臨界值 這里name與前面相同 如果F cdf name X A B C 則X icdf name F A B C 例 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中 若已知F 0 6554 求X解 icdf norm 0 6554 0 1 ans 0 3999例 公共汽車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)不超過1 設(shè)計(jì)的 設(shè)男子身高X 單位 cm 服從正態(tài)分布N 175 6 求車門的最低高度 解 設(shè)h為車門高度 X為身高 求滿足條件F X h 0 01故 h icdf norm 0 99 175 6 h 188 9581 8 1 2常見分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)8 1 2 1Poisson分布 其要求x是正整數(shù) 其中 x為選定的一組橫坐標(biāo)向量 y為x各點(diǎn)處的概率密度函數(shù)值 例 繪制l 1 2 5 10時(shí)Poisson分布的概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)曲線 x 0 15 y1 y2 lam1 1 2 5 10 fori 1 length lam1 y1 y1 poisspdf x lam1 i y2 y2 poisscdf x lam1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 2 2正態(tài)分布 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為 例 x 5 02 5 y1 y2 mu1 1 0 0 0 1 sig1 1 0 1 1 10 1 sig1 sqrt sig1 fori 1 length mu1 y1 y1 normpdf x mu1 i sig1 i y2 y2 normcdf x mu1 i sig1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 2 3分布 例 繪制為 1 1 1 0 5 2 1 1 2 3 1 時(shí) x 0 5 02 5 x eps 0 02 0 5 0 0 02 5 x sort x 替代 y1 y2 a1 1 1 2 1 3 lam1 1 0 5 1 2 1 fori 1 length a1 y1 y1 gampdf x a1 i lam1 i y2 y2 gamcdf x a1 i lam1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 2 4分布 卡方分布 其為一特殊的分布 a k 2 l 1 2 例 x eps 0 02 0 5 0 0 02 2 x sort x k1 1 2 3 4 5 y1 y2 fori 1 length k1 y1 y1 chi2pdf x k1 i y2 y2 chi2cdf x k1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 2 5分布 概率密度函數(shù)為 其為參數(shù)k的函數(shù) 且k為正整數(shù) 例 x 5 0 02 5 k1 1 2 5 10 y1 y2 fori 1 length k1 y1 y1 tpdf x k1 i y2 y2 tcdf x k1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 2 6Rayleigh分布 例 x eps 0 02 0 5 0 0 02 5 x sort x b1 5 1 3 5 y1 y2 fori 1 length b1 y1 y1 raylpdf x b1 i y2 y2 raylcdf x b1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 2 7F分布 其為參數(shù)p q的函數(shù) 且p q均為正整數(shù) 例 分別繪制 p q 為 1 1 2 1 3 1 3 2 4 1 時(shí)F分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)曲線 x eps 0 02 0 5 0 0 02 1 x sort x p1 12334 q1 11121 y1 y2 fori 1 length p1 y1 y1 fpdf x p1 i q1 i y2 y2 fcdf x p1 i q1 i end plot x y1 figure plot x y2 8 1 3概率問題的求解 圖4 9 例 b 1 p1 raylcdf 0 2 b p2 raylcdf 2 b P1 p2 p1P1 0 8449 p1 raylcdf 1 b P2 1 p1P2 0 6065 例 symsxy f x 2 x y 3 P int int f x 0 1 2 y 0 1 2 P 5 192 symsxy f x 2 x y 3 P int int f x 0 1 y 0 2 P 1 8 1 4隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù) 例 b 1 p raylrnd 1 30000 1 xx 0 1 4 yy hist p xx hist 找出隨機(jī)數(shù)落入各個(gè)子區(qū)間的點(diǎn)個(gè)數(shù) 并由之?dāng)M合出生成數(shù)據(jù)的概率密度 yy yy 30000 0 1 bar xx yy y raylpdf xx 1 line xx y 8 2統(tǒng)計(jì)量分析8 2 1隨機(jī)變量的均值與方差 例 均值 symsx symsalampositive p lam a x a 1 gamma a exp lam x m int x p x 0 inf m 1 lam a方差 s simple int x 1 lam a 2 p x 0 inf s a lam 2 已知一組隨機(jī)變量樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量 求該向量各個(gè)元素的均值 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 中位數(shù)median 例 生成一組30000個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù) 使其均值為0 5 標(biāo)準(zhǔn)差為1 5 分析數(shù)據(jù)實(shí)際的均值 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 如果減小隨機(jī)變量個(gè)數(shù) 會(huì)有什么結(jié)果 p normrnd 0 5 1 5 30000 1 mean p var p std p ans 0 48792 27481 5083300個(gè)隨機(jī)數(shù) p normrnd 0 5 1 5 300 1 mean p var p std p ans 0 47451 91181 3827 可見在進(jìn)行較精確的統(tǒng)計(jì)分析時(shí)不能選擇太小的樣本點(diǎn) 例 m s raylstat 0 45 m 0 5640s 0 0869 8 2 2隨機(jī)變量的矩 例 求解原點(diǎn)矩 symsx symsalampositive p lam a x a 1 gamma a exp lam x forn 1 5 m int x n p x 0 inf endm 1 lam am 1 lam 2 a a 1 m 1 lam 3 a a 1 a 2 m 1 lam 4 a a 1 a 2 a 3 m 1 lam 5 a a 1 a 2 a 3 a 4 有規(guī)律 symsn m simple int x n p x 0 inf 直接求出m lam n gamma n a gamma a forn 1 6 s simple int x 1 lam a n p x 0 inf end 中心距s 0s a lam 2s 2 a lam 3s 3 a a 2 lam 4s 4 a 5 a 6 lam 5s 5 a 3 a 2 26 a 24 lam 6 好像無規(guī)律 例 考慮前面的隨機(jī)數(shù) 可以用下面的語句得出隨機(jī)數(shù)的各階矩 A B p normrnd 0 5 1 5 30000 1 n 1 5 forr n A A sum p r length p B B moment p r end A BA 0 50662 49723 556218 753041 5506B 02 24050 021215 19440 0643 求各階距的理論值 symsx A1 B1 p 1 sqrt 2 pi 1 5 exp x 0 5 2 2 1 5 2 fori 1 5A1 A1 vpa int x i p x inf inf 12 B1 B1 vpa int x 0 5 i p x inf inf 12 end A1 B1A1 500000000001 2 50000000000 3 50000000001 18 6250000000 40 8125000000 B1 0 2 25000000000 0 15 1875000000 0 8 2 3多變量隨機(jī)數(shù)的協(xié)方差分析 例 p randn 30000 4 cov p ans 1 00330 01310 00360 00200 01311 01100 0061 0 01540 00360 00611 0055 0 00040 0020 0 0154 0 00040 9881 8 2 4多變量正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度即分布函數(shù) 例 mu1 1 2 Sigma2 11 13 輸入均值向量和協(xié)方差矩陣 X Y meshgrid 3 0 1 1 2 0 1 4 xy X Y 產(chǎn)生網(wǎng)格數(shù)據(jù)并處理 兩列2501 2 p mvnpdf xy mu1 Sigma2 求取聯(lián)合概率密度 P reshape p size X Changesize 2501 1 61 41 surf X Y P 對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理 可計(jì)算出新的聯(lián)合概率密度函數(shù) Sigma2 diag diag Sigma2 消除協(xié)方差矩陣的非對(duì)角元素 p mvnpdf xy mu1 Sigma2 P reshape p size X surf X Y P R為m行n列 例 mu1 1 2 Sigma2 11 13 R1 mvnrnd mu1 Sigma2 2000 plot R1 1 R1 2 o Sigma2 diag diag Sigma2 figure R2 mvnrnd mu1 Sigma2 2000 plot R2 1 R2 2 o 8 3數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)8 3 1參數(shù)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) 無論總體X的分布函數(shù)的類型已知或未知 我們總是需要去估計(jì)某些未知參數(shù)或數(shù)字特征 這就是參數(shù)估計(jì)問題 即參數(shù)估計(jì)就是從樣本出發(fā) 構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量 i 1 2 k 去估計(jì)總體X中的某些參數(shù) 或數(shù)字特征 i 1 2 k 這樣的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量 1 點(diǎn)估計(jì) 構(gòu)造的函數(shù)作為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量 稱統(tǒng)計(jì)量為總體X參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量 2 區(qū)間估計(jì) 構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) X1 X2 Xn 和 X1 X2 Xn 做成區(qū)間 把這作為參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 區(qū)間估計(jì)的求法 設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù) 若對(duì)于給定的概率 存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 X1 X2 Xn 和 X1 X2 Xn 使得則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間 稱為置信下限 稱為置信上限 由極大擬然法估計(jì)出該分布的均值 方差及其置信區(qū)間 置信度越大 得出的置信區(qū)間越小 即得出的結(jié)果越接近于真值 還有g(shù)amfit raylfit poissfit unifit 均勻分布 等參數(shù)估計(jì)函數(shù) 例 p gamrnd 1 5 3 30000 1 Pv 0 9 0 92 0 95 0 98 A fori 1 length Pv a b gamfit p Pv i A A Pv i a 1 b 1 a 2 b 2 end AA 0 90001 51371 51231 51522 98252 97912 98580 92001 51371 51261 51492 98252 97982 98510 95001 51371 51301 51442 98252 98082 98410 98001 51371 51351 51402 98252 98182 9831 num 300 3000 30000 300000 3000000 A fori 1 length num p gamrnd 1 5 3 num i 1 a b gamfit p 0 95 A A num i a 1 b 1 a 2 b 2 end A 2 3 4 5 6 7 ans 1 47951 47251 48652 91292 89602 92991 42181 41981 42383 16763 16233 17291 48981 48911 49043 04253 04093 04421 49981 49961 50003 00543 00493 00591 50061 50051 50072 99682 99662 9969要達(dá)到參數(shù)估計(jì)效果良好 隨機(jī)數(shù)不能選得太少 也不能選得太多 此例中為30000為好 8 3 2多元線性回歸與區(qū)間估計(jì) 例 a 1 1 2322 23243 792 X randn 120 6 y X a a1 inv X X X y a1 ans 1 0000 1 23202 23002 00004 00003 7920 a aint regress y X 0 02 a aint ans 1 0000 1 23202 23002 00004 00003 7920ans 1 0000 1 23202 23002 00004 00003 79201 0000 1 23202 23002 00004 00003 7920 yhat y sqrt 0 5 randn 120 1 a aint regress yhat X 0 02 a aint a 1 1 2322 23243 792 ans 1 0576 1 32802 18322 01514 05313 7749ans 0 8800 1 51072 02841 85443 87883 62211 2353 1 14532 33792 17574 22743 9276 errorbar 1 6 a aint 1 a aint 2 a errorbar 用圖形繪制參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間 yhat y sqrt 0 1 randn 120 1 a aint regress yhat X 0 02 errorbar 1 6 a aint 1 a aint 2 a 8 3 3非線性函數(shù)的最小二乘參數(shù)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) r為參數(shù)下的殘差構(gòu)成的向量 J為各個(gè)Jacobi行向量構(gòu)成的矩陣 例 f inline a 1 exp a 2 x a 3 exp a 4 x sin a 5 x a x x 0 0 1 10 y f 0 12 0 213 0 54 0 17 1 23 x a r j nlinfit x y f 1 1 1 1 1 a ans 0 119999997634180 212999994582740 540000001968180 170000000687051 22999999996315 ci nlparci a r j 0 12 0 213 0 54 0 17 1 23 ci 0 119999997125120 119999998143230 212999993408010 212999995757470 540000001245340 540000002691010 170000000360770 170000001013321 229999999786031 23000000014028 y f 0 12 0 213 0 54 0 17 1 23 x 0 02 rand size x a r j nlinfit x y f 1 1 1 1 1 a ans 0 126557840868740 175765935565410 543638737944630 171297123291461 23139632101927 ci nlparci a r j ci 0 122404171085740 130711510651740 167548371684680 183983499446140 537370934694220 549906541195040 168450144774260 174144101808661 229832895637081 23295974640145 errorbar 1 5 a ci 1 a ci 2 a 例 a 1 1 1 1 1 1 f inline a 1 x 1 3 a 2 sin a 3 x 2 x 3 a 4 x 3 3 a 5 x 3 a 6 a x X randn 120 3 y f a X sqrt 0 2 randn 120 1 ahat r j nlinfit X y f 0 2 3 2 1 2 ahatahat 0 991664648845391 047765269729430 976685958007561 020223458895410 886395287135631 09317291667891 ci nlparci ahat r j ci 置信區(qū)間ci 0 891336246676241 091993051014550 866647496632051 228883042826800 836289481194181 117082434820940 984665232791681 055781684999140 730556842241431 042233732029840 999324070183031 18702176317478 errorbar 1 6 ahat ci 1 ahat ci 2 ahat y1 f ahat X plot yy1 繪制曲線 8 4統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)8 4 1正態(tài)分布的均值假設(shè)檢驗(yàn) H為假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論 當(dāng)H 0時(shí)表示不拒絕H0假設(shè) 否則表示拒絕該假設(shè) s為接受假設(shè)的概率值 為其均值的置信區(qū)間 若未知正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí) 可用此函數(shù) 例 設(shè)某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖 包得的袋裝糖重量是一個(gè)隨機(jī)數(shù) 它服從正態(tài)分布 當(dāng)機(jī)器正常時(shí) 其均值為0 5公斤 標(biāo)準(zhǔn)差為0 015 某日開工后檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常 隨機(jī)地抽取它所包裝的的糖9袋 稱得凈重為 公斤 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 52 0 515 0 512 問機(jī)器是否正常 解 分析 總體均值 標(biāo)準(zhǔn)差已知 則可設(shè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為0 015 于是問題就化為根據(jù)樣本值來判斷還是 為此提出假設(shè) x 0 497 0 506 0 518 0 524 0 498 0 511 0 52 0 515 0 512 H p ci ztest x 0 5 0 015 0 05 H 1p 0 0248 樣本觀察值的概率ci 0 50140 5210 包含均值95 置信區(qū)間 均值0 5在此區(qū)間之外結(jié)果H 1 說明在0 05的水平下 拒絕原假設(shè) 即認(rèn)為這天包裝機(jī)工作不正常 例 某種電子元件的壽命X 以小時(shí)計(jì) 服從正態(tài)分布 均值 方差均未知 現(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下 159280101212224379179264222262168250149260485170 問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225 小時(shí) 解 按題意需做如下假設(shè) 取 x 159280101212224379179264222262168250149260485170 H p ci ttest x 225 0 05 H 0p 0 6677ci 185 3622285 1378 均值225在該置信區(qū)間內(nèi)結(jié)果表明 H 0 即在顯著水平為0 05的情況下 不能拒絕原假設(shè) 即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí) 8 4 2正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn) 由隨機(jī)樣本判定分布是否為正態(tài)分布 可用下面兩個(gè)假設(shè)算法的函數(shù) s為接受假設(shè)的概率值 s越接近于0 則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設(shè) 例 X 216 203 197 208 206 209 206 208 202 203 206 213 218 207 208 202 194 203 213 211 193 213 208 208 204 206 204 206 208 209 213 203 206 207 196 201 208 207 213 208 210 208 211 211 214 220 211 203 216 224 211 209 218 214 219 211 208 221 211 218 218 190 219 211 208 199 214 207 207 214 206 217 214 201 212 213 211 212 216 206 210 216 204 221 208 209 214 214 199 204 211 201 216 211 209 208 209 202 211 207 202 205 206 216 206 213 206 207 200 198 200 202 203 208 216 206 222 213 209 219 H p jbtest X 0 05 P為接受假設(shè)的概率值 P越接近于0 則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設(shè) H 0p 0 7281 mu1 sig1 mu ci sig ci normfit X 0 05 mu mu1 mu ci mu 208 8167207 6737209 9596 該分布的均值及置信區(qū)間 sig sig1 sig ci sig 6 32325 61187 2428 該分布的方差及置信區(qū)間 例 r gamrnd 1 3 400 1 H p c d jbtest r 0 05 H 1p 0c 504 2641d 5 9915 P為接受假設(shè)的概率值 P越接近于0 則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設(shè) c為測(cè)試統(tǒng)計(jì)量的值 d為是否拒絕原假設(shè)的臨界值 c d 故拒絕 8 4 3其它分布的Kolmogorov Smirnov檢驗(yàn) 此函數(shù) Kolmogorov Smirnov算法 可對(duì)任意已知分布函數(shù)進(jìn)行有效的假設(shè)檢驗(yàn) 其中cdffun為兩列的值 第一列為自變量 第二列為對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)的值 例 r gamrnd 1 3 400 1 alam gamfit r alam 0 97083 1513檢驗(yàn) r sort r H0 p kstest r rgamcdf r alam 1 alam 2 0 05 H0 0p 0 6067 8 5方差分析及計(jì)算機(jī)求解8 5 1單因子方差分析 對(duì)一些觀察來說 只有一個(gè)外界因素可能對(duì)觀測(cè)的現(xiàn)象產(chǎn)生影響 單因素方差分析是比較兩組或多組數(shù)據(jù)的均值 它返回原假設(shè) 均值相等的概率 若p值接近于0 則原假設(shè)受到懷疑 說明至少有一列均值與其余列均值有明顯不同 X為需要分析的數(shù)據(jù) 每一列對(duì)應(yīng)于隨機(jī)分配的一個(gè)組的測(cè)試數(shù)據(jù) 這樣會(huì)返回概率p tab為方差分析表 stats為統(tǒng)計(jì)結(jié)果量 為結(jié)構(gòu)變量 包括每組均值等 單因子方差分析表 例 建立A矩陣 并求各列的均值 A 5 4 6 7 9 8 6 4 4 3 7 6 4 6 5 7 3 5 6 7 10 5 4 3 7 8 6 3 5 6 mean A ans 7 50005 00004 33335 16676 1667 p tbl stats anova1 A 單因子方差分析p 0 0136 F Columns 36 4667 4 9 1167 3 8960 0 0136 Error 58 5000 25 2 3400 Total 94 9667 29 stats gnames 5x1char n 66666 source anova1 means 7 500054 33335 16676 1667 df 25s 1 5297有顯著影響 盒式圖單因子方差表 例 設(shè)有3臺(tái)機(jī)器 用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板 取樣測(cè)量薄板的厚度 精確至 厘米 得結(jié)果如下 機(jī)器1 0 2360 2380 2480 2450 243機(jī)器2 0 2570 2530 2550 2540 261機(jī)器3 0 2580 2640 2590 2670 262檢驗(yàn)各臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著的差異 X 0 2360 2380 2480 2450 243 0 2570 2530 2550 2540 261 0 2580 2640 2590 2670 262 P anova1 X P 1 3431e 005 8 5 2雙因子方差分析 如果有兩種因子可能影響到某現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 則應(yīng)該引入雙因子方差分析的概念 這時(shí)觀察值可表示為一個(gè)三維數(shù)組 根據(jù)雙因子的特點(diǎn) 可以引入3個(gè)假設(shè) 雙因素方差表 表中記號(hào)的定義 求解雙因子方差分析問題 例 比較3種松樹在4個(gè)不同地區(qū)的生長(zhǎng)情況有無差別 在每個(gè)地區(qū)對(duì)每種松樹隨機(jī)地選擇5株 測(cè)量它們的胸徑 對(duì)它們進(jìn)行雙因子方差分析 B 23 15 26 13 21 25 20 21 16 18 21 17 16 24 27 14 17 19 20 24 28 22 25 19 26 30 26 26 20 28 19 24 19 25 29 17 21 18 26 23 18 10 12 22 13 15 21 22 14 12 23 25 19 13 22 16 12 23 22 19 anova2 B 5 5表示每一單元觀察點(diǎn)的數(shù)目小 樹種對(duì)觀測(cè)樹的胸徑有顯著影響 很大 所以沒有理由拒絕另外兩個(gè)假設(shè) 故得出結(jié)論 地區(qū)對(duì)樹的胸徑無顯著影響 不同區(qū)域?qū)Σ煌瑯浞N的胸徑觀測(cè)結(jié)果也無顯著影響 計(jì)算均值 C fori 1 3forj 1 4C i j mean B i 1 5 j 1 5 end end C C mean C C Cmean C C 19 600020 000021 000018 800019 850024 000026 000023 200021 000023 550015 000016 800020 400018 400017 650019 533320 933321 533319 400020 3500 例 下表記錄了3位操作工分別在4臺(tái)不同機(jī)器上操作的日產(chǎn)量 試檢驗(yàn) 操作工之間的差異是否顯著 機(jī)器之間的差異是否顯著 交互作用是否顯著 機(jī)操作工機(jī)操作工器123器123M1151517191916161821M3151716181716181818M2171717151515192222M4182022151617171717 解 A 15 15 17 19 19 16 16 18 21 17 17 17 15 15 15 19 22 22 15 17 16 18 17 16 18 18 18 18 20 22 15 16 17 17 17 17 p tbl anova2 A 3 p 0 66450 00230 0002 tbl Source SS df MS F Prob F Columns 2 7500 3 0 9167 0 5323 0 6645 Rows 27 1667 2 13 5833 7 8871 0 0023 Interaction 73 5000 6 12 2500 7 1129 1 9217e 004 Error 41 3333 24 1 7222 Total 144 7500 35 由上表可知 機(jī)器自由度 df 是 4 1 3 p值為0 6645 故機(jī)器之間的差異不顯著 操作工自由度 df 是 3 1 2 p值為0 0023 故操作工之間的差異顯著 交互作用自由度 df 是 4 1 3 1 6 p值為1 9217e 004 故交互作用差異非常顯著 8 5 3多因子方差分析 8 6統(tǒng)計(jì)作圖8 6 1正整數(shù)的頻率表 命令正整數(shù)的頻率表函數(shù)tabulate格式table tabulate X X為正整數(shù)構(gòu)成的向量 返回3列 第1列中包含X的值 第2列為這些值的個(gè)數(shù) 第3列為這些值的頻率 例 A 1225638 A 1225638 tabulate A ValueCountPercent1114 29 2228 57 3114 29 400 00 5114 29 6114 29 700 00 8114 29 8 6 2經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)圖形 函數(shù)cdfplot格式cdfplot X 作樣本X 向量 的累積分布函數(shù)圖形h cdfplot X h表示曲線的環(huán)柄圖 h stats cdfplot X stats表示樣本的一些特征 例 X normrnd 0 1 50 1 h stats cdfplot X h 151 0077stats min 2 3646 樣本最小值max 2 3093 最大值mean 0 0298 平均值median 0 0084 中間值std 1 0221 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 8 6 3最小二乘擬合直線 函數(shù)lsline格式lsline 最小二乘擬合直線h lsline h為直線的句柄例 X 23 45 681112 313 81618 819 9 plot X lsline 8 6 4繪制正態(tài)分布概率圖形 函數(shù)normplot格式normplot X 若X為向量 則顯示正態(tài)分布概率圖形 若X為矩陣 則顯示每一列的正態(tài)分布概率圖形 h normplot X 返回繪圖直線的句柄說明樣本數(shù)據(jù)在圖中用 顯示 如果數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布 則圖形顯示為直線 而其它分布可能在圖中產(chǎn)生彎曲 例 X normrnd 0 1 50 1 normplot X 8 6 5繪制威布爾 Weibull 概率圖形 函數(shù)weibplot格式weibplot X 若X為