初中數(shù)學(xué)開放性探究性試題及解題策略.doc

初中數(shù)學(xué)開放性探究性試題及解題策略隨著課程改革和素質(zhì)教育的全面推進(jìn),近幾年,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和各省、市的中考題中,出現(xiàn)了一批符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平、設(shè)計優(yōu)美、個性獨(dú)特的開放題。一 數(shù)學(xué)開放題的概述1.關(guān)于數(shù)學(xué)開放題的幾種論述 數(shù)學(xué)開放題主要有幾種論述:(1)答案不固定或者條件不完全的習(xí)題;(2)開放題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的;(3)有多處正確答案的問題,以自己喜歡的方式解答問題,在解題過程中,學(xué)生可以把自己的知識、技能以各種方式結(jié)合,去發(fā)現(xiàn)新的思想方法;(4)答案不唯一的問題;(5)具有多種不同的解法,或者可能有多種解答方法的問題;(6)問題不必有解,答案不必唯一,條件可以多余的問題等。通俗地說就是給學(xué)生以較大認(rèn)知空間的題目。 一個問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時學(xué)生的知識水平如何。例如,對n個人兩兩握手共握多少次的問題,在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識以前解法很多,是一個開放題,在學(xué)習(xí)組合知識之后則是一個封閉題。2.數(shù)學(xué)開放題的基本類型,大概包括以下幾種 (1)條件開放型。這類問題一般是由給定的結(jié)論,反思、探索應(yīng)具備的條件,而滿足結(jié)論的條件并不唯一。 例1.假如,AB=DB,1=2,請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件,使ABCDBE,則需添加的條件是_。 (2)結(jié)論開放型。這類題目就是在給定的條件下,探索響應(yīng)的對象是否存在。它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情況。其基本解題方法是:假設(shè)存在,演繹推理,得出結(jié)論,從而對是否存在做出準(zhǔn)確的判斷。 例2.假如,O的直徑AB為6,P為AB上一點(diǎn),過點(diǎn)P作O的弦CD,連結(jié)AC、BC,設(shè)BCD=mACD,是否存在正實(shí)數(shù)m,使弦CD最短?如果存在,請求出m的值;如果不存在請說明理由。 簡析:假設(shè)存在正實(shí)數(shù)m,使弦CD最短,則有CDAB于P,從而cosPOD=OP:OD,因為AB=6,所以cosPOD=30。于是ACD=15o,BCD=75o,故m=5。 (3)簡略開放型 例3.計算:+,學(xué)生可能出現(xiàn)以下幾種方法。 方法1:直接通分,相加后再約分。 方法2:原式=(+)60=。 方法3:原式=(1-)+(-)+(-)+(-)+(-)=1-=。 方法1是常規(guī)方法;方法2體現(xiàn)的是一種化歸思想,但也不簡單;方法3轉(zhuǎn)化為一些互為相反數(shù)的和來計算,顯然新穎、簡便。 此外,設(shè)計開放型、舉例開放型、實(shí)踐開放型、信息開放型(限于篇幅不舉例子)。還有綜合開放型、情境開放型等等。這些開放題的條件、問題變化不定,有的條件隱蔽多余,有的結(jié)論多樣,有的解法豐富等。二 開放題具有不同于封閉題的顯著特點(diǎn) (1)數(shù)學(xué)開放題內(nèi)容具有新穎性、條件復(fù)雜、結(jié)論不定、解法靈活、無現(xiàn)成模式可套用、題材廣泛、貼近學(xué)生實(shí)際生活,不像封閉性題型那樣簡單,靠記憶、套模式來解題。 (2)數(shù)學(xué)開放題形式具有多樣性、生動性,有的追溯多種條件,有的探求多種結(jié)論,有的尋找多種解法,有的由變求變,體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息,不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述。 (3)數(shù)學(xué)開放題解決具有發(fā)散性,由于開放題的答案不唯一,解題時需要運(yùn)用多種思維方法,通過多角度的觀察、想像、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法,同時探求多個解決方向。 (4)數(shù)學(xué)開放題教育功能具有創(chuàng)新性,正是因為它的這種先進(jìn)而高效的教育功能,適應(yīng)了當(dāng)前各國人才競爭的要求。三 開放探索性試題備考策略1.數(shù)與式的開放題 此類題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn),解題要求能善于觀察分析,歸納所提供的材料,猜想其結(jié)論。 例1.觀察下列等式: 9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律,設(shè)n表示自然數(shù),用關(guān)于n的等式表示出來:_。 策略小結(jié):此類“猜想性”開放題要求能夠從所給條件出發(fā),通過觀察、試驗、分析、歸納、比較、概括、猜想、探索出一般規(guī)律,解題的關(guān)鍵在于正確的歸納和猜想。2.方程開放題 此類問題主要以方程知識為背景,探索方程有解的條件或某種條件解的情況,求字母參數(shù)的值。 例2.是否存在k,使關(guān)于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2=0的兩個實(shí)數(shù)根x1、x2,滿足|x1-x2|=10如果存在,試求出所有滿足條件的k的值;若不存在,說明理由。 策略小結(jié):此類“存在性”開放題,其解題的一般思路是先假定滿足條件的結(jié)果存在,再依據(jù)有關(guān)知識推理,要么得到下面結(jié)果,肯定存在性;要么導(dǎo)出矛盾,否定存在性。3.函數(shù)開放題 此類題是以函數(shù)知識為背景,設(shè)置探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的值及關(guān)系,滿足某條件的點(diǎn)的存在性等。 例3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像如圖1所示,問由此圖像中所顯示的拋物線的特征,可以得到二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的哪些關(guān)系和結(jié)論。 分析:a0;-=即2a+3b=0;c=-1; 策略小結(jié):此類“圖像信息”開放題,只有認(rèn)真觀察圖像上所給出的各個數(shù)據(jù)及位置特征,靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì),才能找出所有的關(guān)系與結(jié)論,數(shù)形結(jié)合是解此類題的重要數(shù)學(xué)思想方法。4.幾何開放題圖1 此類問題常以幾何圖形為背景,設(shè)置探索幾何量間的關(guān)系或點(diǎn)、線位置關(guān)系。 例4.如圖2,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,A是弧BD的中點(diǎn),過A點(diǎn)的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E。圖2 (1)求證:ABDA=CDBE; (2)若點(diǎn)E在CB延長線上運(yùn)動,點(diǎn)A在弧BD上運(yùn)動,使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變,問具備什么條件使原結(jié)論成立?(要求畫出示意圖注明條件,不要求證明) 分析:此題第(2)小題是一道條件探索性問題。其解法是“執(zhí)果索因”,要得到ABDA=CDBE,即要得ABECDA,已有條件ABE=CDA,還需增加條件:BAE=ACD,或BF=AD,或BF=DA,或FABD,或BCF=ACD等。 策略小結(jié):此類探索性試題,解答一般方法是“執(zhí)果索因”,能畫出圖形要盡量畫出圖形,再結(jié)合圖形逆向推導(dǎo)探索出需要增加的條件,為探索結(jié)論,可以作輔助線,對于結(jié)論未定的問題,也可反面思考,尋求否定結(jié)論的反例,達(dá)到目的。5.綜合性開放題 此類問題是以幾何、代數(shù)綜合知識為背景,考查分析,推理能力,綜合運(yùn)用知識解題能力。 例5.在ABC中,AB=BC=2,高BE=3,在BC邊的延長線上取一點(diǎn)D,使CD=3。 (1)現(xiàn)有一動點(diǎn)P,由A沿AB移動,設(shè)AP=t,SPCD=S,求S與t之間的關(guān)系式及自變量的取值范圍; (2)在(1)的條件下,是否存在正實(shí)數(shù)t,使PD邊上的高CH=CD,如果存在,請求出t的值;如果不存在,請說明理由。 分析:(1)(2)略。 策略小結(jié):此類綜合性開放題,需要學(xué)生綜合題設(shè)條件,通過觀察,比較、聯(lián)想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結(jié)論,有時需分析運(yùn)動變化過程,尋找變化中的特殊位置,即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”,再探求特殊位置下應(yīng)滿足的條件,利用分類討論思想,各個擊破。四 教材例習(xí)題改編與開放探索試題舉例 例1.(九年級教材)已知:如圖3,AB為O直徑,C、D是半圓弧上的兩點(diǎn),E是AB上除O外的一點(diǎn),AC與DE交于點(diǎn)F,AD=CD,DEAB,AF=DF。 (1)寫出以中的任意兩個條件,推出第三個(結(jié)論)的一個正確命題,并加以證明。 (2)“以”中的任意兩個為條件,推出第三個(結(jié)論)的一個正確命題,并加以證明。 答案:可以組成3組正確的命題,即若滿足,則有;若滿足,則有;若滿足,則有。圖3圖4圖5 例2.如圖4,AB是O的直徑,點(diǎn)D在AB的延長線上,BD=OB,點(diǎn)C在O上,CAB=30o,求證:DC是O的切線。 例3.如圖5,已知弦AB與半徑相等,連接OB,并延長使BC=OB。 (1)問AC是O有什么關(guān)系,并證明你的結(jié)論。 (2)請你在O上找出一點(diǎn)D,使AD=AC。(自己完