考研數(shù)學(xué)三真題及解析.doc

2004年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =_，b =_.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.(3) 設(shè)，則.(4) 二次型的秩為 .(5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來(lái)自總體和的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 則 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 設(shè)f (x)在(- , +)內(nèi)有定義，且， ，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). (9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. (12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . (13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量. (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣.(22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. (23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的矩估計(jì)量;() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; () 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 2004年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評(píng)注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，則f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t，.【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)橛谑嵌涡偷木仃嚍?,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因?yàn)? 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來(lái)自總體和的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因?yàn)?, ,故應(yīng)填 .【評(píng)注】本題是對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征的考查.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在(- , +)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評(píng)注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.(9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導(dǎo)數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷拐點(diǎn)情況.【詳解】設(shè)0 d 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點(diǎn).顯然，x = 0是f (x)的不可導(dǎo)點(diǎn). 當(dāng)x (-d , 0)時(shí)，f (x) = -x(1 - x)，當(dāng)x (0 , d)時(shí)，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).故選(C).【評(píng)注】對(duì)于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷. (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明4個(gè)命題的正確性.【詳解】(1)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，分散，而收斂.(2)是正確的，因?yàn)楦淖儭⒃黾踊驕p少級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因?yàn)橛煽傻玫讲悔呄蛴诹?n )，所以發(fā)散.(4)是錯(cuò)誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (a).(B) 至少存在一點(diǎn)，使得 f (b).(C) 至少存在一點(diǎn)，使得.(D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度.(12) 設(shè)階矩陣與等價(jià), 則必有(A) 當(dāng)時(shí), . (B) 當(dāng)時(shí), .(C) 當(dāng)時(shí), . (D) 當(dāng)時(shí), . D 【分析】 利用矩陣與等價(jià)的充要條件: 立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí), , 又 與等價(jià), 故, 即, 故選(D). 【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣等價(jià)、行列式的考查, 屬基本題型.(13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個(gè)非零解向量.(C) 含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量. (D) 含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量. B 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù), 實(shí)際上只要確定未知數(shù)的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因?yàn)榛A(chǔ)解系含向量的個(gè)數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量, 即選(B).【評(píng)注】本題是對(duì)矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查.(14) 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得. 故正確答案為(C).【評(píng)注】本題是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴(yán)格地說(shuō)它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價(jià)無(wú)窮小與羅必達(dá)法則求解即可.【詳解】=.【評(píng)注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對(duì)于“”型極限，應(yīng)充分利用等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去小圓，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算即可.【詳解】令，由對(duì)稱性，.所以，.【評(píng)注】本題屬于在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的基本題型，對(duì)于二重積分，經(jīng)常利用對(duì)稱性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算. (17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) - g(x)，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) - g(x)，由題設(shè)G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 .因此 .【評(píng)注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價(jià)格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性( 0)；(II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推導(dǎo).【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當(dāng)10 P 1，于是，故當(dāng)10 P 0時(shí)，需求量對(duì)價(jià)格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個(gè)常用的公式： ，(收益對(duì)價(jià)格的彈性).(19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.【分析】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.【詳解】(I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評(píng)注】本題綜合了級(jí)數(shù)求和問題與微分方程問題，2002年考過類似的題.(20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當(dāng)為何值時(shí), () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】 設(shè)有數(shù)使得 . (*)記. 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有.() 當(dāng)時(shí), 有 .可知.故方程組(*)無(wú)解, 不能由線性表示.() 當(dāng), 且時(shí), 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時(shí)可由唯一地線性表示, 其表示式為 () 當(dāng)時(shí), 對(duì)矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無(wú)窮多解，其全部解為 , , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不唯一,其表示式為 【評(píng)注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過兩次(1991, 2000).(21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠毯妄R次線性方程組來(lái)解決.【詳解】() 當(dāng)時(shí)， ,得的特征值為，對(duì)，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對(duì)， 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當(dāng)時(shí)，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當(dāng)時(shí)，有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，令，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意可逆矩陣, 均有 【評(píng)注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對(duì)角化等問題, 屬于有一點(diǎn)綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個(gè)未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況.(22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】本題的關(guān)鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機(jī)變量的各取值對(duì)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件和表示即可【詳解】 () 因?yàn)?，于是，則有，( 或)，即的概率分布為： 0 1 0 1 ()方法一：因?yàn)?，所以與的相關(guān)系數(shù) 方法二： X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 () 的可能取值為：0，1，2 ，即的概率分布為： 0 1 2 【評(píng)注】本題考查了二維離散隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布，數(shù)字特征和二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布等計(jì)算問題，屬于綜合性題型(23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的矩估計(jì)量;() 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量; () 當(dāng)時(shí), 求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 【分析】本題是一個(gè)常規(guī)題型, 只要注意求連續(xù)型總體未知參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都須已知密度函數(shù), 從而先由分布函數(shù)求導(dǎo)得密度函數(shù).【詳解】 當(dāng)時(shí), 的概率密度為 () 由于 令 , 解得 , 所以, 參數(shù)的矩估計(jì)量為 .() 對(duì)于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí), , 取對(duì)數(shù)得 ,對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，令，解得，于是的最大似然估計(jì)量為 ( ) 當(dāng)時(shí), 的概率密度為對(duì)于總體的樣本值, 似然函數(shù)為 當(dāng)時(shí), 越大，越大, 即的最大似然估計(jì)值為,于是的最大似然估計(jì)量為 2005年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= .（2） 微分方程滿足初始條件的特解為_.（3）設(shè)二元函數(shù)，則_.（4）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則a=_.（5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)數(shù)，記為Y, 則=_.（6）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則a= ， b= .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. （8）設(shè),其中，則(A) . （B）.(C) . (D) . （9）設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是 (A) 收斂，發(fā)散 . （B） 收斂，發(fā)散.(C) 收斂. (D) 收斂. （10）設(shè),下列命題中正確的是(A) f(0)是極大值，是極小值. （B） f(0)是極小值，是極大值.（C） f(0)是極大值，也是極大值. (D) f(0)是極小值，也是極小值. （11）以下四個(gè)命題中，正確的是(A) 若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （B）若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （C）若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. (D) 若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界. （12）設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個(gè)相等的正數(shù)，則為(A) . (B) 3. (C) . (D) . （13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . （14） 設(shè)一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其中均未知. 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則的置信度為0.90的置信區(qū)間是(A) (B) (C)(D) 三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分8分）求（16）（本題滿分8分）設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求（17）（本題滿分9分）計(jì)算二重積分，其中.（18）（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x).（19）（本題滿分8分）設(shè)f(x),g(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對(duì)任何a,有 （20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.（21）（本題滿分13分）設(shè)為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對(duì)稱矩陣，C為矩陣.(I) 計(jì)算，其中；（II）利用(I)的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.（22）（本題滿分13分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) （23）（本題滿分13分）設(shè)為來(lái)自總體N(0,)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III）若是的無(wú)偏估計(jì)量，求常數(shù)c. 2005年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= 2 .【分析】 本題屬基本題型，直接用無(wú)窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 =（2） 微分方程滿足初始條件的特解為 .【分析】 直接積分即可.【詳解】 原方程可化為 ，積分得 ，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.（3）設(shè)二元函數(shù)，則 .【分析】 基本題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.【詳解】 , ,于是 .（4）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則a= .【分析】 四個(gè)4維向量線性相關(guān)，必有其對(duì)應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.【詳解】 由題設(shè)，有 , 得，但題設(shè)，故（5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X, 再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式, 且第一次試驗(yàn)的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =（6）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件與相互獨(dú)立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）當(dāng)a取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能極值點(diǎn)，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行分析，當(dāng)恰好有一個(gè)極值為零時(shí)，函數(shù)f(x)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【詳解】 =，知可能極值點(diǎn)為x=1,x=2，且 ，可見當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f(x) 恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故應(yīng)選(B).（8）設(shè),其中，則(A) . （B）.(C) . (D) . A 【分析】 關(guān)鍵在于比較、與在區(qū)域上的大小.【詳解】 在區(qū)域上，有，從而有 由于cosx在 上為單調(diào)減函數(shù)，于是 因此 ，故應(yīng)選(A).（9）設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是 (A) 收斂，發(fā)散 . （B） 收斂，發(fā)散.(C) 收斂. (D) 收斂. D 【分析】 可通過反例用排除法找到正確答案.【詳解】 取，則發(fā)散，收斂，但與均發(fā)散，排除(A),(B)選項(xiàng)，且發(fā)散，進(jìn)一步排除(C), 故應(yīng)選(D). 事實(shí)上，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列極限存在.（10）設(shè),下列命題中正確的是(B) f(0)是極大值，是極小值. （B） f(0)是極小值，是極大值.（C） f(0)是極大值，也是極大值. (D) f(0)是極小值，也是極小值. B 【分析】 先求出，再用取極值的充分條件判斷即可.【詳解】 ，顯然 ，又 ，且，故f(0)是極小值，是極大值，應(yīng)選(B).（11）以下四個(gè)命題中，正確的是(A) 若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （B）若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （C）若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. (D) 若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界. C 【分析】 通過反例用排除法找到正確答案即可.【詳解】 設(shè)f(x)=, 則f(x)及均在（0，1）內(nèi)連續(xù)，但f(x)在（0，1）內(nèi)無(wú)界，排除(A)、(B); 又在（0，1）內(nèi)有界，但在（0，1）內(nèi)無(wú)界，排除(D). 故應(yīng)選(C). （12）設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個(gè)相等的正數(shù)，則為(A) . (B) 3. (C) . (D) . A 【分析】 題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān)，一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應(yīng)公式：.【詳解】 由及，有，其中為的代數(shù)余子式，且或 而，于是，且 故正確選項(xiàng)為(A).（13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 討論一組抽象向量的線性無(wú)關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無(wú)關(guān)，于是有 當(dāng)時(shí)，顯然有，此時(shí)，線性無(wú)關(guān)；反過來(lái)，若，線性無(wú)關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無(wú)關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(D).（14） 設(shè)一批零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其中均未知. 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則的置信度為0.90的置信區(qū)間是(A) (B) (C)(D) C 【分析】 總體方差未知，求期望的區(qū)間估計(jì)，用統(tǒng)計(jì)量：【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知， 故的置信度為0.90的置信區(qū)間是，即故應(yīng)選(C).三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分8分）求 【分析】 型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則.【詳解】 = = =（16）（本題滿分8分）設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求 【分析】 先求出二階偏導(dǎo)數(shù)，再代入相應(yīng)表達(dá)式即可.【詳解】 由已知條件可得 ， ， ，所以 =（17）（本題滿分9分） 計(jì)算二重積分，其中.【分析】 被積函數(shù)含有絕對(duì)值，應(yīng)當(dāng)作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.【詳解】 記，于是 =+=（18）（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x).【分析】?jī)缂?jí)數(shù)求和函數(shù)一般采用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，轉(zhuǎn)化為幾何級(jí)數(shù)或已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，從而達(dá)到求和的目的.【詳解】 設(shè) ， ，則 ，由于 =， ,因此 ，又由于 ，故 所以 （19）（本題滿分8分）設(shè)f(x),g(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對(duì)任何a,有 【分析】 可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過分部積分討論. 【詳解】 方法一：設(shè)，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時(shí)，因此，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到 ，而 =，故F(1)=0.因此時(shí)，由此可得對(duì)任何，有 方法二： =， = 由于時(shí)，因此 ， ，從而 （20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.【分析】 方程組（ii）顯然有無(wú)窮多解，于是方程組（i）也有無(wú)窮多解，從而可確定a，這樣先求出（i）的通解，再代入方程組（ii）確定b,c即可.【詳解】 方程組（ii）的未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，故方程組方程組（ii）有無(wú)窮多解.因?yàn)榉匠探M（i）與（ii）同解，所以方程組（i）的系數(shù)矩陣的秩小于3.對(duì)方程組（i）的系數(shù)矩陣施以初等行變換 ，從而a=2. 此時(shí)，方程組（i）的系數(shù)矩陣可化為 ，故是方程組（i）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.將代入方程組（ii）可得 或當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有 ，顯然此時(shí)方程組（i）與（ii）同解.當(dāng)時(shí)，對(duì)方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有 ，顯然此時(shí)方程組（i）與（ii）的解不相同. 綜上所述，當(dāng)a=2,b=1,c=2時(shí)，方程組（i）與（ii）同解.（21）（本題滿分13分）設(shè)為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對(duì)稱矩陣，C為矩陣.(I) 計(jì)算，其中；（II）利用(I)的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.【分析】 第一部分直接利用分塊矩陣的乘法即可；第二部分是討論抽象矩陣的正定性，一般用定義.【詳解】 (I) 因 ，有 = = =.（II）矩陣是正定矩陣.由(I)的結(jié)果可知，矩陣D合同于矩陣又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣.因矩陣M為對(duì)稱矩陣，故為對(duì)稱矩陣. 對(duì)及任意的，有 故為正定矩陣.（22）（本題滿分13分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) 【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度; 直接用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度= =關(guān)于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，一、 當(dāng)時(shí)，；一、 當(dāng)時(shí)， =; 3) 當(dāng)時(shí)，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：（III） （23）（本題滿分13分）設(shè)為來(lái)自總體N(0,)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III）若是的無(wú)偏估計(jì)量，求常數(shù)c. 【分析】 先將表示為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量求和，再用方差的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；求與的協(xié)方差，本質(zhì)上還是數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，同樣應(yīng)注意利用數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)；估計(jì)，利用其數(shù)學(xué)期望等于確定c即可.【詳解】 由題設(shè)，知相互獨(dú)立，且，（I） = =（II） = = = = =（III） = =，故 2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）（2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，則（3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(diǎn)(1,2)處的全微分（4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .（5）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則_.（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本方差為，則二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . （8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 （9）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. （10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個(gè)不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）. （）. （）. （） （11）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無(wú)關(guān). (C) 若線性無(wú)關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān). （13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）. （）.（）. （）. （14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) 三 、解答題：1523小題，共94分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求() ；() .（16）（本題滿分7分） 計(jì)算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.（17）（本題滿分10分） 證明：當(dāng)時(shí)，. （18）（本題滿分8分）在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.() 求的方程；() 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值.（19）（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組 ，問為何值時(shí)線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時(shí),求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該極大線