2018高考數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸專項(xiàng)練習(xí)集(一).doc

Word格式2018年高考數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸專項(xiàng)練習(xí)集（一）1.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為0設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和若是數(shù)列的前3項(xiàng)，且=16（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)；（3）構(gòu)造數(shù)列若該數(shù)列前n項(xiàng)和，求n的值2.已知數(shù)列滿足，且（1）求的值；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求；（3）設(shè)，是否存正整數(shù)i，j，k（ijk），使得bi，bj，bk成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的i，j，k；若不存在，請(qǐng)說明理由3.(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,.(1) 求d的值;(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3) 求證:.4.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且時(shí)，(1)若，求，(2)若，證明：(3)若，求所有的正整數(shù)，使得對(duì)于任意，均有成立5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=0，a1+a2+a3+an+n=an+1，nN*（）求證：數(shù)列an+1是等比數(shù)列；（）設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，b1=1，點(diǎn)（Tn+1，Tn）在直線上，若不等式對(duì)于nN*恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值6.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）（1）n=2時(shí)，先在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D2，再求a2的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，試證明：對(duì)任意nN*恒有+成立7.在數(shù)列中，（）求的值；（）猜想的表達(dá)式，并證明你的猜想8.設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；（3）設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且集合中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍.9.已知f（n）=1+，g（n）=，nN*（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，試比較f（n）與g（n）的大小關(guān)系；（2）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并給出證明10.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若（nN*），則稱an是“緊密數(shù)列”；（1）若a1=1，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；（2）若an為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1，公差d，且0da1，判斷an是否為“緊密數(shù)列”；（3）設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列an與Sn都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍試卷答案1.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）設(shè)an的公差d0由a1，a2，a5是數(shù)列bn的前3項(xiàng)，且S4=16可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出（2）Sn=n2可得=根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，可得=+，t22t=0解得t（3）由（1）可得：Sn=n2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和An=數(shù)列An的前n項(xiàng)和Un=n=n數(shù)列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，ak，b1，b2，bk，可得：該數(shù)列前k+=項(xiàng)和=k2+（k1），根據(jù)37=2187，38=6561進(jìn)而得出【解答】解：（1）設(shè)an的公差d0a1，a2，a5是數(shù)列bn的前3項(xiàng)，且S4=16，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，an=1+（n1）2=2n1b1=1，b2=3，公比q=3bn=3n1（2）Sn=n2 =數(shù)列為等差數(shù)列，=+，t22t=0解得t=2或0，經(jīng)過驗(yàn)證滿足題意（3）由（1）可得：Sn=n2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和An=數(shù)列An的前n項(xiàng)和Un=n=n數(shù)列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，ak，b1，b2，bk，該數(shù)列前k+=項(xiàng)和=k2+（k1），37=2187，38=6561取k=8，可得前=36項(xiàng)的和為： =1700，令Tn=1821=1700+，解得m=5n=36+5=412.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式【分析】（1）由題意，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)合a1=1，a2=1，進(jìn)一步求得，則a5+a6可求；（2）當(dāng)n=2k時(shí)，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k），代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解；當(dāng)n=2k1時(shí)，由Sn=S2ka2k求解；（3）由（1）得（僅b1=0且bn遞增）結(jié)合kj，且k，jZ，可得kj+1然后分kj+2與k=j+1兩類分析可得滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3【解答】解：（1）由題意，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，又a1=1，a2=1，即a5+a6=2；（2）當(dāng)n=2k時(shí)，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k）=當(dāng)n=2k1時(shí)，Sn=S2ka2k= ；（3）由（1），得（僅b1=0且bn遞增）kj，且k，jZ，kj+1當(dāng)kj+2時(shí)，bkbj+2，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，則=，此與bn0矛盾故此時(shí)不存在這樣的等差數(shù)列當(dāng)k=j+1時(shí)，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差數(shù)列，則=，又ij，且i，jZ，ij1若ij2，則bibj2，得，得0，矛盾，i=j1從而2bj=bj1+bj+1，得，化簡，得3j2=1，解得j=2從而，滿足條件的i，j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=33.3分8分12分4.見解析解：得，證明：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，綜上，時(shí)，解：若，由知，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的，成立若，則，且，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的，成立，若，則，時(shí)，對(duì)所有的，成立，綜上，若，則，若，則，若，則，5.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定【分析】（）利用遞推式可得：an+1=2an+1，變形利用等比數(shù)列的定義即可證明；（）由（）得，由點(diǎn)（Tn+1，Tn）在直線上，可得，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，利用遞推式可得bn=n利用不等式，可得Rn=，利用“錯(cuò)位相減法”可得：對(duì)n分類討論即可得出【解答】解：（）由a1+a2+a3+an+n=an+1，得a1+a2+a3+an1+n1=an（n2），兩式相減得an+1=2an+1，變形為an+1+1=2（an+1）（n2），a1=0，a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），a1+1是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列（）由（）得，點(diǎn)（Tn+1，Tn）在直線上，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)n2時(shí)，b1=1滿足該式，bn=n不等式，即為，令，則，兩式相減得，由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)n3時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)n=3時(shí)，；當(dāng)n4時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)n=4時(shí)，；則的最小值為，所以實(shí)數(shù)m的最大值是6.【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合【分析】（1）在48的矩形區(qū)域內(nèi)有59個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，可求a2的值；（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），即可求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）利用裂項(xiàng)法，放縮，求和即可證明結(jié)論【解答】解：（1）D2如圖中陰影部分所示，在48的矩形區(qū)域內(nèi)有59個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，a2=25（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），據(jù)題意有an=10n+5（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）（8分）=，+=（+）=（+）（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題7.（） (3分) （6分）（）猜想， （7分）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1)當(dāng)n=1時(shí)，猜想正確； （8分）2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想正確，即那么即n=k+1時(shí)猜想也正確. （12分）根據(jù)1），2）可知，對(duì)任意都有 （13分）略8.（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，； 4分（2）（）必要性：設(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，若，則， . 6分若，則，左邊為偶數(shù)，等式不成立，若，同理也不成立，綜合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：設(shè)，則這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，所以充分性也成立.綜合（）（），原命題成立. 10分（3）因?yàn)?，即，?）當(dāng)時(shí)，（*）則（*）式兩邊同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又當(dāng)時(shí)，即，適合，.14分，時(shí)，即；時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，又，. 16分9.【考點(diǎn)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；不等式比較大小【分析】（1）根據(jù)已知，nN*我們易得當(dāng)n=1，2，3時(shí)，兩個(gè)函數(shù)函數(shù)值的大小，比較后，根據(jù)結(jié)論我們可以歸納推理得到猜想f（n）g（n）；（2）但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式f（n）g（n）當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)不等式f（n）g（n）當(dāng)n=k（k1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式f（n）g（n）也成立，最后得到不等式f（n）g（n）對(duì)于所有的正整數(shù)n成立；【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；當(dāng)n=2時(shí)，所以f（2）g（2）；當(dāng)n=3時(shí)，所以f（3）g（3）（2）由（1），猜想f（n）g（n），下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)n=k（k3）時(shí)不等式成立，即即+，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?，所以由、可知，?duì)一切nN*，都有f（n）g（n）成立10.【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用【分析】（1）由題意，且，即可求出x的取值范圍；（2）由題意，an=a1+（n1）d， =1+，根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可證明結(jié)論；（3）先設(shè)公比是q并判斷出q1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式化簡，根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義列出不等式組，再求出公比q的取值范圍【解答