數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)一元二次方程公式法.doc

用公式法求解一元二次方程一、公式法公式法：求根公式：一般地，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，它的根是：上面這個(gè)式子稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.【知識(shí)拓展】(1)求根公式專指一元二次方程的求根公式，只有確定方程是一元二次方程時(shí)，才可以使用(2)應(yīng)用公式法解一元二次方程時(shí)，要先把方程化成一般形式，確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，且要注意它們的符號(hào)(3)b24ac0是公式使用的前提條件，是公式的重要組成部分一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)：一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過(guò)程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0)的過(guò)程a0，方程的兩邊同除以a得配方得，a0，a20，4a20當(dāng)b24ac時(shí)，是一個(gè)非負(fù)數(shù)此時(shí)兩邊開平方得，【知識(shí)拓展】(1)被開方數(shù)b24ac必須是非負(fù)數(shù)，否則沒有意義(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系數(shù)a，b，c決定的，只要確定了a，b，c的值，就可以代入公式求一元二次方程的根【新課導(dǎo)讀點(diǎn)撥】因?yàn)閍1，b1，c90，所以故x110，x29(不符合實(shí)際，舍去)所以全校有10個(gè)隊(duì)參賽【例1】解下列方程(1)x22x0；(2)3x24x1；(3)2x24x50分析：解：(1)x22x20，a1，b2，c2，b24ac(2)24X1(2)120，.(2)原方程可化為3x24x10，a3，b4，c1，b24ac4243140，(3)2x24x50，a2，b4，c5，b24ac(4)2425240，該方程沒有實(shí)數(shù)根二、一元二次方程根的判別式定義：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況可由b24ac來(lái)判定.我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用希臘字母“”來(lái)表示，讀作：“delta(德爾塔)”對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根反之亦成立【知識(shí)拓展】(1)根的判別式是b24ac，而不是(2)根的判別式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必須把所給的方程化為一般形式再判別根的情況，要注意方程中各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)(3)如果一元二次方程有實(shí)根，那么應(yīng)當(dāng)包括有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩種情況，此時(shí)b24ac0探究交流已知關(guān)于x的一元二次方程x22xm0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)m取最大值時(shí)，求該一元二次方程的根分析：根據(jù)根的判別式的意義可得44m0，解得m1，所以m的最大值為1，此時(shí)方程為x22x10，然后運(yùn)用公式法解方程解：關(guān)于x的一元二次方程x22xm0有實(shí)數(shù)根，44m0，m1，m的最大值為1，當(dāng)m1時(shí)，一元二次方程變形為x22x10，解得x1x21【例2】一元二次方程x2x30的根的情況是()A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C沒有實(shí)數(shù)根D無(wú)法確定分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式b24ac的值的符號(hào)就可以了a1，b1，c3，b24ac12413110，此方程沒有實(shí)數(shù)根故選C#整理歸納#$練習(xí)$#題型#單選#題干#(2013珠海中考)已知一元二次方程：x22x30，x22x30下列說(shuō)法正確的是()A99幫有實(shí)數(shù)解B無(wú)實(shí)數(shù)解，有實(shí)數(shù)解C有實(shí)數(shù)解，無(wú)實(shí)數(shù)解D都無(wú)實(shí)數(shù)解#答案#B#解析#方程的判別式=4-12=8，則沒有實(shí)數(shù)解；的判別式=4+12=16，則有實(shí)數(shù)解.故選B.$更多練習(xí)$#題型#主觀填空題#題干#(2011上海中考)如果關(guān)于x的一元二次方程x26xc0(c是常數(shù))沒有實(shí)數(shù)根，那么c的取值范圍是_#答案#c9#解析#關(guān)于xx26xc0(c是常數(shù))沒有實(shí)數(shù)根，(6)24c0，即364c0，c9#題型#主觀題#題干#(2012珠海中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x22xm0(1)當(dāng)m3時(shí)，判斷方程的根的情況；(2)當(dāng)m3時(shí)，求方程的根#答案#解：(1)當(dāng)m3時(shí)，b24ac224380，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根. (2)當(dāng)m3時(shí)，原方程變形為x22x30.b24ac41216，x11，x23.#題型#主觀題#題干#(2013樂山中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x2(2k1)xk2k0(1)求證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值#答案#(1)證明：(2k1)24(k2+k)10，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.(2)解：一元二次方程x2(2k+1)xk2k0的解為，即x1k，x2k1，不妨設(shè)ABk，ACk1，當(dāng)ABBC時(shí)，ABC是等腰三角形，則k5；當(dāng)ACBC時(shí)，ABC是等腰三角形，則k15，解的k4.所以k的值為5或4.$典型$#典例精析#類型一用公式法解一元二次方程【例1】用公式法解下列方程（1）x22x20；(2) ；（3）分析：方程(1)(3)可直接確定a，b，c的值，方程(2)需先化為一般形式，再確定a，b，c的值解：(1)a1，b2，c2，b24ac2241(2)120，(2)將方程化為一般形式，得a1，c3，原方程沒有實(shí)數(shù)根（3）a1，.規(guī)律方法小結(jié)：(1)用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要先將方程化為一般形式，再確定a，b，c的值(2)b24ac0是公式中的一個(gè)重要組成部分，b24ac0時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根(3)當(dāng)b24ac0時(shí)，應(yīng)把方程的根寫成，的形式，用以說(shuō)明一元二次方程有兩個(gè)相等的根，而不是一個(gè)根類型二不解方程判定根的情況【例2】不解方程，判斷下列方程的根的情況(1)x2x10；(2)2x23x2；(3)2x23x40解：(1)a1，b1，c1，b24ac1450，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)原方程可變形為2x23x20，a2，b3，c2，b24ac91670，原方程沒有實(shí)數(shù)根(3)原方程可變形為2x23x40，a2，b3，c4，b24ac3242(4)410，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根類型三幾何圖形中的方案設(shè)計(jì)問題【例3】(2012湘潭中考)如圖2所示，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD(圍墻MN最長(zhǎng)可利用25 m)，現(xiàn)在已備足可以砌50 m長(zhǎng)的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2(所備材料全部用完)分析：設(shè)未知數(shù)，將矩形的長(zhǎng)和寬表示出來(lái)，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可解：設(shè)ABx m，則BC(502x)m根據(jù)題意可得x(502x)300，解得x110，x215當(dāng)x10時(shí)，BC502103025，不符合題意，舍去，當(dāng)x15時(shí)，BC502152025，符合題意，故AB15 m，BC20 m.答：可以圍成AB的長(zhǎng)為15 m，BC的長(zhǎng)為20 m的矩形【解題策略】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列方程求解，注意圍墻MN最長(zhǎng)可利用25 m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)類型四用公式法解含字母系數(shù)的一元二次方程【例4】解關(guān)于x的方程x22mxm220解：a1，b2m，cm22，【解題策略】要熟練運(yùn)用公式法求一元二次方程的解，準(zhǔn)確確定a，b，c的值是解題的關(guān)鍵類型五根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍【例5】k取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程kx212x90(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?(3)沒有實(shí)數(shù)根?分析：(1)當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)b24ac0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根分別求出是的取值范圍即可解題時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)k0解：方程是一元二次方程，則k0(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 b24ac14436k0，解得k4所以k4且k0(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b24ac14436k0，解得k4(3)若方程沒有實(shí)數(shù)根，則b24ac14436k0，解得k4類型六設(shè)計(jì)方案解決幾何圖形面積問題【例6】(2013連云港中考)小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長(zhǎng)為40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方形(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58 cm2，小林該怎么剪?(2)小峰對(duì)小林說(shuō)：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2”他的說(shuō)法對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由分析：(1)設(shè)剪成的較短的一段長(zhǎng)x cm，則較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)(40x)cm，這樣就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積，根據(jù)兩個(gè)正方形的面積之和等于58 cm2建立方程求出其解即可；(2)設(shè)剪成的較短的一段長(zhǎng)優(yōu)咖，則較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)(40m)cm，這樣就可以表示出這兩個(gè)正方形的面積，根據(jù)兩個(gè)正方形的面積之和等于48 cm2建立方程，如果方程有解就說(shuō)明小峰的說(shuō)法錯(cuò)誤，否則正確解：(1)設(shè)剪成的較短的一段長(zhǎng)x cm，則較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)(40x)cm，由題意，得，解得x112，x228當(dāng)x12時(shí)，40x401228，當(dāng)x28時(shí)，40x40281228(舍去)較短的一段長(zhǎng)12 cm，較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)28 cm.(2)設(shè)剪成的較短的一段長(zhǎng)m cm，則較長(zhǎng)的一段長(zhǎng)(40m)cm，由題意，得，整理，得m240m4160，(40)24416640，原方程無(wú)解小峰的說(shuō)法正確，這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2類型七分類討論求方程的根【例7】解關(guān)于x的方程(k1)x2(k2)x2k0()分析：解含有字母系數(shù)的方程，往往要按字母的取值分類討論此題有兩種情況，k1和k1，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不為零，才能用一元二次方程的求根公式來(lái)解解：當(dāng)k1時(shí)，原方程為x20，x2當(dāng)k1時(shí)，ak1，bk2，c2k，b24ac(k2)24(k1)(2k)9k212k4(3k2)20，【解題策略】當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要討論；次項(xiàng)系數(shù)是否為零類型八應(yīng)用根的判別式判斷三角形的形狀【例8】已知a，b，c分別是伽c的三邊長(zhǎng)，當(dāng)m0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則ABC是什么形狀的三角形?分析：由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得根的判別式為0，得到與m有關(guān)的等式，由m0得a，b，c之間的關(guān)系，從而判定三角形的形狀解：將方程化為一般形式因?yàn)樵匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，即4m(a2b2c2)0，又因?yàn)閙0，所以a2b2c20，即a2b2c2根據(jù)勾股定理的逆定理知ABC是直角三角形類型九探索含字母系數(shù)的一元二次方程的根的情況【例9】已知關(guān)于z的一元二次方程ax2bxco(a0)(1)當(dāng)a，c異號(hào)時(shí)，試說(shuō)明該方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)a，c同號(hào)時(shí)，該方程要有實(shí)數(shù)根，還需要滿足什么條件?請(qǐng)你寫出一個(gè)a，c同號(hào)，且有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，并解這個(gè)方程分析：(1)只需說(shuō)明b24ac0即可(2)是一個(gè)開放性問題，寫出的方程滿足a，c同號(hào)，且b24ac0即可解：(1)因?yàn)閍，c異號(hào)，所以acO，所以4ac0，所以b24ac0，所以，當(dāng)a，c異號(hào)時(shí)，該方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)當(dāng)a，c同號(hào)時(shí)，該方程要有實(shí)數(shù)根，還需滿足條件b24ac0例如方程x24x30，解得x13，x21【解題策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它滿足的條件是a，c同號(hào)且b24ac0，而這樣的方程有無(wú)數(shù)個(gè)，我們可以選取一些解答較方便的方程。#中考鏈接#考點(diǎn)透視用公式法求一元二次方程的解歷來(lái)是中考的考查重點(diǎn)，重點(diǎn)考查對(duì)求根公式的運(yùn)用，其中對(duì)根的判別式的考查比例較大，題型以選擇題、填空題為主，往往與方程的應(yīng)用等其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查真題剖析【例1】(2013上海中考)下列關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的是()Ax210Bx2x10Cx2x10Dx2x10分析：A這里a1，b0，c1，b24ac40，方程沒有實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；B這里a1，b1，c1，b24ac1430，方程沒有實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；C這里a1，b1，c1，b24ac1430，方程沒有實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；D這里a1，b1，c1，b24ac1450，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)符合題意故選D【例2】(2013蘭州中考)解方程x23x10分析：利用求根公式來(lái)解方程解：a1，b3，c1， b24ac94130，即，【例3】(2013南充中考)已知關(guān)于x的一元二次方程(m1)x22mxm10(1)求出方程的根；(2)m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)?分析：(1)利用求根公式求解；(2)利用(1)中x的值來(lái)確定m的值解：(1)根據(jù)題意，得m1(2m)24(m1)(m1)4，則，x21(2)由(1)知，方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)，是正整數(shù)，m11或ml2，解得m2或3m為2或3時(shí)，此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)【例4】(2013北京中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x22x2k40有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1)求是的取值范圍；(2)若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值分析：(1)根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于0，列出關(guān)于是的不等式，求出不等式的解集即可；(2)根據(jù)忌的取值范圍確定出正整數(shù)志的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到滿足題意的k的值解：(1)根據(jù)題意得44(2k4)208k0，解得(2)由k為正整數(shù)得到k1或2，利用求根公式表示出方程的解為，方程的解為整數(shù)，52k為完全平方數(shù)，則k的值為2【例5】(2013威海中考)要在一塊長(zhǎng)52 m，寬48 m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路下面分別是小亮和小穎的設(shè)計(jì)方案(1)求小亮設(shè)計(jì)方案中甬路的寬度x；(2)求小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積(友情提示：小穎設(shè)計(jì)方案中的x與小亮設(shè)計(jì)方案中的x取值相同，直角三