抽象函數(shù)問題的求解策略探究.doc

抽象函數(shù)問題的求解策略探究湖南省 黃愛民 趙長春函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。一、具體模型策略例1已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x、y滿足f(0)0，f(x+y)=f(x)(y),且當(dāng)x0時，f(x)1,則當(dāng)x0時f(x)的取值范圍是 。解析：令f(x)=ax(0a1)易得0f（x）1。評析：借助特殊函數(shù)直接解抽象函數(shù)客觀題是常用的解題處理方法，可以迅速得到正確答案。二、類比聯(lián)想策略例2已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x2)1f(x)=1f(x)，f(2)=1,則f(2006)=（ ） 分析：由條件知，f(x+2)= （*），又f(1)2 ，逐步推出f(2006)，顯然比較繁鎖，若將（*）式與進(jìn)行類比，則結(jié)構(gòu)形式類似，而y=tanx的周期為=4 .于是便產(chǎn)生一個念頭：f(x)也有可能是周期函數(shù)，周期為428.于是猜想成立。f(2006)f(82506)f(6)f(28)從而應(yīng)選B。評析：由于抽象函數(shù)的結(jié)論對任何滿足條件的具體函數(shù)都成立，因而可以通過考察一些具體函數(shù)，巧妙類比聯(lián)想，以找到解題的突破口，最后利用具體函數(shù)的一些性質(zhì)探索出抽象函數(shù)的解題思路。三、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)策略例3定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足，且對任意的、都有（1）求證：為奇函數(shù)（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：令,代入 得: 令代入上式得：，又 即 對任意成立，是奇函數(shù)(2), 又在R上單調(diào)且， 故是上的增函數(shù)，又由（1）知為奇函數(shù)恒成立，只需評析：函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）反應(yīng)出來的，抽象函數(shù)也是如此只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能峰回路轉(zhuǎn)，化難為易，常用的解題考法有：利用奇偶性整體思考；利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化；利用周期性回歸已知，利用對稱性數(shù)形結(jié)合；借助特殊點(diǎn)，列方程（組）等四、賦值換元策略 例4是否存在函數(shù)同時滿足下列三個條件：（1）；（2）；（3）？若存在，求的表達(dá)式；若不存在，請說明理由。分析：條件(1)中、的任意性，隱含著、既可“換元”，又可“賦值”，結(jié)合條件(2)和(3)，可望構(gòu)造出函數(shù)方程組，從而求得函數(shù)表達(dá)式。令， 得 令， 得 令， 得 將+-得，故存在符合題意。評析：對于用常規(guī)解法難以解決的數(shù)學(xué)問題，若利用一些特殊的數(shù)學(xué)思想方法求解，有時會收到事半功倍的效果。方程觀點(diǎn)是處理數(shù)學(xué)問題的一個基本觀點(diǎn)，挖掘隱含條件，合理賦值，構(gòu)造方程（組），化函數(shù)問題為方程問題，可使這類抽象函數(shù)問題迅速獲解。如(1)在求函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時，一般用“代換”的方法，將x 換成-x或?qū) 換成等； (2)在求函數(shù)值時，可用特殊值（如0或1或一1)代人”； (3)研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或由具體模型函數(shù)對綜合題的解答提供思路和考法，或反證、逆推諸法共用五、分類討論策略 例5設(shè)f（x）是定義在（-，+）上的增函數(shù)，問是否存在實數(shù)k，使不等式f（k+sin2x）f（k-4）（sinx+cosx）對任意xR恒成立？并說明理由。 分析：令sinx+cosx =t，則sin2x = t2-1 ，原不等式對一切xR恒成立，等價于不等式（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）0對任意t恒成立，下列分三種情況討論： （1）當(dāng)0時，（t）0，對t恒成立，由=-4（k-1）=（k-2）（k-10）0得2k10；（2）當(dāng)=0時，k=2或k=10，此時拋物線t2 -（k-4）t+（k-1）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t= -1或t=3，（t）0對任意t恒成立；（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）0 （3）當(dāng)0時，（t）0對任意t恒成立的充要條件是： 綜上所述得k的取值范圍是. 評析：對于參數(shù)的抽象函數(shù)問題，通過挖掘隱含條件，尋求分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類討論，分而治之是解題的常用方法.六、整體求解策略例6、已知f(x)，g(x)為奇函數(shù),F(x)=af(x)+bg(x)+3（a，b為常數(shù)）若F(4)=4,則F(4)=_ 。解:設(shè)(x)=af(x)+bg(x),則(x)=F(x)3，由題設(shè)可知(x)為奇函數(shù)，(4)=(4)即F(4)3=F(4)3，故F(4)=10評析：運(yùn)用整體思想求解，即先化整體為局部，再由各局部的解決使問題獲解。七、正難則反策略例7已知f(x)在實集上是增函數(shù)，a，b都是實數(shù)，若f(a)+f(b)f(a)+f(b),求證：a+b0。分析：本題若用直接證法顯然無從下手，但考慮用反證法則問題可以很快解決。證明：假設(shè)a+b0，則ab,ba,因為f(x)是上的增函數(shù)，故f(a)f(b),f(b)f(a)，兩式相加：f(a)+f(b)f(a)+f(b),這與條件f(a)+f(b)f(a)+f(b)矛盾，故假設(shè)不成立，于是a+b0。八、數(shù)形轉(zhuǎn)化策略例8已知f(x)是上的奇函數(shù)，在區(qū)間（，）上是增函數(shù)，又f(3)，那么xf(x)0的解集是（ ）、x|3x0或x3 、x|x或x3 、x|x或x3 、x|3x0或x3解：根據(jù)題設(shè)條件可畫出函數(shù)y=f(x)的示意草圖，如上圖f(3)=f(3)=0, 而xf(x)0 x與f(x)異號，由圖象知3x0或0x3， 從而正確的答案為()評析：對于抽象函數(shù)，若能依據(jù)條件所給出