2020屆蕪湖市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2020屆安徽省蕪湖市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】先解不等式得集合B,再根據(jù)并集定義求結(jié)果.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式以及并集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2已知，其中i是虛數(shù)單位，則（ ）ABC2D3【答案】B【解析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3某學(xué)校組織學(xué)生參加憲法日答題活動(dòng)，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組區(qū)間是：，該校參與答題活動(dòng)的學(xué)生共1000人，則答題分?jǐn)?shù)不低于80分的人數(shù)為（ ）A15B30C150D300【答案】D【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求不低于80分的人數(shù)所占頻率，再根據(jù)頻率、頻數(shù)以及總數(shù)關(guān)系求結(jié)果.【詳解】因?yàn)椴坏陀?0分的人數(shù)所占頻率為，所以不低于80分的人數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4雙曲線的左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（ ）A2BCD3【答案】C【解析】先求左頂點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為，漸近線方程為所以雙曲線的左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，若，則（ ）A1B2C4D【答案】B【解析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比的方程組，解方程組得首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋怨?，因此故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】D【解析】先判斷三個(gè)數(shù)的范圍，再比較大小.【詳解】，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.7“”是“直線與直線垂直”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先求出兩直線垂直充要條件，再根據(jù)充要關(guān)系定義進(jìn)行判斷選擇.【詳解】若直線與直線垂直，則因此“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)兩直線垂直求參數(shù)以及充要關(guān)系判斷，考查基本分析求解判斷能力，屬基礎(chǔ)題.8在中，則為（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)向量三角形法則化簡(jiǎn)即得結(jié)果.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用基底表示向量，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為正三角形，則該幾何體的體積為（ ）A2B6CD【答案】C【解析】先還原幾何體，再根據(jù)錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】幾何體為一個(gè)四棱錐O-ABCD,如圖，高為，底面為直角梯形，面積為，所以體積為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及錐體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10已知函數(shù)，若是的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】先求導(dǎo)數(shù)，再利用二次求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)以及對(duì)應(yīng)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，即可判斷選擇.【詳解】因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.11如果一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而且每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其著作幾何原本的卷13中系統(tǒng)地研究了正多面體的作圖，并證明了每個(gè)正多面體都有外接球.若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長(zhǎng)之比為（ ）ABCD【答案】B【解析】分別求出正四面體、正方體、正八面體的棱長(zhǎng)與外接球半徑關(guān)系，再求比值得結(jié)果.【詳解】設(shè)正四面體、正方體、正八面體的棱長(zhǎng)以及外接球半徑分別為則,即故選：B【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12已知函數(shù),則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A有個(gè)零點(diǎn)B最小值為C在區(qū)間單調(diào)遞減D的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】A【解析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性可判斷D選項(xiàng)的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，結(jié)合奇偶性可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，結(jié)合奇偶性可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，該函數(shù)為偶函數(shù)，D選項(xiàng)正確；對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，或，令，得（舍）或，則有；當(dāng)時(shí)，令，可得或（舍），則有.由于函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，或，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)是上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最小值為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，外層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性、最值以及奇偶性相關(guān)命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵就是將問(wèn)題化為二次型的余弦函數(shù)來(lái)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、填空題13若x，y滿足約束條件，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的直線，結(jié)合圖象確定最優(yōu)解，代入得結(jié)果.【詳解】作可行域，其中,則直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)取最小值故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi) 【答案】y=x-1【解析】由題意可得： ，則 ，函數(shù)在 處的函數(shù)值： ，據(jù)此可得，切線方程過(guò)點(diǎn) ，切線的斜率為 ，切線方程為： .點(diǎn)睛：在求切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷已知點(diǎn)Q(a，b)是否為切點(diǎn)，若已知點(diǎn)Q(a，b)不是切點(diǎn)，則應(yīng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線斜率，進(jìn)而用切點(diǎn)坐標(biāo)表示出切線方程15已知數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，其中，則的前10項(xiàng)和_.【答案】【解析】先根據(jù)等差中項(xiàng)列式求，再代入求，即得公差，最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式得結(jié)果.【詳解】由題意得或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)（舍），故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且滿足，則該橢圓的離心率是_.【答案】【解析】先根據(jù)橢圓定義求得,再利用余弦定理列方程解得離心率.【詳解】因?yàn)?，所以因此故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定義以及離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題17在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C的大?。唬?）若，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根據(jù)正弦定理邊為角，再根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得，解得結(jié)果；（2）根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)面積公式求結(jié)果.【詳解】（1）由得：，由正弦定理可得：，又，故：，又，.（2）由余弦定理得：，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18為了減輕家庭困難的高中學(xué)生的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)，讓更多的孩子接受良好的教育，國(guó)家施行高中生國(guó)家助學(xué)金政策，普通高中國(guó)家助學(xué)金平均資助標(biāo)準(zhǔn)為每生每年1500元，具體標(biāo)準(zhǔn)由各地結(jié)合實(shí)際在1000元至3000元范圍內(nèi)確定，可以分為兩或三檔.各學(xué)校積極響應(yīng)政府號(hào)召，通過(guò)各種形式宣傳國(guó)家助學(xué)金政策.為了解某高中學(xué)校對(duì)國(guó)家助學(xué)金政策的宣傳情況，擬采用隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行采訪調(diào)查.（1）若該高中學(xué)校有2000名在校學(xué)生，編號(hào)分別為0001，0002，0003，2000，請(qǐng)用系統(tǒng)抽樣的方法，設(shè)計(jì)一個(gè)從這2000名學(xué)生中抽取50名學(xué)生的方案.（寫(xiě)出必要的步驟）（2）該校根據(jù)助學(xué)金政策將助學(xué)金分為3檔，1檔每年3000元，2檔每年2000元，3檔每年1000元，某班級(jí)共評(píng)定出3個(gè)1檔，2個(gè)2檔，1個(gè)3檔，若從該班獲得助學(xué)金的學(xué)生中選出2名寫(xiě)感想，求這2名同學(xué)不在同一檔的概率.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）第一步編號(hào)分組，第二步抽樣；（2）先用枚舉法確定從6名學(xué)生選2名的總事件數(shù)，再?gòu)闹写_定2名同學(xué)不在同一檔的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【詳解】（1）第一步：分組.將2000名學(xué)生分成50組，每組40人，編號(hào)是00010040的為第1組，編號(hào)為00410080的為第2組，編號(hào)為19612000為第50組；第二步：抽樣.在第1組中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法（抓鬮）抽取一個(gè)編號(hào)為m的學(xué)生，則在第k組抽取編號(hào)為的學(xué)生.每組抽取一人，共計(jì)抽取50名學(xué)生.（2）記該班3個(gè)1檔的學(xué)生為，2個(gè)2檔的學(xué)生為，1個(gè)3檔的學(xué)生為，從該班獲得助學(xué)金的同學(xué)中選擇2名同學(xué)不在同一檔為事件A.基本事件：，共計(jì)15個(gè).事件A包含的基本事件共有11個(gè)，則【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19如圖，在正方體中，點(diǎn)E是中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；（2）先根據(jù)正方體性質(zhì)得平面，進(jìn)而得到直線與平面所成的角為，再解三角形得結(jié)果【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，為的中位線，又平面，平面，平面；（2）連接，平面平面,平面,同理可證,進(jìn)而可得平面，由（1）得：，平面， 直線與平面所成的角為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、線面垂直判定定理以及求線面角，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.20已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l與拋物C交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)P），且，試判斷直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)拋物線定義以及點(diǎn)在拋物線上列方程組解得，即得結(jié)果；（2）先根據(jù)坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，再設(shè)直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解得，即可判斷定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題可得：，解得，拋物線的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為， 聯(lián)立，消x得：，同理，又，直線l的方程為：，過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）答案不唯一，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化情況，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化情況確定極值；（2）先放縮轉(zhuǎn)化證，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定其最小值，最后根據(jù)基本不等式證得結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，在R單調(diào)遞減，則無(wú)極值.當(dāng)時(shí)，令得，得，得，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值，綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值.當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值；（2）當(dāng)時(shí)，令，轉(zhuǎn)化證明，所以在為增函數(shù)，因?yàn)樗裕沟靡虼撕瘮?shù)在上單減函數(shù)，在上單增函數(shù)，所以，因此.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)極值以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證與求解能力，屬較難題.22在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程;（2）若直線、的極坐標(biāo)方程分別為，設(shè)直線、與曲線的交點(diǎn)分別為、（除極點(diǎn)外），求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可得出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為、，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別代入曲線的極坐標(biāo)方程，求出和的值，由此可得出的面積.【詳解】（1）由參數(shù)方程，得，即，化為極坐標(biāo)方程得，即.（2）設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為、，則，且，所以，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程解決三角形的面積問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.23已知函數(shù)的最大值為.（1）求不等式的解集；（2）若、均為正數(shù)，且滿足，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）分、三種情況解不等式