2014年高等數(shù)學(xué)期末考試復(fù)習(xí)題及答案.doc

高等數(shù)學(xué)一、填空題1設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。解：的定義域?yàn)?，且有即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對(duì)稱。2若，則.解： 。3 極限。解：注意：（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量），其中=1是第一個(gè)重要極限。4.已知，則_, _。由所給極限存在知, , 得, 又由, 知5.已知時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則常數(shù)= 解. 6.設(shè)，其中可微，則= 。解 7.設(shè)，其中由確定的隱函數(shù)，則 。解 ，時(shí)，8.設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 。解:9.函數(shù)的可能極值點(diǎn)為 和 。 解 ，不是，不是 不是 負(fù)定，極大值 （，）10.設(shè)則. 解：因?yàn)椋?1. .解：原式.12. .解：13若，則。答案： 14.設(shè)： ,則由估值不等式得 解，又 ，由， 15.設(shè)由圍成（），則在直角坐標(biāo)系下的兩種積分次序?yàn)開和_.解D：（X型）=D1+D2， ， D：（Y型） 16.設(shè)為，則的極坐標(biāo)形式的二次積分為_.解： D：，17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)的最大取值范圍是 .解：由級(jí)數(shù)的斂散性知，僅當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其他情形均發(fā)散.18. .解：因?yàn)?，所以原積分19. 方程的通解為20微分方程的通解為.21.當(dāng)n=_時(shí)，方程 為一階線性微分方程。解 或1.22. 若階矩陣的行列式為是的伴隨矩陣,則_.答案： 23.設(shè)A與B均可逆，則C =也可逆，且. 答案： ; 24.設(shè)，且，則X = .答案： 25矩陣的秩為解答：將矩陣化成階梯形，可知填寫：2。26. 向量,其內(nèi)積為_.答案： 27. n階方陣A的列向量組線性無關(guān)的充要條件是 .答案：r=n,或|A|0; 28. 給定向量組，若線性相關(guān)，則a，b滿足關(guān)系式 .答案：a-2b=0 29. 已知向量組(I)與由向量組(II)可相互線性表示，則r(I)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是 .答案：相等; 30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T與 =(1,3)T線性表示為 .答案：; 31. 方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無窮組解的 條件.答案：必要不充分; 32. 設(shè)A為mn矩陣,非齊次線性方程組b有唯一解的充要條件是r(A) r(A|b )= .答案： ; 33.已知元線性方程組有解，且，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為解答：34.設(shè)是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的 都是A的屬于的特征向量.答案：非零解;35.若3階矩陣A的特征值為1，2，-3，則的特征值為 .答案： ; 36.設(shè)A是n階方陣，|A|0,為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值,則必有特征值. 答案：.37.a,b分別為實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量,則a與b 的內(nèi)積（a,b）= . 答案： 0 38.二次型的秩為 .答案：4. 39. 矩陣為正定矩陣,則的取值范圍是_.答案：40. 二次型是正定的,則的取值范圍是_.答案： 41. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為AB+BC+AC .42. 事件A、B相互獨(dú)立，且知?jiǎng)t. 解：A、B相互獨(dú)立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.643.若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為p，則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為.解：P(A+B)=1P44. 在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，如果每次射擊命中率為0.6，那么擊中目標(biāo)k次的概率為().解：設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，其分布律為：45. 設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且則= .解： X服從泊松分布，其分布律為PX=k=（k=0, 1, 2，0） 由已知得：，求得=2 PX=3=46. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為，則= .解：由性質(zhì) 即 解得：a=247. 若二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為YX1211/163/162b且X，Y相互獨(dú)立，則常數(shù) = ,b = . 解： X，Y相互獨(dú)立 P(X=1，Y=1)=P(X=1) P(Y=1) 即： a= 又 b=48. 設(shè)X的分布密度為，則的分布密度為 .解： PYy=P(X3y)=P(X)=Fx() Y=X3的分布密度為(y)= ，y049. 二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為YX1210.220.3則與應(yīng)滿足的條件是，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，.解 =1 =1 即有=0.5當(dāng)X，Y相互獨(dú)立 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) =(+0.2)(+) =0.250. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且令Z = -Y + 2X +3，則= .解 X與Y相互獨(dú)立， D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+42=9。51. 已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.令Y2X3，則= .解D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)=12。二、單項(xiàng)選擇題1設(shè) ，則=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 將代入，得=正確答案：D2 下列函數(shù)中，（ ）不是基本初等函數(shù)A B C D 解 因?yàn)槭怯?，?fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù)正確答案：B 3. 下列各對(duì)函數(shù)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等.A. 與 B. 與C. 與 D. 與解： A 4. 設(shè)在處間斷，則有（ ）(A) 在處一定沒有意義；(B) ; (即)；(C) 不存在，或；(D) 若在處有定義，則時(shí)，不是無窮小答案：D5函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = () A-2 B-1 C1 D2 答案： B6.若，為無窮間斷點(diǎn)，為可去間斷點(diǎn)，則（ ）.（A）1 （B）0 （C）e （D）e-1解：由于為無窮間斷點(diǎn), 所以, 故. 若, 則也是無窮間斷點(diǎn). 由為可去間斷點(diǎn)得.故選(C).7函數(shù)的定義域?yàn)椋?）A BC D解：z的定義域?yàn)椋?選D8二重極限（ ）（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于 （D）不存在 D）解：與k相關(guān)，因此該極限不存在9.利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程（ ）(A)(B) (C) (D)解z是x，y的函數(shù)，從，可得，故z是u，v的函數(shù)，又，故z是x,y的復(fù)合函數(shù)，故，從而左邊=因此方程變?yōu)椋?選A10若，在內(nèi)則在內(nèi)（ ）.(A) (B) (C) (D) 解：選(C).11.設(shè)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn)處（ ）.（A）不可導(dǎo) （B）可導(dǎo)，且 （C）取得極大值 （D）取得極小值解：因?yàn)? 則在的鄰域內(nèi)成立, 所以為的極小值.故選(D).12.設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，有（ ）.（A） （B）（C） （D）解：考慮輔助函數(shù)13.( ).（A）（B）（C）（D）解：由積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，故選（A）.14.設(shè)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（ ）.（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2解：因?yàn)椋蕬?yīng)選（A）15.設(shè)上二階可導(dǎo)，且記 ， ，則有（ ）.（A） （B） （C） （D）解：依題意, 函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)減少, 且其圖形是向上凸的曲線. 依據(jù)幾何圖形可得, 故選(B).16.設(shè)冪級(jí)數(shù)在處收斂. 則此級(jí)數(shù)在處( ).（A）絕對(duì)收斂 （B）條件收斂（C）發(fā)散 （D）收斂性不能確定解：選（A）.17.下列命題中,正確的是（ ）.（A）若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)有則有（B）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足發(fā)散（C）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則（D）若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則.解：由有，因此，從而發(fā)散.故選（B）.18.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（ ）.（A）絕對(duì)收斂 （B）條件收斂（C）發(fā)散（D）斂散性不確定解：因?yàn)槭諗?，即冪?jí)數(shù)在處收斂，由Able定理知，冪級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，亦即絕對(duì)收斂.故選（A）.19. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）解：D20. 設(shè)滿足微分方程，若，則函數(shù) 在點(diǎn)（ ）（A）取極大值； （B）取極小值；（C）附近單調(diào)增加； （D）附近單調(diào)減少.解：B21. 函數(shù)在點(diǎn)處的增量滿足 且，則（D）（A） （B） （C） （D）解 令，得 ，故選（D）。22. 若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，且該向量組的秩為r，則必有( ).(A) r=s (B) rs (C) r=s+1 (D) r0， 所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故選（A）35. 離散型隨機(jī)變量X的分布列為P X = k =, k = 1,2,3,4.( )（A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25解：由概率分布性質(zhì)可知，常數(shù)a應(yīng)滿足， a+2a+3a+4a=1，即有a=0.1，故應(yīng)選（B）。36. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則（）（A）（B）（C）（D）解： ，故應(yīng)選（C）。37. 設(shè)隨機(jī)變量X服從，的值（）（A）隨增大而減小； （B）隨增大而增大；（C）隨增大而不變； （D）隨減少而增大.解： XN(, 4) PX2+=P，而值不隨的變化而變化， PX2+值隨增大而不變，故應(yīng)選（C）。38 .設(shè)隨機(jī)變量，則服從( )（A）（B）（C）（D）解 選（D）， E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 YN(a+b，a2)。39. 對(duì)目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率相同，如果擊中次數(shù)的方差為0.72，則每次射擊的命中率等于（）（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解 選（D）；由題意知：XB(3, p)，而D(X)=3 p (1p)=0.72 p=0.4。40. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，則=( ).（A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上結(jié)論均不正確解 選（B）；E(X)=，而被積函數(shù)為對(duì)稱區(qū)間上的奇函數(shù)， E(X)=0。三、解答題1.設(shè) ，已知在處連續(xù)可導(dǎo)，試確立并求解 ，在處連續(xù)，即。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故。2.設(shè), 其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求.解: ,.3設(shè)討論f(x,y)在（0，0）（1）偏導(dǎo)數(shù)是否存在。 （2）.是否可微。解：（1）同理可得，偏導(dǎo)數(shù)存在。（2）若函數(shù)f在原點(diǎn)可微，則應(yīng)是較高階的無窮小量，為此，考察極限，由前面所知，此極限不存在，因而函數(shù)f在原點(diǎn)不可微。4.在過點(diǎn)的所有平面中, 求一平面, 使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小.解: 設(shè)平面方程為, 其中均為正, 則它與三坐標(biāo)平面圍成四面體的體積為, 且, 令, 則由, 求得 . 由于問題存在最小值, 因此所求平面方程為, 且.5.解：=6，其中為圓域。解：將區(qū)域分為，其中。于是7設(shè)在上連續(xù)，求證：。證明 由重積分中值定理，使得，當(dāng)時(shí)，由f的連續(xù)性，知，從而有：8.求冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù)：解：，所以，.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，由調(diào)和級(jí)數(shù)知發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz判別法知此級(jí)數(shù)是收斂的. 所以收斂區(qū)間為.設(shè)，則，所以，.9求解 解 原方程可化為，兩邊積分得，即。由得，故即為所求。10求解.解 原式可化為，令，得，即, 兩邊積分得 ，即，由得，故所求特解為。11求解滿足解 特征方程為，故通解為，由得，故為所求特解。12求解滿足解: 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，設(shè)特解為代入原方程得，故原方程通解為，由得，。13設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解為，試確定，并求該方程的通解.解 將，代入原方程得，故，方程為，故通解為。14計(jì)算下列行列式，解：15計(jì)算下列行列式解：16證明： 證：17設(shè)AX+E=A2+X，且A=，求X.解：由AX+E=A2+X，得(AE)X=A2E，而AE可逆，故X=A+E=.18已知矩陣，求常數(shù)a，b 解 因?yàn)?所以 ，得b = 2 19 將向量表示成的線性組合：（1）解：設(shè)，按分量展開得到 求解得到，即20問，取何值時(shí)，齊次方程組 有非零解？解：齊次方程組有非零解的必要條件是系數(shù)行列式等于零，故即或齊次方程組有非零解。21設(shè)線性方程組 試問c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。解 可見，當(dāng)c = 0時(shí)，方程組有解。且 原方程組的一般解為 （x3是自由未知量） 22.求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：（1）解：對(duì)應(yīng)的矩陣為，特征值為正交矩陣為，標(biāo)準(zhǔn)型為23某工人看管甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)器，在1小時(shí)內(nèi)，這3臺(tái)機(jī)器不需照管的概率分別為0.8，0.9，0.6，設(shè)這三臺(tái)機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的，求在1小時(shí)內(nèi)(1)有機(jī)床需要工人照管的概率；(2) 機(jī)床因無人照管而停工的概率.解：(1) 設(shè)Ai表示“甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床無需照管”i=1, 2, 3，則有機(jī)床需要工人照管的事件為，因而=0.568(2) 以B表示“機(jī)床因無人照看而停工” =0.20.10.6+0.20.90.4+0.80.10.4+0.20.10.4 =0.12424設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為求(1) 常數(shù)A； (2) X的分布函數(shù)； .解：(1) 由性質(zhì) 即： A=(2) 由(1)知f(x)= F(x)= (x+)25設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布.求(1)（X，Y）的聯(lián)合分布密度；(2)X與Y的邊緣分布密度，并問它們是否相互獨(dú)立？解：(1)區(qū)域0x1，y2x的面積A由圖如示： 則：依題意有： (2) 又 X, Y不相互獨(dú)立.26設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 求隨機(jī)變量ZXY的概率密度函數(shù).解：設(shè)Z的密度函數(shù)為fZ(z)，則由卷積公式得a) 當(dāng)z0時(shí)，f(t)=0，f(z)=0b) 當(dāng)0z1時(shí)，z-