空間向量知識點歸納(期末復(fù)習(xí)).doc

空間向量期末復(fù)習(xí)知識要點:1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。 ;運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/存在實數(shù)，使。4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數(shù)使。5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。6. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運算律：。（交換律）。（分配律）。7.空間向量的坐標(biāo)運算： (1).向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)，則(1) ； (2) ；(3) (R)； (4) ；(2).設(shè)A，B，則= .(3).設(shè)，則=； .(4) .夾角公式 設(shè)，則.(5)異面直線所成角=.(6).直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.(7). 二面角的求法(1)如圖，AB，CD是二面角 l 的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角 l 的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n2或n1，n2練習(xí)題：1已知a(3,2,5)，b(1，x，1)且ab2，則x的值是()A3 B4 C5 D62已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，則()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y3已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)4若a(2，3,5)，b(3,1，4)，則|a2b|_.5如圖所示，已知正四面體ABCD中，AEAB，CFCD，則直線DE和BF所成角的余弦值為_4.解析a2b(8，5,13)，|a2b|.5.解析因四面體ABCD是正四面體，頂點A在底面BCD內(nèi)的射影為BCD的垂心，所以有BCDA，ABCD.設(shè)正四面體的棱長為4，則()()0041cos 12014cos 1204，BFDE，所以異面直線DE與BF的夾角的余弦值為：cos .6.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解：(1)P是C1D1的中點，aacacb.(2)N是BC的中點，abababc.(3)M是AA1的中點，aabc，又ca，abc.7.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(1)求證：DE平面ABC；(2)求證：B1F平面AEF.證明：以A為原點，AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1)(2,4,0)，平面ABC的法向量為(0,0,4)，0，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF，(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30的角求證：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面 PAD.證明：以C為坐標(biāo)原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30，PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)設(shè)n(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，由即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如圖，取AP的中點E，連接BE，則E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，.BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.9. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(1)求直線AD和直線B1C所成角的大?。?2)求證：平面EB1D平面B1CD.解：不妨設(shè)正方體的棱長為2個單位長度，以DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.根據(jù)已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)(1)(2,0,0)，(2,0,2)，cos，.直線AD和直線B1C所成角為.(2)證明：取B1D的中點F，得F(1,1,1)，連接EF.E為AB的中點，E(2,1,0)，(1,0,1)，(0,2,0)，0，0，EFDC，EFCB1.DCCB1C，EF平面B1CD.又EF平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.10 如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求證：ABDE；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；(3)線段EA上是否存在點F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，請說明理由解：(1)證明：取AB的中點O，連接EO，DO.因為EBEA，所以EOAB.因為四邊形ABCD為直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四邊形OBCD為正方形，所以ABOD.因為EODOO，所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因為平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因為三角形EAB為等腰直角三角形，所以O(shè)AOBODOE，設(shè)OB1，所以O(shè)(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一個法向量為(0,1,0)設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為，所以sin |cos，|，即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.11.(12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中點(1)求證：平面PDC平面PAD；(2)求點B到平面PCD的距離21.(1)證明如圖，以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)(4,0，2)，(0，2,0)，(0,0，2)設(shè)平面PDC的一個法向量為n(x，y,1)，則所以平面PCD的一個法向量為.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD.平面PAD的法向量為(0,2,0)n0，n.平面PDC平面PAD.(2)解由(1)知平面PCD的一個單位法向量為. ，點B到平面PCD的距離為.12 如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上、下兩個底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點，求證：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的條件下，求二面角FCC1B的余弦值解：以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|，異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為.(2)證明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，F(xiàn)B1BB1，F(xiàn)B1BC.BB1BCB，F(xiàn)B1平面BCC1B1.(3)由(2)知，為平面BCC1B1的一個法向量設(shè)n(x1，y1，z1)為平面FCC1的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，得令y11，則n(2,1,1)，cos，n，二面角FCC1B為銳角，二面角FCC1B的余弦值為.13 如圖， 四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(1)證明：B1C1CE; (2)求二面角B1CEC1的正弦值(3)設(shè)點M在線段C1E上， 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長解：法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)證明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2) (1，2，1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)為平面CEC1的一個法向量于是cosm，從而sin m，.所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)(0,1,0)，(1,1,1)設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，|.于是，解得，所以AM.法二：(1)證明：因為側(cè)棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.經(jīng)計算可得B1E，B1C1，EC1，從而B1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E.又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)過B1作B1GCE于點G，連接C1G.由(1)知，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1為二面角B1CEC1的平面角在CC1E中，由