全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(00002).doc

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教案專業(yè)委員會(huì)2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷題號(hào)一二三總分156101112 1314得分評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1（甲）如果實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡(jiǎn)為（）ABCD1（乙）如果，那么的值為（）ABC2 D2（甲）如果正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）ABCD2（乙）在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為（）A10 B9 C7 D53（甲）如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（）A1 BCD3（乙）如圖，四邊形中，、是對(duì)角線，是等邊三角形，則的長(zhǎng)為（）AB4 CD4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對(duì)小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中為正整數(shù)，則的可能值的個(gè)數(shù)是（）A1 B2 C3 D44（乙）如果關(guān)于的方程是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（）A5 B6 C7 D85（甲）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（）ABCD5（乙）黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）A2012 B101 C100 D99二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6（甲）按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否”為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么的取值范圍是.6（乙）. 如果，是正數(shù)，且滿足，那么的值為7（甲）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，、分別是、的中點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，則的面積是.7（乙）如圖，的半徑為20，是上一點(diǎn)。以為對(duì)角線作矩形，且.延長(zhǎng)，與分別交于兩點(diǎn)，則的值等于8（甲）如果關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，那么的值為8（乙）設(shè)為整數(shù)，且. 若能被5整除，則所有的個(gè)數(shù)為.9（甲）2位八年級(jí)同學(xué)和位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則的值為.9（乙）如果正數(shù)，可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱是三角形數(shù)若和均為三角形數(shù)，且，則的取值范圍是.10（甲）如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，. 分別延長(zhǎng)，交點(diǎn)為. 作，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn). 若，則的長(zhǎng)為.10（乙）已知是偶數(shù)，且若有唯一的正整數(shù)對(duì)使得成立，則這樣的的個(gè)數(shù)為三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11（甲）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍11（乙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于點(diǎn)，且. 已知經(jīng)過，三點(diǎn)的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解讀式.12（甲）如圖，的直徑為，過點(diǎn)，且與內(nèi)切于點(diǎn)為上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：12（乙）如圖，的內(nèi)接四邊形中，是它的對(duì)角線，的中點(diǎn)是的內(nèi)心. 求證：（1）是的外接圓的切線；（2）.13（甲）已知整數(shù)，滿足：是素?cái)?shù)，且是完全平方數(shù). 當(dāng)時(shí)，求的最小值.13（乙）凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說明理由14（甲）求所有正整數(shù)，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14（乙）將任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)（可以相同）使得，求的最小值中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教案專業(yè)委員會(huì)2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷參考答案一、選擇題1（甲）C解：由實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置可知，且，所以1（乙）B解：2（甲）D解：由題設(shè)知，所以.解方程組得所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.2（乙）B解：由題設(shè)，得.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有解得以上共計(jì)9對(duì).3（甲）D解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，于是.3（乙）B解：如圖，以為邊作等邊，連接. 由于，所以，.又因?yàn)?，所?在中，于是，所以. 4（甲）D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為元、小玲所有的錢數(shù)為元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去得，.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的值分別為1，3，5，15，所以的值只能為4，5，6，11從而的值分別為8，3，2，1；的值分別為14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，所以，即. 由于都是正整數(shù)，所以，；或，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意5（甲）D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大5（乙）C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變?cè)O(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得，二、填空題6（甲）解：前四次操作的結(jié)果分別為，由已知得解得.容易驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，故的取值范圍是6（乙）7解：由已知可得7（甲）8解：連接，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知，所以，由此得，所以.在中，因?yàn)?，所以，于?由題設(shè)可知，所以，.于是，. 又，所以. 因?yàn)?，所?7（乙）解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則因?yàn)?，所以，所?8（甲）解：根據(jù)題意，關(guān)于的方程有，由此得又，所以，從而. 此時(shí)方程為，解得. 故8（乙）1610解：因?yàn)?.當(dāng)被5除余數(shù)是1或4時(shí)，或能被5整除，則能被5整除；當(dāng)被5除余數(shù)是2或3時(shí)，能被5整除，則能被5整除；當(dāng)被5除余數(shù)是0時(shí)，不能被5整除.所以符合題設(shè)要求的所有的個(gè)數(shù)為9（甲）8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得.又，所以. 于是，由此得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題設(shè).故9（乙）解：由題設(shè)得所以，即.整理得，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得.又因?yàn)?，所?10（甲）解：如圖，連接，. 由是的直徑知.依題設(shè)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，所以，所以，因此.因?yàn)槭堑陌霃?，所以垂直平分，于? 因此.由，知因?yàn)椋?，?10（乙）. 12解：由已知有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)設(shè)，則（）若，可得，與是正整數(shù)矛盾（）若至少有兩個(gè)不同的素因數(shù)，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對(duì)滿足；若恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)不小于3，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對(duì)滿足（）若是素?cái)?shù)，或恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)為2，則有唯一的正整數(shù)對(duì)滿足因?yàn)橛形ㄒ徽麛?shù)對(duì)，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12個(gè)三、解答題11（甲）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以（5分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，且，解得（10分）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因?yàn)?，所以，解得，或因此?0分）11（乙）解：因?yàn)?，所以由勾股定理，?易知，因此. 于是，.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得. 所以，解得. 因此為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. （10分）因此，分別為，的兩條中線，點(diǎn)為的重心，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)經(jīng)過，三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解讀式為. 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解得. 故經(jīng)過，三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解讀式為. （20分）12（甲）證明：連接，因?yàn)闉榈闹睆剑杂忠驗(yàn)?，所以是等腰三角形?分）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則又因?yàn)椋裕?5分）又因?yàn)榉謩e是等腰，等腰的頂角，所以（20分）12（乙）證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知所以同理，.故點(diǎn)是的外心.連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以，即.故是外接圓的切線. （10分）（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn). 由，知.因?yàn)椋?，所?又因?yàn)槭堑膬?nèi)心，所以.故（20分）13（甲）解：設(shè)（是素?cái)?shù)），（是正整數(shù)）. 因?yàn)?，所以，?分）因?yàn)榕c都是正整數(shù)，且(為素?cái)?shù))，所以，.解得，. 于是. （10分）又，即.又因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，解得. 此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.因此，的最小值為2025. （20分）13（乙）解：假設(shè)凸邊形中有個(gè)內(nèi)角等于，則不等于的內(nèi)角有個(gè)（1）若，由，得，正十二邊形的12個(gè)內(nèi)角都等于；（5分）（2）若，且，由，可得，即當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中的11個(gè)內(nèi)角等于，其余個(gè)內(nèi)角都等于，（10分）（3）若，且當(dāng)時(shí)，設(shè)另一個(gè)角等于存在凸邊形，其中的個(gè)內(nèi)角等于，另一個(gè)內(nèi)角由可得；由可得，且 （15分）（4）若，且，由（3）可知當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中個(gè)內(nèi)角等于，另兩個(gè)內(nèi)角都等于綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為12；當(dāng)時(shí)，的最大值為11；當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為（20分）14（甲）解：由于都是正整數(shù)，且，所以，于是（10分）當(dāng)時(shí)，令，則.（15分）當(dāng)時(shí)，其中，令，則綜上，滿足條件的所有正