基本不等式課例反思.docVIP

基本不等式（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)及反思人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修5）中的“基本不等式”。下面把這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)、教后反思記錄下來(lái)，愿與同行研討。“基本不等式” 是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出來(lái)了。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)”、“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究在不等式的證明和求最值過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點(diǎn)。同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。本節(jié)課是第一課時(shí)，設(shè)計(jì)如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，在老師的引導(dǎo)下從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；2進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，自己分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力；3結(jié)合課本的探究圖形，進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想；教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：用基本不等式求最值教學(xué)過(guò)程：第一環(huán)節(jié)：（5分鐘）設(shè)計(jì)問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情境（多媒體展示）華羅庚先生的詩(shī)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”開(kāi)場(chǎng)白：華羅庚先生有數(shù)學(xué)家的睿智、詩(shī)人的浪漫。同學(xué)們請(qǐng)說(shuō)出華先生的這首詩(shī)表達(dá)的思想。生：“數(shù)形結(jié)合百般好”。師：今天我們一同來(lái)體會(huì)如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法研究問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想，盡快進(jìn)入數(shù)學(xué)情景；為本節(jié)課問(wèn)題的探究指明方法，做下鋪墊。給學(xué)生留下疑問(wèn)，“我們要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究什么問(wèn)題呢？如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題呢？”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對(duì)將要出現(xiàn)的探究問(wèn)題充滿期待。（多媒體展示）第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)師：第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年在北京召開(kāi)，這是大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中的圖案大家見(jiàn)過(guò)么？生：見(jiàn)過(guò)。這是趙爽弦圖。在初中曾用它證明過(guò)勾股定理。師：我們還能在趙爽弦圖中探究出什么信息呢？（多媒體展示）問(wèn)1：同學(xué)們?cè)谠瓉?lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖形嗎？問(wèn)2：在此圖中有哪些幾何圖形？問(wèn)3：若我們?cè)O(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為、，你能用、表示四個(gè)直角三角形的面積和嗎？你能用、表示大正方形的面積嗎？問(wèn)4：根據(jù)圖形，比較四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關(guān)系，寫(xiě)出不等式。設(shè)計(jì)意圖：尋求學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生初中已經(jīng)接觸過(guò)的趙爽弦圖作為導(dǎo)入素材，可使學(xué)生有熟悉的感覺(jué)，樂(lè)于探究新的知識(shí)。以、表示直角三角形的兩條直角邊，為下面的學(xué)習(xí)掃清障礙。若以教材的安排，以、分別代替、，學(xué)生不太容易理解。四個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，便于學(xué)生層層深入的研究，使研究方向更明確。第二環(huán)節(jié)：（10分鐘）學(xué)生探究、嘗試解決師生互動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，思考問(wèn)題，寫(xiě)出結(jié)果。教師巡視，了解學(xué)生情況，適當(dāng)時(shí)刻，建議學(xué)生小組內(nèi)部相互交流。學(xué)生在小組內(nèi)部對(duì)比結(jié)果、互相交流、達(dá)成共識(shí)、展示成果。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手、動(dòng)腦能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的能力。培養(yǎng)學(xué)生交流合作的能力。通過(guò)交流培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（不全面）的能力，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的意識(shí)，以及努力探究的精神。師：請(qǐng)一位同學(xué)展示一下研究成果。預(yù)設(shè)：有的學(xué)生可能會(huì)寫(xiě)出，也可能寫(xiě)出。師：四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒(méi)有可能相等？相等時(shí)，圖形產(chǎn)生了怎樣的變化？、有什么關(guān)系？生：有可能相等。四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)會(huì)重合。此時(shí)。師：如此一來(lái)，我們可以得到如下結(jié)論：（多媒體展示并板書(shū)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。以上結(jié)論，我們是在幾何圖形中的面積關(guān)系獲得的。同學(xué)們能否運(yùn)用代數(shù)的方法對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明？師生互動(dòng)：學(xué)生觀察結(jié)論內(nèi)容，積極思考，寫(xiě)出證明過(guò)程。教師巡視，及時(shí)掌握學(xué)生情況，指出學(xué)生在證明過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，適當(dāng)時(shí)刻，選擇學(xué)生板演證明過(guò)程。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，解決問(wèn)題的能力。使學(xué)生體會(huì)不等式證明的常用方法。在學(xué)生感受到幾何的直觀性后，進(jìn)一步感受代數(shù)證明的嚴(yán)謹(jǐn)。預(yù)設(shè)：有的同學(xué)會(huì)以要證明的結(jié)論作為條件使用；有的同學(xué)只證明，而忽視了“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立”的證明；有的同學(xué)會(huì)以為條件，證明“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立”。有的同學(xué)會(huì)使用作差法證明這個(gè)結(jié)論。第三環(huán)節(jié)：（15分鐘）師生交流、解釋規(guī)律師生互動(dòng)：教師對(duì)學(xué)生板演的證明過(guò)程作出評(píng)價(jià)；注意方法的選擇、步驟的規(guī)范；強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件。師：同學(xué)們對(duì)結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”如何理解？生：當(dāng)時(shí)，并且只有時(shí)，等號(hào)成立。師：同學(xué)們理解的很到位！師：如果我們使用兩個(gè)正數(shù)、分別代替、，那么，以上結(jié)論我們可以寫(xiě)成什么形式？師生共同總結(jié)，教師板書(shū)：若，可得，通常記為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。師：對(duì)這個(gè)結(jié)論，我們能否進(jìn)行證明？師生互動(dòng)：學(xué)生觀察結(jié)論內(nèi)容，積極思考，寫(xiě)出證明過(guò)程。教師巡視，及時(shí)掌握學(xué)生情況，指出學(xué)生在證明過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，適當(dāng)時(shí)刻，選擇學(xué)生板演證明過(guò)程。預(yù)設(shè)：有的同學(xué)面對(duì)不知如何使用完全平方公式；有的同學(xué)會(huì)預(yù)習(xí)教材，運(yùn)用分析法解決問(wèn)題，需指明分析法的書(shū)寫(xiě)規(guī)則。師生互動(dòng)：教師對(duì)學(xué)生板演的證明過(guò)程作出評(píng)價(jià)；注意方法的選擇、步驟的規(guī)范；進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件。師：結(jié)論（1）我們是在趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)的，那么，我們能不能找到結(jié)論（2）的幾何解釋呢？同學(xué)們來(lái)看這個(gè)問(wèn)題。（多媒體展示）師生互動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，閱讀問(wèn)題內(nèi)容，積極思考，寫(xiě)出結(jié)果，反思結(jié)果的幾何意義。教師提問(wèn)并板書(shū)：，由圖可得：。設(shè)計(jì)意圖：結(jié)論（1）由形到數(shù)，結(jié)論（2）由數(shù)到形，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。師：什么時(shí)候等號(hào)成立？生：時(shí)，等號(hào)成立。師：有什么幾何解釋呢？生：圓內(nèi)半弦不超過(guò)半徑。師：以上我們通過(guò)代數(shù)證明和幾何解釋兩方面對(duì)結(jié)論（2）進(jìn)行了驗(yàn)證，驗(yàn)證了它的正確性。結(jié)論（2）中的不等式在現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)研究方面有廣泛的運(yùn)用，我們通常稱之為“基本不等式”。這就是我們本節(jié)課的課題。（板書(shū)課題）設(shè)計(jì)意圖：明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。為整個(gè)探究過(guò)程作出最終成果。使學(xué)生感受成功的喜悅。師：對(duì)于一個(gè)公式，我們首先要觀察結(jié)構(gòu)、進(jìn)行記憶。同學(xué)們觀察基本不等式兩側(cè)，你想到了原來(lái)學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)？預(yù)設(shè)：有的同學(xué)會(huì)回答平均數(shù)；有的同學(xué)可能會(huì)回答等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)。師：是我們平時(shí)求平均數(shù)的方法，我們稱之為算數(shù)平均數(shù)；我們稱為幾何平均數(shù)。基本不等式我們可以解釋為幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。這是它的代數(shù)解釋。第四環(huán)節(jié)：（10分鐘）運(yùn)用規(guī)律、解決問(wèn)題師：基本不等式與我們學(xué)習(xí)過(guò)的其它公式有所不同。我們比較熟悉的完全平方公式、平方差公式等都是等式的形式，而基本不等式是以不等式的形式出現(xiàn)的。同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用的時(shí)候可能有些顧慮。其實(shí)，只要滿足基本不等式使用的條件（，），只要符合它的結(jié)構(gòu)特征，我們完全可以進(jìn)行套用。下面我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)考慮在運(yùn)用基本不等式過(guò)程中還需要注意哪些問(wèn)題，（多媒體展示）例1、下列各式錯(cuò)誤的是 （ ）A、 B、C、 D、例2、已知、都是正數(shù)，求證。師生互動(dòng)：學(xué)生自主解決，通過(guò)學(xué)生的交流，得出結(jié)論。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題的訓(xùn)練，提高學(xué)生解絕問(wèn)題能力，加深對(duì)基本不等式的理解，明確公式的使用條件，套用方法及等號(hào)成立的條件反思小結(jié)、觀點(diǎn)提煉（多媒體展示）本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法？本節(jié)課你能感受到哪些數(shù)學(xué)思想？師生互動(dòng)：學(xué)生通過(guò)思考，逐一回答。教師進(jìn)行總結(jié)。設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法、思想進(jìn)行總結(jié)，畫(huà)龍點(diǎn)睛。布置作業(yè)：必做題：優(yōu)化訓(xùn)練第1，2，9題探究：我們已經(jīng)知道了、的大小關(guān)系，那么它們與的大小關(guān)系如何？先猜猜，再試著證證，想想能否也用幾何圖形對(duì)它加以解釋！教學(xué)反思：基本不等式這一節(jié)有幾個(gè)高考考點(diǎn)，但是對(duì)于學(xué)生而言，剛剛接觸，理解的不是很透徹。準(zhǔn)備按照下面的方式來(lái)進(jìn)行：一，第一節(jié)只講基本不等式及其幾何意義。讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)，充分理解不等式中的“一正，二定，三相等”的具體含義和應(yīng)用。并輔以高考題型，是學(xué)生掌握高考動(dòng)向。二，第二節(jié)再講拼湊和分離這兩種與之前所學(xué)函數(shù)知識(shí)有關(guān)的題型。體現(xiàn)出不等式與函數(shù)的關(guān)聯(lián)，說(shuō)明函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的重要性，順便回顧函數(shù)中的拼湊和分離這兩種方法。三，第三節(jié)課再講“1”的代換和圖像法。這兩種方法考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變化以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，又比第二節(jié)的知識(shí)深一點(diǎn)。這樣的話，三節(jié)課知識(shí)層層加深，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的關(guān)聯(lián)，明確各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在高考中的具體應(yīng)用。而初始方法中，一節(jié)課先把所有高考重點(diǎn)全講給學(xué)生，使學(xué)生容易迷惑，不知道本節(jié)課的重點(diǎn)到底是什么，而且學(xué)生不易掌握，畢竟容量大的話，練習(xí)量就會(huì)相應(yīng)減少。而等到第二節(jié)，第三節(jié)再講時(shí)，學(xué)生掌握的不熟練，還得再次復(fù)習(xí)，有點(diǎn)“燙剩飯”的感覺(jué)。所以在新課講解方面，我仔細(xì)研讀教材，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課主要是讓學(xué)生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要學(xué)生理解六字方針：一正二定三等。這是比較抽象的內(nèi)容。尤其是“定”的相關(guān)變化比較靈活，不可能在一節(jié)課解決。因?yàn)槲野堰@部分內(nèi)容放到第二節(jié)課。本節(jié)課主要讓學(xué)生掌握“正”“等”的意義。鞏固練習(xí)中設(shè)計(jì)了選擇題，讓學(xué)生理解六字方針的內(nèi)涵。還從“和定”、“積定”兩方面設(shè)計(jì)了相關(guān)練習(xí)，讓學(xué)生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。教學(xué)中，我應(yīng)用“情景問(wèn)題研究”模式教學(xué)，展示了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，教師是活動(dòng)的組織者、指導(dǎo)者、協(xié)作者和調(diào)控者。學(xué)生是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)的主人。教學(xué)設(shè)計(jì)不是用傳統(tǒng)的公式+例子+練習(xí)模式設(shè)計(jì)，而是把公式的建立當(dāng)做一種情境，設(shè)計(jì)問(wèn)題串為學(xué)習(xí)搭建腳手架，引發(fā)學(xué)生去操作、活動(dòng)、討論、反思。本節(jié)課通過(guò)4個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué)，在教師的引導(dǎo)下，啟動(dòng)觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動(dòng)，從各個(gè)層面認(rèn)識(shí)基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教