2008江蘇高考數(shù)學(xué)試卷.pdf

20082008 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 江蘇卷 江蘇卷 一 填空題 本大題共 1 小題 每小題 5 分 共 70 分 1 cos 6 f xx 的最小正周期為 5 其中0 則 2 一個(gè)骰子連續(xù)投 2 次 點(diǎn)數(shù)和為 4 的概率 3 1 1 i i 表示為abi a bR 則ab 4 A 2 137x xx 則 A Z 的元素的個(gè)數(shù) 5 a b 的夾角為120 1a 3b 則5ab 6 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 設(shè) D 是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于 2 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域 E 是到原點(diǎn)的距離不大于 1 的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域 向 D 中隨機(jī)投一點(diǎn) 則所投的點(diǎn)落入 E 中的 概率是 7 某地區(qū)為了解 70 80 歲老人的日平均睡眠時(shí)間 單位 h 隨即選擇了 50 為老人進(jìn)行調(diào) 查 下表是這 50 為老人日睡眠時(shí)間的頻率分布表 序號(hào) i 分組 睡眠時(shí)間 組中值 Gi 頻數(shù) 人數(shù) 頻率 Fi 1 4 5 4 5 6 0 12 2 5 6 5 5 10 0 20 3 6 7 6 5 20 0 40 4 7 8 7 5 10 0 20 5 8 9 8 5 4 0 08 在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中 一部分計(jì)算見(jiàn)算法流程圖 則輸出的 S 的值是 8 設(shè)直線 1 2 yxb 是曲線 ln0yx x 的一條切線 則實(shí)數(shù) b 9 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 設(shè)三角形 ABC 的頂點(diǎn)分別為 A 0 a B b 0 C c 0 點(diǎn) P 0 p 在線段 AO 上的一點(diǎn) 異于端點(diǎn) 設(shè) a b c p 均為非零實(shí)數(shù) 直線 BP CP 分別與邊 AC AB 交于點(diǎn) E F 某同學(xué)已正確求得 OE 的方程 1111 0 xy bcpa 請(qǐng)你完成 直線 OF 的方程 11 0 xy pa 10 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的規(guī)律 數(shù)陣中第 n 行 n 3 從左向右的第 3 個(gè)數(shù)為 11 已知 x y zR 滿足230 xyz 則 2 y xz 的最小值是 12 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 設(shè)橢圓 22 22 xy ab 1 ab 0 的焦距為 2c 以點(diǎn) O 為圓心 a為半徑作圓 M 若過(guò)點(diǎn) P 2 0 a c 所作圓 M 的兩條切線互相垂直 則該橢圓的離心率為 e 13 滿足條件 AB 2 AC 2BC 的三角形 ABC 的面積的最大值是 14 設(shè)函數(shù) 3 31f xaxx x R 若對(duì)于任意 1 1x 都有 fx 0 成立 則 實(shí)數(shù)a 二 解答題 本大題共二 解答題 本大題共 6 小題 共計(jì)小題 共計(jì) 90 分 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文分 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文 字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 15 如圖 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 以 Ox 軸為始邊做兩個(gè)銳角 它們的終邊分別與單位圓相交于 A B 兩點(diǎn) 已知 A B 的 橫坐標(biāo)分別為 2 2 5 105 求 tan 的值 求2 的值 16 如圖 在四面體 ABCD 中 CB CD AD BD 點(diǎn) E F 分別是 AB BD 的中點(diǎn) 求證 直線 EF 平面 ACD 平面 EFC 平面 BCD 17 如圖 某地有三家工廠 分別位于矩形 ABCD 的兩個(gè)頂 點(diǎn) A B 及 CD 的中點(diǎn) P 處 已知 AB 20km CB 10km 為了處理三家工廠的污水 現(xiàn)要在該矩形 ABCD 的區(qū)域上 含 邊界 且與 A B 等距離的一點(diǎn) O 處建造一個(gè)污水處理廠 并鋪設(shè)三條排污管道AO BO OP 設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm 按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式 設(shè) BAO rad 將y表示成 的函數(shù)關(guān)系式 設(shè) OPx km 將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式 請(qǐng)你選用 中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系 確定污水處理廠的位置 使三條排污管道總長(zhǎng)度 最短 18 設(shè)平面直角坐標(biāo)系xoy中 設(shè)二次函數(shù) 2 2f xxxb xR 的圖象與兩坐標(biāo)軸 有三個(gè)交點(diǎn) 經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為 C 求實(shí)數(shù) b 的取值范圍 求圓 C 的方程 問(wèn)圓 C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn) 其坐標(biāo)與 b 無(wú)關(guān) 請(qǐng)證明你的結(jié)論 19 設(shè) 12 n a aa 是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列 4n 且公差0d 若將此數(shù) 列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列 按原來(lái)的順序 是等比數(shù)列 當(dāng) n 4 時(shí) 求 1 a d 的數(shù)值 求n的所有可能值 求證 對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù) n n 4 存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列 12 n b bb 其中任意三項(xiàng) 按原來(lái)順序 都不能組成等比數(shù)列 20 若 1 1 3x pfx 2 2 2 3 x p fx 12 xR p p 為常數(shù) 函數(shù) f x 定義為 對(duì)每個(gè) 給定的實(shí)數(shù) x 112 212 fxfxfx f x fxfxfx 求 1 f xfx 對(duì)所有實(shí)數(shù) x 成立的充要條件 用 12 p p表示 設(shè) a b為兩實(shí)數(shù) 滿足ab 且 12 p p a b 若 f afb 求證 fx在 區(qū)間 a b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為 2 ba 閉區(qū)間 m n的長(zhǎng)度定義為nm 21 從從 A B C D 四個(gè)中選做四個(gè)中選做 2 個(gè) 每題個(gè) 每題 10 分 共分 共 20 分分 A 選修 選修 4 1 幾何證明選講幾何證明選講 如圖 設(shè) 如圖 設(shè) ABC 的外接圓的切線的外接圓的切線 AE 與與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E BAC 的平分線與的平分線與 BC 交于交于 點(diǎn)點(diǎn) D 求證 求證 2 EDEB EC B C E D A B 選修 選修 4 2 矩陣與變換矩陣與變換 在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOy中 中 設(shè)橢圓設(shè)橢圓 22 41xy 在矩陣在矩陣 2 0 0 1 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線 F 求 求 F 的方程的方程 C 選修 選修 4 4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)參數(shù)方程與極坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOy中 點(diǎn)中 點(diǎn) P xy 是橢圓是橢圓 2 2 1 3 x y 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 求上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 求Sxy 的的 最大值 最大值 D 選修 選修 4 5 不等式證明選講不等式證明選講 設(shè)設(shè) a b c 為正實(shí)數(shù) 求證 為正實(shí)數(shù) 求證 333 111 2 3 abc abc 22 必做題 必做題 記動(dòng)點(diǎn)記動(dòng)點(diǎn) P 是棱長(zhǎng)為是棱長(zhǎng)為 1 的正方體的正方體 1111 ABCD ABC D的對(duì)角線的對(duì)角線 1 BD上一點(diǎn) 記上一點(diǎn) 記 1 1 D P D B 當(dāng) 當(dāng)APC 為鈍角時(shí) 求為鈍角時(shí) 求 的取值范圍 的取值范圍 23 必做題 必做題 請(qǐng)先閱讀 請(qǐng)先閱讀 在等式在等式 2 cos22cos1xx x R 的兩邊求導(dǎo) 得 的兩邊求導(dǎo) 得 2 cos2 2cos1 xx 由求導(dǎo)法則 得由求導(dǎo)法則 得 sin2 24cos sin xxx 化簡(jiǎn)得等式 化簡(jiǎn)得等式 sin22cossinxxx 1 利用上題的想法 或其他方法 結(jié)合等式 利用上題的想法 或其他方法 結(jié)合等式 0122 1 x CCCC nnn nnnn xxx x R 正整數(shù) 正整數(shù)2n 證明 證明 11 2 1 1 C n nkk n k nxkx 2 對(duì)于正整數(shù) 對(duì)于正整數(shù)3n 求證 求證 i 1 1 C0 n kk n k k ii 2 1 1 C0 n kk n k k iii 1 1 121 C 11 n n k n k kn 20082008 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 江蘇卷 江蘇卷 數(shù)學(xué)參考答案數(shù)學(xué)參考答案 一 填空題 本大題共 1 小題 每小題 5 分 共 70 分 1 答案 10 解析 本小題考查三角函數(shù)的周期公式 2 10 5 T 2 答案 1 12 解析 本小題考查古典概型 基本事件共 6 6 個(gè) 點(diǎn)數(shù)和為 4 的有 1 3 2 2 3 1 共 3 個(gè) 故 31 6 612 P 3 答案 1 解析 本小題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 2 11 12 ii i i a 0 b 1 因此1ab 4 答案 0 解析 本小題考查集合的運(yùn)算和解一元二次不等式 由 2 1 37xx 得 2 580 xx 0 集合 A 為 因此 A Z 的元素不存在 5 答案 7 解析 本小題考查向量的線性運(yùn)算 22 22 552510ababaa bb 22 1 25 110 1 3349 2 5ab 7 6 答案 16 解析 本小題考查古典概型 如圖 區(qū)域 D 表示邊長(zhǎng)為 4 的正方形的內(nèi)部 含邊界 區(qū)域 E 表示單位圓及其內(nèi)部 因此 2 1 4 416 P 7 答案 6 42 8 答案 ln2 1 解析 本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 切線的求法 1 y x 令 11 2x 得2x 故切點(diǎn) 2 ln2 代入直線方程 得 所以 b ln2 1 9 答案 11 cb 解析 本小題考查直線方程的求法 畫(huà)草圖 由對(duì)稱(chēng)性可猜想填 11 cb 事實(shí)上 由截距 式可得直線 AB 1 xy ba 直線 CP 1 xy cp 兩式相減得 1111 0 xy bcpa 顯然直線 AB 與 CP 的交點(diǎn) F 滿足此方程 又原點(diǎn) O 也滿足此方程 故為所求直線 OF 的 方程 10 答案 2 6 2 nn 解析 本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式 前 n 1 行共有正整數(shù) 1 2 n 1 個(gè) 即 2 2 nn 個(gè) 因此第 n 行第 3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第 2 2 nn 3 個(gè) 即為 2 6 2 nn 11 答案 3 解析 本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用 由230 xyz 得 3 2 xz y 代入 2 y xz 得 22 9666 3 44 xzxzxzxz xzxz 當(dāng)且僅當(dāng)x 3z 時(shí)取 12 答案 2 2 解析 設(shè)切線 PA PB 互相垂直 又半徑 OA 垂直于 PA 所以 OAP 是等腰直角三角 形 故 2 2 a a c 解得 2 2 c e a 13 答案 2 2 解析 本小題考查三角形面積公式 余弦定理以及函數(shù)思想 設(shè) BC x 則 AC 2x 根據(jù)面積公式得 ABC S 2 1 sin1 cos 2 AB BCBxB 根據(jù)余弦定理得 22222 42 cos 24 ABBCACxx B AB BCx 2 4 4 x x 代入上式得 ABC S 2 2 2 12812 4 1 416 x x x x 由三角形三邊關(guān)系有 22 22 xx xx 解得2 222 22x 故當(dāng)2 2x 時(shí)取得 ABC S 最大值2 2 14 答案 4 解析 本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用 若 x 0 則不論a取何值 fx 0 顯然成 立 當(dāng) x 0 即 1 1x 時(shí) 3 31f xaxx 0 可化為 23 31 a xx 設(shè) 23 31 g x xx 則 4 3 1 2x gx x 所以 g x 在區(qū)間 1 0 2 上單調(diào)遞增 在區(qū) 間 1 1 2 上單調(diào)遞減 因此 max 1 4 2 g xg 從而a 4 當(dāng) x 0 即 1 0 時(shí) 3 31f xaxx 0 可化為a 23 31 xx 4 3 1 2x gx x 0 g x 在區(qū)間 1 0 上單調(diào)遞增 因此 ma 14 n g xg 從而a 4 綜上a 4 二 解答題 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 15 解析 本小題考查三角函數(shù)的定義 兩角和的正切 二倍角的正切公式 解 由已知條件及三角函數(shù)的定義可知 22 5 cos cos 105 因?yàn)?為銳角 所以sin 7 25 sin 105 因此 1 tan7 tan 2 tan tantan 3 1 tantan 2 2tan4 tan2 1 tan3 所以 tantan2 tan21 1 tantan2 為銳角 3 02 2 2 3 4 16 解析 本小題考查空間直線與平面 平面與平面的位置關(guān)系的判定 解 E F 分別是 AB BD 的中點(diǎn) EF 是 ABD 的中位線 EF AD EF 面 ACD AD 面 ACD 直線 EF 面 ACD AD BD EF AD EF BD CB CD F 是 BD 的中點(diǎn) CF BD 又 EF CF F BD 面 EFC BD 面 BCD 面 EFC 面 BCD 17 解析 本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用 解 延長(zhǎng) PO 交 AB 于點(diǎn) Q 由條件知 PQ 垂直平分 AB 若 BAO rad 則 10 coscos AQ OA 故 10 cos OB 又 OP 10 10tan 10 10ta 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP 所求函數(shù)關(guān)系式為 20 10sin 10 cos y 0 4 若 OP x km 則 OQ 10 x 所以 OA OB 2 22 101020200 xxx 所求函數(shù)關(guān)系式為 2 220200 010yxxxx 選擇函數(shù)模型 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y 令 y 0 得 sin 1 2 因?yàn)? 4 所以 6 當(dāng)0 6 時(shí) 0y y是 的減函數(shù) 當(dāng) 6 4 時(shí) 0y y是 的增函 數(shù) 所以當(dāng) 6 時(shí) min 10 10 3y 這時(shí)點(diǎn) P 位于線段 AB 的中垂線上 且距離 AB 邊 10 3 3 km 處 18 解析 本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì) 圓的方程的求法 解 令x 0 得拋物線與y軸交點(diǎn)是 0 b 令 2 20f xxxb 由題意 b 0 且 0 解得 b 1 且 b 0 設(shè)所求圓的一般方程為 2 x 2 0yDxEyF 令y 0 得 2 0 xDxF 這與 2 2xxb 0 是同一個(gè)方程 故 D 2 F b 令x 0 得 2 yEy 0 此方程有一個(gè)根為 b 代入得出 E b 1 所以圓 C 的方程為 22 2 1 0 xyxbyb 圓 C 必過(guò)定點(diǎn) 0 1 和 2 1 證明如下 將 0 1 代入圓 C 的方程 得左邊 0 2 1 2 2 0 b 1 b 0 右邊 0 所以圓 C 必過(guò)定點(diǎn) 0 1 同理可證圓 C 必過(guò)定點(diǎn) 2 1 19 解析 本小題主要考查等差數(shù)列 等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí) 考查運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方 法進(jìn)行探索分析及論證的能力 滿分 16 分 解 解 首先證明一個(gè) 基本事實(shí) 一個(gè)等差數(shù)列中 若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列 則這個(gè)數(shù)列的公差 d0 0 事實(shí)上 設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng) a d0 a d d0成等比數(shù)列 則 a2 d d0 a d0 由此得 d0 0 1 i 當(dāng) n 4 時(shí) 由于數(shù)列的公差 d 0 故由 基本事實(shí) 推知 刪去的項(xiàng)只可能為 a2或 a3 若刪去 2 a 則由 a1 a3 a4 成等比數(shù)列 得 a1 2d 2 a1 a1 3d 因 d 0 故由上式得 a1 4d 即 d a1 4 此時(shí)數(shù)列為 4d 3d 2d d 滿 足題設(shè) 若刪去 a3 則由 a1 a2 a4 成等比數(shù)列 得 a1 d 2 a1 a1 3d 因 d 0 故由上式得 a1 d 即 d a1 1 此時(shí)數(shù)列為 d 2d 3d 4d 滿足題設(shè) 綜上可知 d a1 的值為 4 或 1 ii 若 n 6 則從滿足題設(shè)的數(shù)列 a1 a2 an中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列 必有原數(shù) 列中的連續(xù)三項(xiàng) 從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 故由 基本事實(shí) 知 數(shù)列 a1 a2 an的公差必為 0 這與題設(shè)矛盾 所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n 5 又因題設(shè) n 4 故 n 4 或 5 當(dāng) n 4 時(shí) 由 i 中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列 當(dāng) n 5 時(shí) 若存在滿足題設(shè)的數(shù)列 a1 a2 a3 a4 a5 則由 基本事實(shí) 知 刪去的項(xiàng)只能 是 a3 從而 a1 a2 a4 a5成等比數(shù)列 故 a1 d 2 a1 a1 3d 及 a1 3d 2 a1 d a1 4d 分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式 得 a1d d2及 a1d 5d 故 d 0 矛盾 因此 不存在滿足題設(shè)的項(xiàng) 數(shù)為 5 的等差數(shù)列 綜上可知 n 只能為 4 2 假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù) n 存在一個(gè)公差為 d 的 n 項(xiàng)等差數(shù)列 b1 b1 d b1 n 1 d b1 d 0 其中三項(xiàng) b1 m1 d b1 m2 d b1 m3 d 成等比數(shù)列 這里 0 m1 m2 m3 n 1 則有 b1 m2 d 2 b 1 m1 d b1 m3 d 化簡(jiǎn)得 m1 m3 2m2 b1 d 2 2 m m1m3 d 2 由 b1 d 0 知 m1 m3 2m2與 2 2 m m1m3或同時(shí)為零 或均不為零 若 m1 m3 2m2 0 且 2 2 m m1m3 0 則有 231 2 mm m1m3 0 即 m1 m3 2 0 得 m 1 m3 從而 m1 m2 m3 矛盾 因此 m1 m3 2m2與 2 2 m m1m3都不為零 故由 得 231 31 2 2 1 2dmmm mmmb 因?yàn)?m1 m2 m3均為非負(fù)整數(shù) 所以上式右邊為有理數(shù) 從而 1 d b 是一個(gè)有理數(shù) 于是 對(duì)于任意的正整數(shù)n 4 只要取 1 d b 為無(wú)理數(shù) 則相應(yīng)的數(shù)列b1 b2 bn就是滿足要 求的數(shù)列 例如 取b1 1 d 2 那么 n項(xiàng)數(shù)列1 1 2 1 22 1 1 2n 滿足 要求 20 解析 本小題考查充要條件 指數(shù)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù) 不等式的綜合運(yùn)用 1 f xfx 恒成立 12 fxfx 12 32 3 x px p 123 log 2 33 x px p 1232 xpxplog 因?yàn)?121212 xpxpxpxppp 所以 故只需 12 pp 32 log 恒成立 綜上所述 1 f xfx 對(duì)所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是 12 pp 32 log 1 如果 12 pp 32 log 則的圖像關(guān)于直線 1 xp 對(duì)稱(chēng) 因?yàn)?f afb 所以 區(qū)間 a b關(guān)于直線 1 xp 對(duì)稱(chēng) 因?yàn)闇p區(qū)間為 1 a p 增區(qū)間為 1 p b 所以單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為 2 ba 2 如果 12 pp 32 log 1 當(dāng) 12 pp 32 log 時(shí) 1 1 1 1 1 3 3 x p px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 x p px xp b fx xa p 當(dāng) 1 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 因 為 12 0 0fxfx 所 以 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3x p 當(dāng) 2 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 因 為 12 0 0fxfx 所 以 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3p x 因?yàn)?f afb 所以 231 log 2 33p ab p 所以 123 log 2 bppa 即 123 log 2abpp 當(dāng) 21 xpp 時(shí) 令 12 fxfx 則 231 log 2 33x p px 所以 123 log 2 2 pp x 當(dāng) 123 2 log 2 2 pp xp 時(shí) 12 fxfx 所以 2 f xfx 23 log 2 3x p 123 1 log 2 2 pp xp 時(shí) 12 fxfx 所以 1 f xfx 1 3p x fx在區(qū)間 a b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和 123 12 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 2 當(dāng) 21 pp 32 log 時(shí) 1 1 1 1 1 3 3 x p px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 x p px xp b fx xa p 當(dāng) 2 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 因 為 12 0 0fxfx 所 以 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3x p 當(dāng) 1 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 因?yàn)?12 0 0fxfx 所以 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3p x 因?yàn)?f afb 所以 231 log 2 33b p pa 所以 123 log 2abpp 當(dāng) 12 xp p 時(shí) 令 12 fxfx 則 231 log 2 33p xx p 所以 123 log 2 2 pp x 當(dāng) 123 1 log 2 2 pp xp 時(shí) 12 fxfx 所以 1 f xfx 1 3x p 123 1 log 2 2 pp xp 時(shí) 12 fxfx 所以 2 f xfx 23 log 2 3p x fx在區(qū)間 a b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和 123 21 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 綜上得 fx在區(qū)間 a b上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為 2 ba 證明 如圖 因?yàn)锳E 是圓的切線 所以 ABCCAE 又因?yàn)锳D是BAC 的平分線 所以 BADCAD 從而 ABCBADCAECAD 因?yàn)?ADEABCBAD DAECADCAE 所以 ADEDAE 故EAED 因?yàn)?EA是圓的切線 所以由切割線定理知 2 EAEC EB 而EAED 所以 2 EDEC EB 解 設(shè) 00 P xy是橢圓上任意一點(diǎn) 點(diǎn) 00 P xy在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn) 00 P x y 則有 00 0 0 2 0 0 1 xx y y 即 00 00 2xx yy 所以 0 0 00 2 x x yy 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上 故 22 00 41xy 從而 2 2 00 1xy 所以 曲線F的方程是 22 1xy 解 因橢圓 2 2 1 3 x y 的參數(shù)方程為 3cos sin x y 為參數(shù) 故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 3cos sin 其中02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 當(dāng) 6 時(shí) S取最大值 2 證明 因?yàn)?a b c為正實(shí)數(shù) 由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc 即 333 1113 abcabc 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc 所以 333 111 2 3 abc abc 解 由題設(shè)可知 以DA DC 1 DD 為單位正交基底 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz 則有 1 0 0 A 1 1 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D x y z C B A D D1 C1 B1 A1 P 由 1 1 1 1 D B 得 11 D PD B 所以 11 1 0 1 1 1 PAPDD A 11 0 1 1 1 1 PCPDDC 顯然APC 不是平角 所以APC 為鈍角等價(jià)于 coscos 0 PA PC APCPA PC PA PC 則等價(jià)于0PA PC 即 2 1 1 1 1 31 0 得 1 1 3 因此 的取值范圍是 1 1 3 證明證明 1 在等式 0122 1 x CCCC nnn nnnn xxx 兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 112121 1 2 1 nnn