2019-2020學(xué)年西寧市第十四中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年青海省西寧市第十四中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】， ,=2“”是“直線與圓相切”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】直接利用圓心到直線的距離等于半徑求得充要條件即可判斷【詳解】當直線與圓相切時，則，故選：C.【點睛】本題考查的知識要點：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型3設(shè)是不同的直線，是兩個不同的平面. 下列命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C，則D若，則【答案】A【解析】分別由線線平行、垂直，線面平行、垂直的判斷定理和性質(zhì)可求解；【詳解】解：由線線平行，線面平行，面面垂直知正確；：若，則或或、是異面直線，故錯誤；，則或，或，故錯誤；：若，則，或、是異面直線，故錯誤；故選【點睛】考查線線平行、垂直，線面平行、垂直的判斷定理和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題4中國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”現(xiàn)給出該問題算法的程序框圖，其中表示正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，例如 表示11除以3后的余數(shù)是2執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（ ）A7B8C9D10【答案】B【解析】根據(jù)程序框圖的條件，利用模擬運算法進行計算即可【詳解】第一次，7除以3的余數(shù)是1，不滿足條件，除以3的余數(shù)是2滿足條件，8除以5的余數(shù)是3滿足條件，輸出故選B【點睛】本題考查程序框圖的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)框圖模擬運算即可得出結(jié)果，比較基礎(chǔ)5在等差數(shù)列 中， 表示 的前 項和，若 ，則 的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可知，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，得，在利用等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解，得到答案?！驹斀狻坑深}意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，由等差數(shù)列的求和公式可得 ，故選C?！军c睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，及前項和公式的應(yīng)用，其中解答中數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項和公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題。6甲、乙兩個人進行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機出拳，則一次游戲兩人平局的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】先列表得到所有的基本事件的個數(shù)及平局對應(yīng)的基本事件的個數(shù)，根據(jù)公式可得所求的概率【詳解】甲、乙兩個人進行“剪子、包袱、錘”的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：甲乙錘剪子包袱錘(錘，錘)(錘，剪子)(錘，包袱)剪子(剪子，錘)(剪刀，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，錘)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因為由表格可知，共有9種等可能情況其中平局的有3種：(錘，錘)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)設(shè)為“甲和乙平局”，則，故選A【點睛】古典概型的概率計算，如果基本事件的總數(shù)計算較為繁瑣時，那么應(yīng)該用枚舉法或列表法得到所有的基本事件及隨機事件中含有的基本事件7某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.8函數(shù)y的圖象大致為()ABCD【答案】B【解析】先分析函數(shù)的定義域，可排除A,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性為奇函數(shù)排除C，利用特值法區(qū)分答案B,D.【詳解】函數(shù)y的定義域為x|x0且x1，A錯；因為f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)，排除C項；當x2時，y0，排除D項，只有B項適合【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域，奇偶性，特值法，利用上述性質(zhì)區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.9已知,則（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)求得，即可求解.【詳解】由題：，解得， .故選：B【點睛】此題考查三角恒等變換，涉及二倍角公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系，合理構(gòu)造齊次式可以降低解題難度.10已知，分別為橢圓：的左頂點、下頂點，過點且斜率為1的直線與的另一個公共點為，則（）ABC4D【答案】D【解析】通過題意，容易求出直線的方程，將直線和橢圓聯(lián)立，求出交點，通過向量數(shù)量積的坐標運算即可求出【詳解】易知，的方程為，聯(lián)立，得，解得，則的坐標為，則，.故選D【點睛】本題時橢圓和向量結(jié)合的問題，根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系求出需要的向量的坐標，是基礎(chǔ)題11已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值【詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)異面直線與所成角為，則.異面直線與所成角的余弦值為.故選C.【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題12已知橢圓：（）的左，右焦點分別為，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與在第一象限交于點，若直線恰好與圓相切于點，則的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】利用已知條件以及橢圓的性質(zhì)列出關(guān)系式，求解橢圓的離心率即可.【詳解】橢圓：（）的左，右焦點分別為，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與在第一象限交于點，若直線恰好與圓相切于點，可得，可得 所以 解得故選：A【點睛】本題考查利用橢圓的定義以及性質(zhì)求離心率，屬于中檔題.二、填空題13若，滿足約束條件，則的最小值為_.【答案】-2【解析】首先作出可行域，然后作出初始目標函數(shù)，然后判斷目標函數(shù)的最小值.【詳解】如圖，作出可行域，由圖象可知，當目標函數(shù)過點C時，函數(shù)取值最小值，.故答案為：-2【點睛】本題考查線性規(guī)劃，意在考查基礎(chǔ)知識和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.14三棱錐的四個頂點都在球O上，PA，PB，PC兩兩垂直，球O的體積為_【答案】【解析】先證明平面PAB，并計算出的外接圓直徑AB，然后利用公式計算出球O的半徑R，最后利用球體體積公式可得出答案【詳解】解：如下圖所示，、PB、PC兩兩垂直，且，平面PAB，所以，的外接圓直徑為斜邊，所以，球O的直徑為，則，因此，球O的體積為故答案為：【點睛】本題考查球體體積的計算，同時也考查了直線與平面垂直的判定定理，考查推理能力與計算能力，屬于中等題15如圖，在中，是邊上一點，則【答案】【解析】【詳解】由圖及題意得，=()()=+=.16給出下列說法函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)；若集合中只有一個元素，則；若，則；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；其中所有正確的序號是_ .【答案】.【解析】根據(jù)反函數(shù)定義可判斷;根據(jù)集合的概念與性質(zhì)可判斷;根據(jù)函數(shù)解析式的求法,可判斷;根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法,可判斷.【詳解】對于,由反函數(shù)定義可知,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),所以正確.對于,集合中只有一個元素,當時,只有一個元素;當時,滿足,解得,所以當或時集合A只有一個元素,所以錯誤.對于,若,則 ,沒有給出定義域,所以錯誤.對于,定義域為,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷可知在上單調(diào)遞減所以正確.綜上可知,正確的為故答案為:【點睛】本題考查了反函數(shù)的定義,函數(shù)解析式求法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷,元素個數(shù)的判斷,綜合性較強,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17已知數(shù)列為等差數(shù)列，.（1） 求數(shù)列的通項公式;（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法及等比數(shù)列前項和公式能求出數(shù)列的前n項和.試題解析： (1)設(shè)數(shù)列的公差為，依題意得方程組解得.所以的通項公式為. （2）由（1）可得， 得所以. 【 方法點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的求和公式以及錯位相減法求數(shù)列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.18在中，內(nèi)角，的對邊分別為，.若，且.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，等式右邊可化為余弦定理形式，根據(jù)求角即可（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面積的最大值.【詳解】（1）由得：，即：.，又，.（2）由，當且僅當?shù)忍柍闪?得：.【點睛】本題主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面積公式，屬于中檔題.19如圖，四棱錐PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（）證明MN平面PAB;（）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析；（）【解析】試題分析：（）取的中點，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判定定理可證；（）以為坐標原點，的方向為軸正方向,建立空間直角坐標系，然后通過求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值來求解與平面所成角的正弦值試題解析：（）由已知得.取的中點，連接，由為中點知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（）取的中點，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知，.設(shè)為平面的一個法向量，則即可取.于是.【考點】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常常可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理20已知拋物線C；過點求拋物線C的方程；過點的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點均與點A不重合，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為，求證：為定值【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，可求拋物線的標準方程；（2）設(shè)過點P（3，1）的直線MN的方程為，代入y2=x利用韋達定理，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求k1k2的值【詳解】（1）由題意得，所以拋物線方程為 （2）設(shè)，直線MN的方程為，代入拋物線方程得 所以， 所以,所以，是定值【點睛】求定值問題常見的方法從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21如圖，四棱錐中，底面為菱形，為等邊三角形（1）求證：（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）0【解析】（1）取AD中點E，連接，由已知可得，又即可證平面，從而可得；（2）建立相應(yīng)的空間直角坐標系，應(yīng)用面的法向量垂直得到其余弦值為0.【詳解】（1）因為底面ABCD為菱形，且，所以為等邊三角形如下圖，作，則E為AD的中點又因為為等邊三角形，所以因為PE和BE為平面PBE內(nèi)的兩條相交的直線，所以直線平面PBE，又因為PB為面PBE內(nèi)的直線，所以（2）為等邊三角形，邊長為2，所以，因為，所以面，如圖建立空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，即，即，取，則，設(shè)平面的法向量為，即，即，取，則，因為， 設(shè)二面角的平面角為，則有.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的有關(guān)問題，涉及到的知識點有線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，以及應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值的問題，在解題的過程中，需要注意空間直角坐標系建立的條件.22已知雙曲線的焦點是橢圓：的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動點，在橢圓上，且，記直線在軸上的截距為，求的最大值.【答案】(1) .(2).【解析】試題分析：（I）雙曲線的焦點為，離心率為，對于橢圓來說，由此求得和橢圓的方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓