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高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(一)一、填空題(每小題3分,共計24分)1、 =的定義域為D= 。2、二重積分的符號為 。3、由曲線及直線,所圍圖形的面積用二重積分表示為 ,其值為 。4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為則弧長元素 。5、設(shè)曲面為介于及間的部分的外側(cè),則 。6、微分方程的通解為 。7、方程的通解為 。8、級數(shù)的和為 。二、選擇題(每小題2分,共計16分)1、二元函數(shù)在處可微的充分條件是( ) (A)在處連續(xù);(B),在的某鄰域內(nèi)存在;(C) 當(dāng)時,是無窮?。唬―)。2、設(shè)其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則等于( )(A); (B); (C); (D)0 。3、設(shè):則三重積分等于( )(A)4;(B);(C);(D)。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=( ) (A); (B); (C); (D)。5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成,L取正向,函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 (A); (B); (C); (D)。6、下列說法中錯誤的是( )(A) 方程是三階微分方程;(B) 方程是一階微分方程;(C) 方程是全微分方程;(D) 方程是伯努利方程。7、已知曲線經(jīng)過原點,且在原點處的切線與直線平行,而 滿足微分方程,則曲線的方程為( ) (A); (B); (C); (D)。8、設(shè) , 則( ) (A)收斂; (B)發(fā)散; (C)不一定; (D)絕對收斂。三、求解下列問題(共計15分)1、(7分)設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)。,求。2、(8分)設(shè),求。四、求解下列問題(共計15分)。1、計算。(7分)2、 計算,其中是由所圍成的空間閉區(qū)域(8分)。5、 (13分)計算,其中L是面上的任一條無重點且分段光滑不經(jīng)過原點的封閉曲線的逆時針方向。 6、 (9分)設(shè)對任意滿足方程,且存在,求。七、(8分)求級數(shù)的收斂區(qū)間。 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(二)一、填空題(每小題3分,共計24分)1、設(shè),則 。2、 。3、設(shè),交換積分次序后, 。4、設(shè)為可微函數(shù),且則 。 5、設(shè)L為取正向的圓周,則曲線積分 。6、設(shè),則 。7、通解為的微分方程是 。8、設(shè),則它的Fourier展開式中的 。二、選擇題(每小題2分,共計16分)。1、設(shè)函數(shù) ,則在點(0,0)處( ) (A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在; (B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在; (C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在; (D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。2、設(shè)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足 及 ,則( ) (A)最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部; (B)最大值點和最小值點必定都在D的邊界上; (C)最大值點在D的內(nèi)部,最小值點在D的邊界上; (D)最小值點在D的內(nèi)部,最大值點在D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域D:,若,則有( ) (A); (B) ; (C); (D)不能比較。4、設(shè)是由曲面及 所圍成的空間區(qū)域,則 =( ) (A); (B); (C) ; (D)。5、設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為 ,其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且, 則曲線積分( )(A) ; (B) ;(C) ; (D)。6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面, 則曲面積分 =( )(A) 0 ; (B) ; (C) ; (D)。7、下列方程中,設(shè)是它的解,可以推知也是它的解的方程是( ) (A) ; (B) ;(C) ; (D) 。8、設(shè)級數(shù)為一交錯級數(shù),則( ) (A)該級數(shù)必收斂; (B)該級數(shù)必發(fā)散;(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散; (D)若,則必收斂。三、求解下列問題(共計15分) 1、(8分)求函數(shù)在點A(0,1,0)沿A指向點B(3,-2,2)的方向的方向?qū)?shù)。 2、(7分)求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問題(共計15分) 1、(7分)計算,其中是由及 所圍成的立體域。 2、(8分)設(shè)為連續(xù)函數(shù),定義,其中,求。五、求解下列問題(15分) 1、(8分)求,其中L是從A(a,0)經(jīng)到O(0,0)的弧。 2、(7分)計算,其中是 的外側(cè)。六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),并使曲線積分與路徑無關(guān),求函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(三)一、填空題(每小題3分,共計24分)1、設(shè), 則 。 2、函數(shù)在點(0,0)處沿的方向?qū)?shù)= 。 3、設(shè)為曲面所圍成的立體,如果將三重積分化為先對再對最后對三次積分,則I= 。 4、設(shè)為連續(xù)函數(shù),則 ,其中。 5、 ,其中。 6、設(shè)是一空間有界區(qū)域,其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成,如果函數(shù),在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式: , 該關(guān)系式稱為 公式。 7、微分方程的特解可設(shè)為 。 8、若級數(shù)發(fā)散,則 。二、選擇題(每小題2分,共計16分) 1、設(shè)存在,則=( ) (A);(B)0;(C)2;(D)。 2、設(shè),結(jié)論正確的是( )(A); (B);(C); (D)。3、若為關(guān)于的奇函數(shù),積分域D關(guān)于軸對稱,對稱部分記為,在D上連續(xù),則( ) (A)0;(B)2;(C)4; (D)2。 4、設(shè):,則=( ) (A); (B); (C); (D)。5、設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,在點處的線密度為,則曲線弧的重心的坐標(biāo)為( )()=; (B)=; (C)=; (D)=, 其中M為曲線弧的質(zhì)量。、設(shè)為柱面和在第一卦限所圍成部分的外側(cè),則 曲面積分( )(A)0; (B); (C); (D)。、方程的特解可設(shè)為( )(A),若; (B),若;(C),若;(D),若。、設(shè),則它的Fourier展開式中的等于()(A); (B)0; (C); (D)。3、 (分)設(shè)為由方程 確定的的函數(shù),其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求。4、 (分)在橢圓上求一點,使其到直線的距離最短。5、 (分)求圓柱面被錐面和平面割下部分的面積。六、(分)計算,其中為球面 的部分的外側(cè)。7、 (10分)設(shè),求。八、(10分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(四)一、填空題(每小題3分,共計24分)1、由方程所確定的隱函數(shù)在點(1,0,-1)處的全微分 。2、橢球面在點(1,1,1 )處的切平面方程是 。3、設(shè)D是由曲線所圍成,則二重積分 。4、設(shè)是由所圍成的立體域,則三重積分= 。5、設(shè)是曲面介于之間的部分,則曲面積分 。 6、 。7、已知曲線上點M(0,4)處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,則此曲線的方程是 。8、設(shè)是周期T=的函數(shù),則的Fourier系數(shù)為 。二、選擇題(每小題2分,共計16分)1、函數(shù)的定義域是( )(A); (B); (C); (D) 。2、已知曲面在點P處的切平面平行于平面,則點P的坐標(biāo)是( )(A)(1,-1,2); (B)(-1,1,2);(C)(1,1,2); (D)(-1,-1,2)。 3、若積分域D是由曲線及所圍成,則=( )(A) ; (B) ;(C) ; (D)。4、設(shè) , 則有( )(A); (B); (C); (D)。5、設(shè)為由曲面及平面所圍成的立體的表面,則曲面積分=( )(A); (B); (C); (D)0 。、設(shè)是球面表面外側(cè),則曲面積分( )(A); (B); (C); (D)。、一曲線過點(e,1),且在此曲線上任一點的法線斜率,則此曲線方程為( )(A); (B); (C); (D)。、冪級數(shù)的收斂區(qū)間為()(A)(-1,1); (B); (C)(-1,1); (D)-1,1。三、(分)已知函數(shù),其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求 的值。四、(分)證明:曲面上任意點處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成立體的體積為一定值。五、(分)求拋物面的切平面,使得與該拋物面間并介于柱面內(nèi)部的部分的體積為最小。六、(分)計算,其中為由(,)至(,)的那一弧段。七、(分)求解微分方程=0 。八、(分)求冪級數(shù)的和函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(五)一、填空題(每小題3分,共計24分)1、設(shè)是由方程所確定的二元函數(shù),則 。、曲線在點(,)處的切線方程是 。、設(shè)是由,則三重積分 。、設(shè)為連續(xù)函數(shù),是常數(shù)且,將二次積分化為定積分為 。、曲線積分與積分路徑無關(guān)的充要條件為 。、設(shè)為,則 。、方程的通解為 。、設(shè)級數(shù)收斂,發(fā)散,則級數(shù)必是 。二、選擇題(每小題2分,共計16分)、設(shè),在點(,)處,下列結(jié)論( )成立。()有極限,且極限不為0; ()不連續(xù);(); ()可微。、設(shè)函數(shù)有,且,則=( )();();();()。、設(shè):,在D上連續(xù),則在極坐標(biāo)系中等于( )(); ();();()。、設(shè)是由及所圍成,則三重積分() ;() ;() ;() 。、設(shè)是由所圍立體表面的外側(cè),則曲面積分 ()0; ()1; ()3; ()2。、以下四結(jié)論正確的是( )() ;() () ;() 以上三結(jié)論均錯誤。、設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),。并設(shè)曲線積分與積分路徑無關(guān),則();();();()。 、級數(shù)的和等于( )()2/3;()1/3;()1;()3/2。三、求解下列問題(共計分)、(分)設(shè)求。、 (分)設(shè),具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求。四、求解下列問題(共計分)、(分)計算,其中。、 (分)計算,其中。五、(分)確定常數(shù),使得在右半平面上,與積分路徑無關(guān),并求其一個原函數(shù)。6、 (分)將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。7、 (分)求解方程。 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(六)一、單選題(共15分,每小題3分)1設(shè)函數(shù)在的兩個偏導(dǎo), 都存在,則 ( )A在連續(xù) B在可微 C 及 都存在 D存在2若,則等于( ) 3設(shè)是圓柱面及平面所圍成的區(qū)域,則) 4 4若在處收斂,則此級數(shù)在處( ) A 條件收斂 B 絕對收斂 C 發(fā)散 D 斂散性不能確定5曲線在點(1,1,2)處的一個切線方向向量為( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1)二、填空題(共15分,每小題3分) 1設(shè),則 .2交 換的積分次序后,_3設(shè),則在點處的梯度為 .4. 已知,則 .5. 函數(shù)的極小值點是 .三、解答題(共54分,每小題6-7分)1.(本小題滿分6分)設(shè), 求,.2.(本小題滿分6分)求橢球面的平行于平面的切平面方程,并求切點處的法線方程3. (本小題滿分7分)求函數(shù)在點處沿向量方向的方向?qū)?shù)。4. (本小題滿分7分)將展開成的冪級數(shù),并求收斂域。5(本小題滿分7分)求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。6(本小題滿分7分)計算二重積分及圍成.7.(本小題滿分7分)利用格林公式計算,其中是圓周(按逆時針方向).8.(本小題滿分7分)計算,其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.四、綜合題(共16分,每小題8分)1(本小題滿分8分)設(shè)級數(shù)都收斂,證明級數(shù)收斂。2(本小題滿分8分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,證明曲線積分與路徑無關(guān)若對任意的恒有,求的表達(dá)式高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(一)參考答案一、1、當(dāng)時,;當(dāng)時,;2、負(fù)號; 3、; 4、;5、180; 6、;7、; 8、1;二、1、D; 2、D; 3、C; 4、B; 5、D; 6、B; 7、A; 8、C;三、1、;2、;四、1、;2、;五、令則,; 于是當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含O(0,0)時,在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得:I=0;當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中含O(0,0)時,在D內(nèi)除O(0,0)外都連續(xù),此時作曲線為,逆時針方向,并假設(shè)為及所圍成區(qū)域,則六、由所給條件易得: 又 = 即 即 又 即 七、令,考慮級數(shù) 當(dāng)即時,亦即時所給級數(shù)絕對收斂;當(dāng)即或時,原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)即時,級數(shù)收斂;當(dāng)即時,級數(shù)收斂;級數(shù)的半徑為R=1,收斂區(qū)間為1,3。高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(二)參考答案一、1、1; 2、-1/6; 3、 ; 4、;5、; 6、; 7、; 8、0;二、1、C; 2、B; 3、A; 4、D; 5、C; 6、D; 7、B; 8、C;三、1、函數(shù)在點A(1,0,1)處可微,且; 而所以,故在A點沿方向?qū)?shù)為: + 2、由得D內(nèi)的駐點為且, 又 而當(dāng)時, 令得 于是相應(yīng)且 在D上的最大值為,最小值為四、1、的聯(lián)立不等式組為所以 2、在柱面坐標(biāo)系中 所以 五、1、連接,由公式得:2、作輔助曲面 ,上側(cè),則由Gauss公式得: += = = 六、由題意得:即特征方程,特征根對應(yīng)齊次方程的通解為:又因為是特征根。故其特解可設(shè)為:代入方程并整理得:即 故所求函數(shù)為:高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(三)參考答案一、1、; 2、; 3、;4、; 6、,公式; 7、 8、。二、1、C; 2、B; 3、A ; 4、C ; 5、A ; 6、D ; 7、B ; 8、B 三、由于,由上兩式消去,即得: 四、設(shè)為橢圓上任一點,則該點到直線的距離為 ;令,于是由: 得條件駐點: 依題意,橢圓到直線一定有最短距離存在,其中即為所求。五、曲線在面上的 投影為 于是所割下部分在面上的投影域為:, 由圖形的對稱性,所求面積為第一卦限部分的兩倍。 六、將分為上半部分和下半部分, 在面上的投影域都為:于是: ; , =七、因為,即 所以 八、 又 高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(四)參考答案一、1、;2、; 3、; 4、; 5、;6、; 7、;8、; 二、1、C; 2、C; 3、A; 4、D; 5、A; 6、B; 7、A; 8、C三、 故四、設(shè)是曲面上的任意點,則, 在該點處的法向量為: 于是曲面在點處的切平面方程為:+=0即+=1因而該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的立體的體積為:這是一個定值,故命題得證。 五、由于介于拋物面,柱面及平面之間的立體體積為定值,所以只要介于切平面,柱面及平面之間的立體體積為最大即可。 設(shè)與切于點,則的法向量為,且,切平面方程為: 即 于是 則由,得駐點(1,0) 且 由于實際問題有解,而駐點唯一,所以當(dāng)切點為(1,0,5)時,題中所求體積為最小。此時的切平面為:六、聯(lián)接,并設(shè)由L及所圍成的區(qū)域為D,則 七、令,則,于是原方程可化為: 即,其通解為 即故原方程通解為:八、易求得該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為,令,則注意到,高等數(shù)學(xué)(下冊)試卷(五)參考答案一、1、;2、;3、;4、; 5、對任意閉曲線,或或使得; 6、; 7、; 8、發(fā)散二、1、C; 2、B; 3、A; 4、C; 5、C; 6、B; 7、D; 8、A三、1、;2、 。四、1、因為積分域D關(guān)于對稱,所以故 = ;2、+ 因為關(guān)于三個坐標(biāo)軸都對稱,而都(至少)關(guān)于某個變量為奇函數(shù),故以這些項為被積函數(shù)的三重積分都等于0。于是: 。五、令 則 ,
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