數(shù)列極限的解法(15種).doc

1.定義法：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱數(shù)列收斂于.記作：.否則稱為發(fā)散數(shù)列.例1.求證其中. 證：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立. 當(dāng)時(shí)，記，則，由 得，任給，則當(dāng)時(shí)，就有，即即 當(dāng) 綜上，例2.求 解：0,n=1,2,）極限存在，并求.證：由假設(shè)知 （1） 用數(shù)學(xué)歸納法易證： 此即證單調(diào)遞增.用數(shù)學(xué)歸納法可證， 事實(shí)上， 由（1）（2）證得單調(diào)遞增有上界，從而存在，對(duì)（1）式兩邊取極限得 ,解得和（舍去）.4利用迫斂性準(zhǔn)則（即兩邊夾法）迫斂性：設(shè)數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有，則數(shù)列收斂，且.例6.求解：記，則 由迫斂性得=.注：迫斂性在求數(shù)列極限中應(yīng)用廣泛，常與其他各種方法綜合使用，起著基礎(chǔ)性的作用.5利用定積分的定義計(jì)算極限黎曼積分定義：設(shè)為定義在上的一個(gè)函數(shù)，J為一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任意分割T,以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要T，就有，則稱函數(shù)在上（黎曼）可積，數(shù)J為在上的定積分，記作.例7. 解：原式= = =例8.求 解：因?yàn)橛?=同理由迫斂性得=.注：數(shù)列極限為“有無(wú)窮多項(xiàng)無(wú)窮小的和的數(shù)列極限，且每項(xiàng)的形式很規(guī)范”這一類型問(wèn)題時(shí)，可以考慮能否將極限看作是一個(gè)特殊的函數(shù)定積分的定義.部分相關(guān)的數(shù)列極限直接利用積分定義可能比較困難，這時(shí)需要綜合運(yùn)用迫斂性準(zhǔn)則等方法進(jìn)行討論。6利用（海涅）歸結(jié)原則求數(shù)列極限歸結(jié)原則：對(duì)任何，有例9. 求 解：= =1 例10.計(jì)算解：一方面，另一方面， 由歸結(jié)原則（取）由迫斂性得=注：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)又具有連續(xù)、可導(dǎo)、可微、可積等優(yōu)良性質(zhì)，有時(shí)我們可以