2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)選修4_4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第2講參數(shù)方程教案文新人教A版.docx

第2講參數(shù)方程一、知識梳理1參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地，可以通過消去參數(shù)，從參數(shù)方程得到普通方程(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致2直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程名稱普通方程參數(shù)方程直線yy0k(xx0)(t為參數(shù))圓(xx0)2(yy0)2r2(為參數(shù)且0b0)(t為參數(shù)且0t0)(t為參數(shù))常用結(jié)論經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上的兩點(diǎn)，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.二、習(xí)題改編1(選修44P22例1改編)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，點(diǎn)M(6，a)在曲線C上，則a 解析：由題意得所以答案：92(選修44P36例1改編)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，與圓C：(x3)2(y3)24交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解：將直線l的參數(shù)方式代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得4，即t24t60，設(shè)兩交點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，從而t1t24，t1t26，則|AB|t1t2|2.一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)()(2)過M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量()(3)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為.()答案：(1)(2)(3)二、易錯(cuò)糾偏(1)不注意互化的等價(jià)性致誤；(2)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義不清致誤1在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線C的普通方程解：由x2sin2，0sin2122sin232x3，2xy40(2x3)2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的普通方程為(x4)2(y3)24，設(shè)點(diǎn)M(2，1)，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|MB|的值解：設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將(t為參數(shù))代入(x4)2(y3)24，得t2(1)t10，所以t1t21，直線l：(t為參數(shù))，可化為，所以|MA|MB|2t1|2t2|4|t1t2|4.參數(shù)方程與普通方程的互化(師生共研) 已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(為參數(shù))化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線【解】曲線C1：(x4)2(y3)21，曲線C2：1，曲線C1是以(4，3)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓將參數(shù)方程化為普通方程的方法(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2cos21等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解1求直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)解：將消去參數(shù)t得直線xy10；將消去參數(shù)得圓x2y29.又圓心(0，0)到直線xy10的距離d3.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)2如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，求圓x2y2x0的參數(shù)方程解：圓的半徑為，記圓心為C，連接CP，則PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin cos (為參數(shù))所以圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))參數(shù)方程的應(yīng)用(師生共研) (2019高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值【解】(1)因?yàn)?1，且x21，所以C的直角坐標(biāo)方程為x21(x1)l的直角坐標(biāo)方程為2xy110.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)C上的點(diǎn)到l的距離為.當(dāng)時(shí)，4cos()11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為.(1)解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上和動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等(2)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：過定點(diǎn)M0的直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)為M1，M2，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，弦長l|t1t2|；M0為弦M1M2的中點(diǎn)t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|. 1已知曲線C的普通方程為1，求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值解：由曲線C的直角坐標(biāo)方程為1，可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A(2cos ，2sin )，0，則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長為4(2cos 2sin )16sin()，00，所以此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)t1，t2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1t221，t1t23，故t1，t2同正由直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，知|PA|PB|t1|t2|t1t221.極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問題(師生共研) (一題多解)(2020貴州省適應(yīng)性考試)曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin .(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)過原點(diǎn)且傾斜角為()的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點(diǎn)(A，B異于原點(diǎn))，求|OA|OB|的取值范圍【解】(1)曲線C1的普通方程為(x2)2y24，即x2y24x0，故曲線C1的極坐標(biāo)方程為24cos ，即4cos .由曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos2sin ，兩邊同乘以，得2cos2sin ，故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y.(2)法一：射線l的極坐標(biāo)方程為，把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C1的極坐標(biāo)方程得|OA|4cos ，把射線l的極坐標(biāo)方程代入曲線C2的極坐標(biāo)方程得|OB|，所以|OA|OB|4cos 4tan ，因?yàn)?，所以|OA|OB|的取值范圍是.法二：射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，)把射線l的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程得t24tcos 0.解得t10，t24cos .故|OA|t2|4cos .同理可得|OB|，所以|OA|OB|4cos 4tan ，因?yàn)?)由題意，得sin ，故.而22242，所以2.所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.4(2020福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|PM|.解：(1)由2得22sin22，將2x2y2，ysin 代入并整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，所以xcos cos1，ysin sin1.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，1)(2)將代入y21，并整理得41t2110t250，1102441258 0000，故可設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1，t2為A，B對應(yīng)的參數(shù)，且t1t2.依題意，點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為，所以|PM|.5(2020湖南省湘東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：4sin.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C與直線l的交點(diǎn)為A，B，Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求ABQ面積的最大值解：(1)由消去t得xy50，所以直線l的普通方程為xy50.由4sin4sin 4cos ，得24sin 4cos ，化為直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y2)28.(2)由(1)知，曲線C是以(2，2)為圓心，2為半徑的圓，直線l過點(diǎn)P(3，2)，可知點(diǎn)P在圓內(nèi)將直線l的參數(shù)方程化為代入圓的直角坐標(biāo)方程，得t29t330.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t29，t1t233，所以|AB|t2t1|.又圓心(2，2)到直線l的距離d，所以ABQ面積的最大值為.6(2020吉林第三次調(diào)研測試)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin24cos .(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求的值解：(1)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，兩式相加消去t可得普通方程為xy20.由cos x，sin y，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin24cos ，可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y24x.(2)把曲線C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入y24x，得t26t60，設(shè)t1，t2是A，B對應(yīng)的參數(shù)，則t1t16，t1t26，所以.綜合題組練1(2020遼寧大連第一次(3月)雙基測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，曲線C2的參數(shù)方程為，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為1cos ，曲線C4的極坐標(biāo)方程為cos 1.(1)求C3與C4的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；(2)設(shè)C1與C2交于P點(diǎn)，C1與C3交于Q點(diǎn)，當(dāng)在上變化時(shí)，求|OP|OQ|的最大值解：(1)聯(lián)立得210，解得，即交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin ，聯(lián)立C1，C2的極坐標(biāo)方程得2sin ，即|OP|2sin ，曲線C1與曲線C3的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得1cos ，即|OQ|1cos ，所以|OP|OQ|12sin cos 1sin()，其中的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，當(dāng)2k，kZ時(shí)，|OP|OQ|取得最大值，為1.2(2020原創(chuàng)沖刺卷二)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：xy4，曲線C2：(為參數(shù))在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線C2上的點(diǎn)經(jīng)過坐標(biāo)變換得到曲線C3，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求直線C1的