回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.doc

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用本周題目：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用本周重點：（1）通過對實際問題的分析，了解回歸分析的必要性與回歸分析的一般步驟；了解線性回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別；（2）嘗試做散點圖，求回歸直線方程；（3）能用所學(xué)的知識對實際問題進(jìn)行回歸分析，體會回歸分析的實際價值與基本思想；了解判斷刻畫回歸模型擬合好壞的方法相關(guān)指數(shù)和殘差分析。本周難點：（1）求回歸直線方程，會用所學(xué)的知識對實際問題進(jìn)行回歸分析. （2）掌握回歸分析的實際價值與基本思想. （3）能運(yùn)用自己所學(xué)的知識對具體案例進(jìn)行檢驗與說明. （4）殘差變量的解釋；（5）偏差平方和分解的思想；本周內(nèi)容： 一、基礎(chǔ)知識梳理回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點圖（由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系），若存在線性相關(guān)關(guān)系求回歸系數(shù) 寫出回歸直線方程 ，并利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測說明.2.回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法。建立回歸模型的基本步驟是：確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；畫好確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（線性關(guān)系）. 由經(jīng)驗確定回歸方程的類型. 按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù) （最小二乘法）；得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗數(shù)據(jù)是否有誤，后模型是否合適等. 3.利用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本步驟：（1）提出問題；（2）收集數(shù)據(jù)；（3）分析整理數(shù)據(jù)；（4）進(jìn)行預(yù)測或決策。4.殘差變量 的主要來源：（1）用線性回歸模型近似真實模型（真實模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實模型到底是什么）所引起的誤差?？赡艽嬖诜蔷€性的函數(shù)能夠更好地描述 與 之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果就會產(chǎn)生誤差。這種由于模型近似所引起的誤差包含在 中。（2）忽略了某些因素的影響。影響變量 的因素不只變量 一個，可能還包含其他許多因素（例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等其他因素的影響），但通常它們每一個因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在 中。（3）觀測誤差。由于測量工具等原因，得到的 的觀測值一般是有誤差的（比如一個人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會得到不同的觀測值，它們與真實值之間存在誤差），這樣的誤差也包含在 中。上面三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講例1：研究某灌溉渠道水的流速 與水深 之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：水深 1.401.501.601.701.801.902.002.10流速 1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求 對 的回歸直線方程；（2）預(yù)測水深為1.95 時水的流速是多少？分析：本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點圖表示出來，若這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，說明這兩個變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過的最小二乘估計思想及計算公式求得線性回歸直線方程。解：（1）由于問題中要求根據(jù)水深預(yù)報水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預(yù)報變量，作散點圖：由圖容易看出， 與 之間有近似的線性關(guān)系，或者說，可以用一個回歸直線方程 來反映這種關(guān)系。由計算器求得 。 對 的回歸直線方程為 。（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把 代入，易得 。計算結(jié)果表示，當(dāng)水深為 時可以預(yù)測渠水的流速為 。評注：建立回歸模型的一般步驟：（1）確定研究對象，明確兩個變量即解釋變量和預(yù)報變量；（2）畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系；（3）由經(jīng)驗確定回歸方程類型（若呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程）；（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差出現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。例2：1993年到2002年中國的國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的數(shù)據(jù)如下：年份GDP199334634.4199446759.4199558478.1199667884.6199774462.6199878345.2199982067.5200089468.1200197314.82002104790.6(1)作GDP和年份的散點圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么。(2)建立年份為解釋變量，GDP為預(yù)報變量的回歸模型，并計算殘差。(3)根據(jù)你得到的模型，預(yù)報2003年的GDP，并查閱資料，看看你的預(yù)報與實際GDP的誤差是多少。(4)你認(rèn)為這個模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎？請說明理由。解：(1)由表中數(shù)據(jù)制作的散點圖如下：從散點圖中可以看出GDP值與年份近線呈線性關(guān)系；(2)用yt表示GDP值，t表示年份，根據(jù)截距和斜率的最小二乘計算公式，得： 從而得線性回歸方程： 殘差計算結(jié)果見下表：GDP值與年份線性擬合殘差表年份19931994199519961997殘差-6422.269-1489.2383037.4935252.0244638.055年份19981999200020012002殘差1328.685-2140.984-1932.353-1277.622-993.791(3)2003年的GDP預(yù)報值為112976.360，根據(jù)國家統(tǒng)計局2004年統(tǒng)計，2003年實際GDP值為117251.9，所以預(yù)報與實際相-4275.540；(4)上面建立的回歸方程的R2=0.974，說明年份能夠解釋約97%的GDP值變化，因此所建立的模型能夠很好地刻畫GDP和年份的關(guān)系。說明： 關(guān)于2003年的GDP的值來源，不同的渠道可能會有所不同。例3：如下表所示，某地區(qū)一段時間內(nèi)觀察到的大于或等于某震級x的地震個數(shù)為N，試建立回歸方程表述二者之間的關(guān)系。震級33.23.43.63.844.24.44.64.85.0地震數(shù)28381203801479510695764155023842269819191356973震級5.25.45.65.866.26.46.66.87 地震數(shù)74660443527420614898574125 解：由表中數(shù)據(jù)得散點圖如下： 從散點圖中可以看出，震級x與大于該震級的地震次數(shù)N之間不呈線性相關(guān)關(guān)系，隨著x的減少，所考察的地震數(shù)N近似地以指數(shù)形式增長.做變換y=lgN，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：x33.23.43.63.844.24.44.64.85y4.4534.3094.1704.0293.8833.7413.5853.4313.2833.1322.988x5.25.45.65.866.26.46.66.87 y2.8732.7812.6382.4382.3142.1701.9911.7561.6131.398 x和y的散點圖如下： 從這個散點圖中可以看出x和y之間有很強(qiáng)的線性相差性，因此可以用線性回歸模型擬合它們之間的關(guān)系。根據(jù)截距和斜率的最小二乘計算公式，得： 故線性回歸方程為： 相關(guān)指數(shù)R20.997，說明x可以解釋y的99.7%的變化。因此，可以用回歸方程 描述x和y之間的關(guān)系。例4：電容器充電后，電壓達(dá)到 ,然后開始放電，由經(jīng)驗知道，此后電壓 隨時間 變化的規(guī)律公式 表示，觀測得時間 時的電壓 如下表所示：012345678910100755540302015101055試求電壓 對時間 的回歸方程。分析：由于兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系，我們可通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，通過線性回歸模型來建立 與 之間的非線性回歸方程。解：對 兩邊取自然對數(shù)得 ，令 ,即 。由所給數(shù)據(jù)可得0123456789104.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6其散點圖為：由散點圖可知 與 具有線性相關(guān)關(guān)系，可用 來表示。經(jīng)計算得： （最小二乘法）， ，即 。所以， 。評注：一般地，有些非線性回歸模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系：（1）如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模；（2）如果散點圖中的點的分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，要先對變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來建模。 本周練習(xí)：1.對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量統(tǒng)計分析的一種常用的方法是（ ）A回歸分析 B.相關(guān)系數(shù)分析 C.殘差分析 D.相關(guān)指數(shù)分析2.在畫兩個變量的散點圖時，下面敘述正確的是（ ）A預(yù)報變量在 軸上，解釋變量在 軸上 B.解釋變量在 軸上，預(yù)報變量在 軸上 C.可以選擇兩個變量中任意一個變量在 軸上D.可以選擇兩個變量中任意一個變量在 軸上3.兩個變量相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù) （ ）A越接近于0 B.越接近于1 C.越接近于1 D.絕對值越接近14.若散點圖中所有樣本點都在一條直線上，解釋變量與預(yù)報變量的相關(guān)系數(shù)為（ ）A0 B.1 C.1 D.1或15.一位母親記錄了她兒子3到9歲的身高，數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲）3456789身高（ 94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高與年齡的回歸模型 ，她用這個模型預(yù)測兒子10歲時的身高，則下面的敘述正確的是（ ）A.她兒子10歲時的身高一定是145.83 B.她兒子10歲時的身高在145.83 以上C.她兒子10歲時的身高在145.83 左右 D.她兒子10歲時的身高在145.83 以下6.兩個變量有線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)，則回歸直線方程中， 的系數(shù) （ ）A. B. C. D. 7.兩個變量有線性相關(guān)關(guān)系且殘差的平方和等于0，則（ ）A.樣本點都在回歸直線上 B.樣本點都集中在回歸直線附近 C.樣本點比較分散 D.不存在規(guī)律8.在建立兩個變量 與 的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù) 如下，其中擬合最好的模型是（ ）A.模型1的相關(guān)指數(shù) 為0.98 B.模型2的相關(guān)指數(shù) 為0.80C.模型3的相關(guān)指數(shù) 為0.50 D.模型4的相關(guān)指數(shù) 為0.25 9.相關(guān)指數(shù) 。10.某農(nóng)場對單位面積化肥用量 和水稻相應(yīng)產(chǎn)量 的關(guān)系作了統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：15202530354045330345365405445450455如果 與 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)單位面積化肥用量為 時水稻的產(chǎn)量大約是多少？（精確到 ）11.假設(shè)美國10家最大的工業(yè)公司提供了以下數(shù)據(jù)：公司銷售總額經(jīng)x1/百萬美元利潤x2/百萬美元通用汽車 1269744224福特969333835埃克森866563510IBM634383758通用電氣552643939美孚509761809菲利普莫利斯390692946克萊斯勒36156359杜邦352092480德士古324162413(1)作銷售總額和利潤的散點圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么形式；(2)建立銷售總額為解釋變量，利潤為預(yù)報變量的回歸模型，并計算殘差；(3)你認(rèn)為這個模型能較好地刻畫銷售總額和利潤之間的關(guān)系嗎？請說明理由。參考答案：A B D B C A A A 9 10.由于問題中要求根據(jù)單位面積化肥用量預(yù)報水稻相應(yīng)的產(chǎn)量，因此選取單位面積的化肥用量為解釋變量，相應(yīng)水稻的產(chǎn)量為預(yù)報變量，作散點圖： 由圖容易看出， 與 之間有近似的線性關(guān)系，或者說，可以用一個回歸直線方程 來反映這種關(guān)系。由計算器求得 。 對 的回歸直線方程為 （ *）。由（*）中求出的回歸直線方程，把 代入，易得 。計算結(jié)果表示，當(dāng)單位面積化肥用量為 時水稻的產(chǎn)量大約是 .11(1)將銷售總額作為橫軸，利潤作為縱軸，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制散點圖如下：由于散點圖中的樣本點基本上在一個帶形區(qū)域分布，猜想銷售總額與利潤之間呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系；(2)由最小二乘法的計算公式，得： 則線性回歸方程為： 其殘差值計算結(jié)果見下表：銷售總額12697496933866566343855264利潤422438353