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2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(理科)第卷(選擇題 共40分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求(1)【2014年江西,理1,5分】是的共軛復(fù)數(shù),若,(為虛數(shù)單位),則( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由于,可得 又 由解得,故選D【點評】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運算,屬于基本計算題(2)【2014年江西,理2,5分】函數(shù)的定義域為( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義,則,即或,故函數(shù)的定義域為,故選C【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求法,比較基礎(chǔ)(3)【2014年江西,理3,5分】已知函數(shù),若,則( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)【答案】A【解析】,若,則,即,則,解得,故選A【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算,利用條件直接代入解方程即可,比較基礎(chǔ)(4)【2014年江西,理4,5分】在中,內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為,若,則的面積為( )(A)3 (B) (C) (D)【答案】C【解析】由題意得,又由余弦定理可知,即,故選C【點評】本題是余弦定理的考查,在高中范圍內(nèi),正弦定理和余弦定理是應(yīng)用最為廣泛,也是最方便的定理之一,高考中對這部分知識的考查一般不會太難,有時也會和三角函數(shù),向量,不等式等放在一起綜合考查(5)【2014年江西,理5,5分】一幾何體的直觀圖如右圖,下列給出的四個俯視圖中正確的 是( )(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】幾何體的俯視圖,輪廓是矩形,幾何體的上部的棱都是可見線段,所以C、D不正確;幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直,所以A不正確,故選B【點評】本題考查三視圖的畫法,幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵(6)【2014年江西,理6,5分】某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關(guān)系,隨機抽查52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是( ) (A)成績 (B)視力 (C)智商 (D)閱讀量【答案】D【解析】表1:; 表2:;表3:; 表4:,閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大,故選D【點評】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題(7)【2014年江西,理7,5分】閱讀如下程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則程序運行后輸出的結(jié)果為( )(A)7 (B)9 (C)10 (D)11【答案】B【解析】由程序框圖知:的值,而,跳出循環(huán)的值為9,輸出,故選B【點評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵(8)【2014年江西,理8,5分】若,則( )(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】若,則:,則,顯然A不正確;若,則,顯然B正確;若,則,顯然C不正確;若,則,顯然D不正確,故選B【點評】本題考查定積分以及微積分基本定理的應(yīng)用,回代驗證有時也是解答問題的好方法(9)【2014年江西,理9,5分】在平面直角坐標系中,分別是軸和軸上的動點,若以為直徑的圓與直線相切,則圓面積的最小值為( )(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】為直徑,點必在圓上,由向直線做垂線,垂足為,則當恰為圓與直線的切點時,此時圓的半徑最小,即面積最小此時圓的直徑為O到直線的距離為,則圓的面積為:,故選A【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系用數(shù)形結(jié)合的思想,解決問題較為直觀(10)【2014年江西,理10,5分】如右圖,在長方體中, ,一質(zhì)點從頂點射向點,遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理), 將次到第次反射點之間的線段記為,將線段豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】根據(jù)題意有:的坐標為:,的坐標為,的坐標為,的坐標為;的坐標為:,的坐標為,的坐標為,的坐標為;的坐標為(1)長度計算:(2)長度計算:將平面沿軸正向平移個單位,得到平面;顯然有:的坐標為:,的坐標為,的坐標為,的坐標為;顯然平面和平面關(guān)于平面對稱設(shè)與的延長線與平面相交于:,根據(jù)相識三角形易知:,即:,根據(jù)坐標可知,在長方形內(nèi)根據(jù)反射原理,在平面上的投影即為反射光與平面的交點所以的坐標為因此:(3)長度計算:設(shè)的坐標為:,如果落在平面;這個時候有:,根據(jù)反射原理有:,于是:向量與向量共線;即有:,因為:;即有:,解得:,;故的坐標為:,因為:,故點不在平面上,所以:點只能在平面上;因此有:;,此時:,即有:解得:,;滿足:,故的坐標為:,(4)長度計算:設(shè)點在平面的投影為,坐標為,因為光線經(jīng)過反射后,還會在原來的平面內(nèi);即:共面,故的反射線只能與平面相交,且交點只能在;易知:根據(jù)以上解析,可知,要滿足以下關(guān)系:;且,對比ABCD選項,可知,只有C選項滿足以上條件,故選C【點評】本題考查定積分以及微積分基本定理的應(yīng)用,回代驗證有時也是解答問題的好方法二、選做題:請考生在下列兩題中任選一題作答,若兩題都做,則按所做的第一題記分,本題共5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的(11(1)【2014年江西,理11(1),5分】(不等式選做題)對任意,的最小值為( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C【解析】對任意, 當且僅當,成立,故選C【點評】本題考查絕對值三角不等式的應(yīng)用,考查利用分段函數(shù)或特殊值求解不等式的最值的方法(11(2)【2014年江西,理11(2),5分】(坐標系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,則線段的極坐標為( )(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】根據(jù)直角坐標和極坐標的互化公式,可得,即,故選A【點評】本題主要考查把直角坐標方程化為極坐標方程的方法,注意極角的范圍,屬于基礎(chǔ)題三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分 (12)【2014年江西,理12,5分】10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是 【答案】【解析】由題意知本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的事件是從10件中取4件有種結(jié)果,滿足條件的事件是恰好有1件次品有種結(jié)果,恰好有一件次品的概率是【點評】本題考查等可能事件的概率,本題解題的關(guān)鍵是利用組合數(shù)寫出試驗發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù),本題是一個基礎(chǔ)題(13)【2014年江西,理13,5分】若曲線上點處的切線平行于直線,則點的坐標是 【答案】【解析】設(shè),則,在點處的切線與直線平行,解得,故【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即點P處的切線的斜率是該點出的導(dǎo)數(shù)值,以及切點在曲線上和切線上的應(yīng)用(14)【2014年江西,理14,5分】已知單位向量與的夾角為,且,向量與的夾角為,則 【答案】【解析】單位向量與的夾角為,且,不妨,【點評】本題考查向量的數(shù)量積,兩個向量的夾角的求法,考查計算能力(15)【2014年江西,理15,5分】過點作斜率為的直線與橢圓:相交于,若是線段的中點,則橢圓的離心率為 【答案】【解析】設(shè),則,過點作斜率為的直線與橢圓:相交于,兩點,是線段的中點,兩式相減可得,【點評】本題考查橢圓C的離心率,考查學(xué)生的計算能力,正確運用點差法是關(guān)鍵三、解答題:本大題共6題,共75分解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程 (16)【2014年江西,理16,12分】已知函數(shù),其中,(1)當,時,求在區(qū)間上的最大值與最小值;(2)若,求的值解:(1)因,故又,故,因此,從而,(2),又,故,故,得,從而【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題(17)【2014年江西,理17,12分】已知首項都是1的兩個數(shù)列,(),滿足(1)令,求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和解:(1)因,且,故,即,所以是首項為,公差為2的等差數(shù)列,從而(2)因,有,所以,從而【點評】本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,用好錯位相減法是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題(18)【2014年江西,理18,12分】已知函數(shù)(1)當時,求的極值;(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍解:(1)當時,的定義域為,令,解得,當和時,所以在和上單調(diào)遞減;當時,所以在上單調(diào)遞增所以,當時,取得極小值;當時,取得極大值 (2)在上單調(diào)遞增且不恒等于0對恒成立,故,因此因,故 【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題(19)【2014年江西,理19,12分】如圖,四棱錐中,為矩形,平面平面(1)求證:;(2)若,問為何值時,四棱錐的體 積最大?并求此時平面與平面夾角的余弦值解:(1)因面面,面面,故面又面,故 (2)過作,由(1)有面,作,連接,作設(shè),則,故即時,如圖建立空間直角坐標系,則, ,故, ,設(shè)面、面的法向量分別為,由得設(shè),則,故同理可得故,從而平面與平面夾角的余弦值為【點評】本題考查線面位置關(guān)系、線線位置關(guān)系、線面角的度量,考查分析解決問題、空間想象、轉(zhuǎn)化、計算的能力與方程思想(20)【2014年江西,理20,13分】如圖,已知雙曲線的右焦點,點分別在的兩條漸近線上,軸,(為坐標原點)(1)求雙曲線的方程;(2)過上一點的直線:與直線相交于點,與直線相交于點,證明點在上移動時,恒為定值,并求此定值解:(1)因,故且,因此,所以所求方程為(2)由(1)知,故【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,推理論證能力、運算求解能力、函數(shù)與方程思想,屬于難題(21)【2014年江西,理21,14分】隨機將這個連續(xù)正整數(shù)分成兩組,每組個數(shù),組最小數(shù)為,最大數(shù)為;組最小數(shù)為,最大數(shù)為,記,(1)當時,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)令
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