高一(下)(清北班)資料8(均值不等式和不等式的證明).doc

專題八：均值不等式和不等式的證明選講一、基礎(chǔ)梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：（1） 當(dāng)且僅當(dāng)取“”號(hào)； （2）；（3），則。2均值不等式：兩個(gè)正數(shù)的均值不等式：； 三個(gè)正數(shù)的均值不等式：；個(gè)正數(shù)的均值不等式：。3四種均值的關(guān)系：兩個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)之間的關(guān)系是：。小結(jié)：“算數(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)”的多種表達(dá)形式：整式形式根式形式分式形式 倒數(shù)形式4.均值不等式求最值：（1）如果（定值），由_，當(dāng)時(shí)，有_；（2）如果（定值），由_，當(dāng)時(shí)，有_；注：上述方法對(duì)三個(gè)正數(shù)也成立。利用均值不等式求最值必須注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！5不等式的證明方法：（1）比較法：作差比較：；作商比較：。作差（商）比較的步驟：作差（商）：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差（商）；變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和（對(duì)商式進(jìn)行因式分解或約分等）；判斷差的符號(hào)（商與1的大?。航Y(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)（商與1的大小）。注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大小。（2）綜合法：由因?qū)Ч?。?）分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證只需證，只需證“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件?！胺治龇ā弊C題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。（4）反證法：正難則反。（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：添加或舍去一些項(xiàng)，如：；將分子或分母放大（或縮小）；利用基本不等式，如：；利用常用結(jié)論：）；） ； （程度大） 。（程度?。?（程度更?。┱娣质椒趴s：；假分式放縮：（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)；已知，可設(shè)；已知，可設(shè)。（7）構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、圖象與圖形、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式。證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)。二、能力鞏固考點(diǎn)一：均值不等式與最值1.已知，則的最小值_。2設(shè)，最大值是（ ）A. 1 B. C. D. 3.已知，且，若，則的最大值為_(kāi)。4.已知都在區(qū)間內(nèi)，且，則函數(shù)的最小值是（ ）A B C D5.若是與的等比中項(xiàng)，則的最大值為（ ）A. B. 1 C. D.6設(shè)是定義其中分別是的面積，的最小值是_。7若a,b均為正實(shí)數(shù)，且恒成立，則m的最小值是_。變式：（1）若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)、都成立，則的最大值是（ ）A1B2C3D5（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_。8. 設(shè)都是整數(shù)，且滿足，則的最大可能值為（ ）A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D.練習(xí)：使關(guān)于的不等式有解的實(shí)數(shù)的最大值是（ ）A B C D10若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)。11已知且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 練習(xí)：若且，則的最小值為_(kāi)。12.已知不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍_。13.若實(shí)數(shù)滿足,則的最大值是（ ） A. B. C. D. 14已知實(shí)數(shù)不全為零，設(shè)正數(shù)滿足，令的最大值為，則的最小值為_(kāi)?？键c(diǎn)二：數(shù)列與不等式的證明選講1已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足。（1）寫(xiě)出數(shù)列的前三項(xiàng)；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有。2設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足：令()求()求證：3.在數(shù)列中，已知，。（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：，。4.已知。（）求的值； （）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：；（）求證：。5已知數(shù)列中，a1=1，且滿足遞推關(guān)系（1）當(dāng)m=1時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足不等式恒成立，求m的取值范圍；（3）在時(shí)，證明6古代印度婆羅門(mén)教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)?jīng)玩過(guò)一種被稱為“河內(nèi)寶塔問(wèn)題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有個(gè)圓盤(pán)依其半徑大小，大的在下，小的在上套在柱上，現(xiàn)要將套在柱上的盤(pán)換到柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤(pán)套在小盤(pán)