等差數(shù)列及其前n項和全面總結(jié).ppt

要點梳理1 等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 通常用字母表示 2 等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d 那么它的通項公式是 6 2等差數(shù)列及其前n項和 從第二項起每一項與它相鄰前面一項 的差是同一個常數(shù) 公差 d an a1 n 1 d 基礎知識自主學習 3 等差中項如果 那么A叫做a與b的等差中項 4 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為 4 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn 是 2d ak al am an n m d 等差 數(shù)列 5 若 an 是等差數(shù)列 則ak ak m ak 2m k m N 是公差為的等差數(shù)列 5 等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列 an 的公差為d 其前n項和Sn 或Sn 6 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系Sn 數(shù)列 an 是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式Sn f n 是n的 即Sn md An2 Bn A2 B2 0 二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù) 項 7 在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d 0 則Sn存在最值 若a1 0 d 0 則Sn存在最值 8 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項的和有關的性質(zhì) 1 若 an 是等差數(shù)列 則也成數(shù)列 其首項與 an 首項相同 公差是 an 公差的 2 Sm S2m S3m分別為 an 的前m項 前2m項 前3m項的和 Sm S2m Sm S3m S2m成數(shù)列 小 等差 等差 大 3 關于等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì) 若項數(shù)為2n 則S偶 S奇 若項數(shù)為2n 1 則S偶 n 1 an S奇 an S奇 S偶 4 兩個等差數(shù)列 an bn 的前n項和Sn Tn之間的關系為 nd n an 基礎自測1 2009 遼寧 an 為等差數(shù)列 且a7 2a4 1 a3 0 則公差d A 2B C D 2解析根據(jù)題意得a7 2a4 a1 6d 2 a1 3d 1 a1 1 又 a3 a1 2d 0 d B 2 已知數(shù)列 an 中 a1 1 則a10等于 A B C D 以上都不對解析由a1 1 得為等差數(shù)列 B 3 2009 福建 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且S3 6 a3 4 則公差d等于 A 1B C 2D 3解析設 an 首項為a1 公差為d 則S3 3a1 d 3a1 3d 6 a3 a1 2d 4 a1 0 d 2 C 4 已知等差數(shù)列 an 的前13項之和為39 則a6 a7 a8等于 A 6B 9C 12D 18解析由S13 13a7 39得a7 3 a6 a7 a8 3a7 9 B 5 設Sn是等差數(shù)列 an 的前n項和 若則等于 A 1B 1C 2D 解析由等差數(shù)列的性質(zhì) A 題型一等差數(shù)列的判定 例1 已知數(shù)列 an 的通項公式an pn2 qn p q R 且p q為常數(shù) 1 當p和q滿足什么條件時 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 2 求證 對任意實數(shù)p和q 數(shù)列 an 1 an 是等差數(shù)列 1 由定義知 an 為等差數(shù)列 an 1 an必為一個常數(shù) 2 只需推證 an 2 an 1 an 1 an 為一個常數(shù) 思維啟迪 題型分類深度剖析 1 解an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差數(shù)列 則2pn p q應是一個與n無關的常數(shù) 所以只有2p 0 即p 0 故當p 0 時 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 2 證明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q an 2 an 1 an 1 an 2p為一個常數(shù) an 1 an 是等差數(shù)列 探究提高證明或判斷一個數(shù)列為等差數(shù)列 通常有兩種方法 1 定義法 an 1 an d 2 等差中項法 2an 1 an an 2 就本例而言 第 2 問中 需證明 an 2 an 1 an 1 an 是常數(shù) 而不是證an 1 an為常數(shù) 知能遷移1設兩個數(shù)列 an bn 滿足bn 若 bn 為等差數(shù)列 求證 an 也為等差數(shù)列 證明由題意有a1 2a2 3a3 nan 從而有a1 2a2 3a3 n 1 an 1 bn 1 n 2 由 得nan 整理得an 其中d為 bn 的公差 n 2 從而an 1 an n 2 又a1 b1 a2 d b1 a2 a1 d 所以 an 是等差數(shù)列 題型二等差數(shù)列的基本運算 例2 在等差數(shù)列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a61 2 已知a6 10 S5 5 求a8和S8 3 已知前3項和為12 前3項積為48 且d 0 求a1 在等差數(shù)列中 五個重要的量 只要已知三個量 就可求出其他兩個量 其中a1和d是兩個最基本量 利用通項公式與前n項和公式 先求出a1和d 思維啟迪 解 1 方法一設首項為a1 公差為d 依條件得33 a1 14da1 23 153 a1 44dd 4 a61 23 61 1 4 217 方法二由由an am n m d 得a61 a45 16d 153 16 4 217 解方程組得 2 a6 10 S5 5 解方程組得a1 5 d 3 a8 a6 2d 10 2 3 16 a1 5d 105a1 10d 5 S8 8 44 3 設數(shù)列的前三項分別為a d a a d 依題意有 a d a a d 12 a d a a d 48 a 4a 4a a2 d2 48d 2 d 0 d 2 a d 2 首項為2 a1 2 方程思想是解決數(shù)列問題的基本思想 通過公差列方程 組 來求解基本量是數(shù)列中最基本的方法 同時在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應用 探究提高 知能遷移2設 an 是一個公差為d d 0 的等差數(shù)列 它的前10項和S10 110且a1 a2 a4成等比數(shù)列 1 證明a1 d 2 求公差d的值和數(shù)列 an 的通項公式 1 證明因為a1 a2 a4成等比數(shù)列 故 a1a4 而 an 是等差數(shù)列 有a2 a1 d a4 a1 3d 于是 a1 d 2 a1 a1 3d 即 2a1d d2 3a1d 化簡得a1 d 2 解因為S10 110 S10 10a1 d 所以10a1 45d 110 由 1 a1 d 代入上式得55d 110 故d 2 an a1 n 1 d 2n 因此 數(shù)列 an 的通項公式為an 2n n 1 2 3 題型三等差數(shù)列的性質(zhì)及綜合應用 例3 12分 在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項和為Sn 且S10 S15 求當n取何值時 Sn取得最大值 并求出它的最大值 1 由a1 20及S10 S15可求得d 進而求得通項 由通項得到此數(shù)列前多少項為正 或利用Sn是關于n的二次函數(shù) 利用二次函數(shù)求最值的方法求解 2 利用等差數(shù)列的性質(zhì) 判斷出數(shù)列從第幾項開始變號 思維啟迪 解方法一 a1 20 S10 S15 10 20 d 15 20 d d 4分 an 20 n 1 8分 a13 0 即當n 12時 an 0 n 14時 an 0 10分 當n 12或13時 Sn取得最大值 且最大值為S12 S13 12 20 130 12分 方法二同方法一求得d 4分 Sn 20n 8分 n N 當n 12或13時 Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 12分方法三同方法一得d 4分又由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 8分 5a13 0 即a13 0 10分 當n 12或13時 Sn有最大值 且最大值為S12 S13 130 12分 探究提高求等差數(shù)列前n項和的最值 常用的方法 1 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負轉(zhuǎn)折項 2 利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項 便可求得和的最值 3 利用等差數(shù)列的前n項和Sn An2 Bn A B為常數(shù) 為二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 知能遷移3在等差數(shù)列 an 中 a16 a17 a18 a9 36 其前n項和為Sn 1 求Sn的最小值 并求出Sn取最小值時n的值 2 求Tn a1 a2 an 解 1 設等差數(shù)列 an 的首項為a1 公差為d a16 a17 a18 3a17 36 a17 12 d 3 an a9 n 9 d 3n 63 an 1 3n 60 an 3n 63 0an 1 3n 60 0 S20 S21 當n 20或21時 Sn最小且最小值為 630 令 得20 n 21 2 由 1 知前20項小于零 第21項等于0 以后各項均為正數(shù) 當n 21時 Tn Sn 當n 21時 Tn Sn 2S21 綜上 Tn n 21 n N n 21 n N 方法與技巧1 等差數(shù)列的判斷方法有 1 定義法 an 1 an d d是常數(shù) an 是等差數(shù)列 2 中項公式 2an 1 an an 2 n N an 是等差數(shù)列 3 通項公式 an pn q p q為常數(shù) an 是等差數(shù)列 4 前n項和公式 Sn An2 Bn A B為常數(shù) an 是等差數(shù)列 思想方法感悟提高 2 方程思想和基本量思想 在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量 通過建立方程 組 獲得解 3 等差數(shù)列的通項公式本身可以由累加法得到 4 等差數(shù)列的前n項和公式Sn 很像梯形面積公式 其推導方法也與梯形面積公式的推導方法完全一樣 5 等差數(shù)列的前n項和公式Sn na1 d可以變形為類似于勻加速直線運動的路程公式 只要把d理解為加速度 失誤與防范1 如果p q r s 則ap aq ar as 一般地 ap aq ap q 必須是兩項相加 當然可以是ap t ap t 2ap 2 等差數(shù)列的通項公式通常是n的一次函數(shù) 除非公差d 0 3 公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù) 且常數(shù)項為0 若某數(shù)列的前n項和公式是n的常數(shù)項不為0的二次函數(shù) 則該數(shù)列不是等差數(shù)列 它從第二項起成等差數(shù)列 4 公差d 類似于由兩點坐標求直線斜率的計算 5 當d不為零時 等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列 6 從一個等差數(shù)列中 每隔一定項抽出一項 組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列 一 選擇題1 2008 廣東 記等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a1 S4 20 則S6等于 A 16B 24C 36D 48解析 S4 2 6d 20 d 3 故S6 3 15d 48 D 定時檢測 2 2009 安徽 已知 an 為等差數(shù)列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 則a20等于 A 1B 1C 3D 7解析由已知得a1 a3 a5 3a3 105 a2 a4 a6 3a4 99 a3 35 a4 33 d 2 a20 a3 17d 35 2 17 1 B 3 2009 湖南 設Sn是等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a2 3 a6 11 則S7等于 A 13B 35C 49D 63解析 a1 a7 a2 a6 3 11 14 S7 C 4 2009 寧夏 海南 等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 若a1 1 則S4 A 7B 8C 15D 16解析設等比數(shù)列的公比為q 則由4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 得4a2 4a1 a3 4a1q 4a1 a1q2 q2 4q 4 0 q 2 S4 C 5 已知等差數(shù)列 an 的公差為d d 0 且a3 a6 a10 a13 32 若am 8 則m為 A 12B 8C 6D 4解析由等差數(shù)列性質(zhì)a3 a6 a10 a13 a3 a13 a6 a10 2a8 2a8 4a8 32 a8 8 m 8 B 6 各項均不為零的等差數(shù)列 an 中 若 an 1 an 1 0 n N n 2 則S2009等于 A 0B 2C 2009D 4018解析 an 1 an 1 2an an 0 an 2 Sn 2n S2009 2 2009 4018 D 二 填空題7 2009 遼寧 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且6S5 5S3 5 則a4 解析由題意知6 45d 15 a1 3d 15a4 5 故a4 8 2009 全國 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a5 5a3 則 解析設等差數(shù)列的公差為d 首項為a1 則由a5 5a3知a1 9 9 已知Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 若a2 a4 7 6 則S7 S3等于 解析 2 1 三 解答題10 在數(shù)列 an 中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 求證 數(shù)列是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項 1 證明因為3anan 1 an an 1 0 n 2 整理得 3 n 2 所以數(shù)列是以1為首項 3為公差的等差數(shù)列 2 解由 1 可得 1 3 n 1 3n 2 所以an 11 已知數(shù)列 an 中 a1 an 2 n 2 n N 數(shù)列 bn 滿足bn n N 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 中的最大項和最小項 并說明理由 1 證明因為an 2 n 2 n N bn 所以當n 2時 bn bn 1 又b1 所以 數(shù)列 bn 是以 為首項 以1為公差的等差數(shù)列 2 解由 1 知 bn n 則an 設函數(shù)f x 1 易知f x 在區(qū)間 和 內(nèi)為減函數(shù) 所以 當n 3時 an取得最小值 1 當n 4時 an取得最大值3 12 已知數(shù)列 an 中 a1 5且an 2an 1 2n 1 n 2且n N 1 求a2 a3的值 2