2019-2020學(xué)年江西省贛州市十五縣（市）高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年江西省贛州市十五縣（市）高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查：從20罐奶粉中抽取4罐進(jìn)行食品安全衛(wèi)生檢查；從某社區(qū)100戶高收入家庭，270戶中等收入家庭，80戶低收入家庭中選出45戶進(jìn)行消費水平調(diào)查；某中學(xué)報告廳有28排，每排有35個座位，一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，需要請28名聽眾進(jìn)行座談.較為合理的抽樣方法是（ ）A系統(tǒng)抽樣；簡單隨機(jī)抽樣；分層抽樣B簡單隨機(jī)抽樣；分層抽樣；系統(tǒng)抽樣C分層抽樣；系統(tǒng)抽樣；簡單隨機(jī)抽樣D簡單隨機(jī)抽樣；系統(tǒng)抽樣；分層抽樣【答案】B【解析】根據(jù)三種情況所對應(yīng)的樣本容量與總量大小、樣本差異性大小的特點即可確定抽樣方法.【詳解】中總量和樣本容量都比較小，且樣本無明顯差異，可采用簡單隨機(jī)抽樣中不同收入家庭的差異性較大，對統(tǒng)計結(jié)果有直接影響，可采用分層抽樣中，總量較大，抽取樣本數(shù)量與排數(shù)相同，采用系統(tǒng)抽樣較為簡便故選：【點睛】本題考查統(tǒng)計中的抽樣方法，關(guān)鍵是明確不同的抽樣方法所適用的情況，屬于基礎(chǔ)題.2圓心為且過原點的圓的一般方程是ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，求出圓的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，變形可得其一般方程?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，要求圓的圓心為，且過原點，且其半徑，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，變形可得其一般方程是，故選【點睛】本題主要考查圓的方程求法，以及標(biāo)準(zhǔn)方程化成一般方程。3已知向量，且，則的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由向量平行可得，由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由得： 故選：【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示、同角三角函數(shù)關(guān)系的求解；關(guān)鍵是明確向量平行的坐標(biāo)表示為：.4經(jīng)過點的直線到，兩點的距離相等，則直線的方程為（ ）ABC或D都不對【答案】C【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線顯然滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為則直線為，即 由到直線的距離等于到直線的距離得：，化簡得：或（無解），解得直線的方程為綜上，直線的方程為或故選5設(shè)表示兩個不同平面，表示一條直線，下列命題正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】D【解析】結(jié)合直線與直線，平面與平面平行判定定理，即可得出答案?！驹斀狻緼選項，可能m在平面內(nèi)，故錯誤；B選項，如果m平行與交線，而該兩平面相交，故錯誤；C選項，m可能在平面內(nèi)，故錯誤；D選項，滿足平面平行判定條件，故正確，故選D?！军c睛】本道題考查了直線與直線，平面與平面平行判定定理，屬于較容易題。6具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，滿足一組數(shù)據(jù)如表所示，與的回歸直線方程為，則的值為（ ）ABCD【答案】A【解析】將數(shù)據(jù)的中心點計算出來，代入回歸方程，計算得到答案.【詳解】 中心點為：代入回歸方程故答案選A【點睛】本題考查了回歸方程過中心點的知識，意在考查學(xué)生的計算能力.7某幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體最長棱的長度為（ ）ABC4D【答案】B【解析】由三視圖可還原幾何體，確定幾何體的各邊長，從而可知最長棱為；結(jié)合垂直關(guān)系，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知幾何體為如下圖所示的三棱錐：其中平面，且最長棱為，故選：【點睛】本題考查幾何體最長棱的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，屬于基礎(chǔ)題.8如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為16，20，則輸出的（ ）A0B2C4D6【答案】C【解析】按照程序框圖運行程序，直到滿足時輸出結(jié)果即可.【詳解】按照程序運行框圖，輸入，則且 此時，則且 此時，則且 此時，則且 此時，輸出故選：【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖計算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確判斷輸出的條件，從而確定最終輸出值，屬于基礎(chǔ)題.9一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中AB與相交CD與所成的角為【答案】D【解析】還原成正方體，可推導(dǎo)出在原來的正方體中與所成的角為【詳解】解：一個正方體的展開圖如圖所示，為原正方體的頂點，還原成正方體如下圖，是與所成角，在原來的正方體中與所成的角為故選：【點睛】本題考查了學(xué)生的空間想象力及作圖能力、異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題10已知三棱錐內(nèi)接于球，平面，為直角，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】將三棱錐補(bǔ)全為長方體，則所求的球即為長方體的外接球；由長方體外接球半徑為體對角線長的一半可知，利用勾股定理求得半徑后，代入球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)全為如下圖所示的長方體，則球為長方體的外接球長方體的外接球半徑球的表面積故選：【點睛】本題考查幾何體外接球表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過將三棱錐補(bǔ)為長方體的方式，將問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球的求解問題，同時明確長方體外接球的半徑為其體對角線長度的一半.11著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離結(jié)合上述觀點，可得的最小值為ABCD【答案】C【解析】化簡得，表示平面上點與點，的距離和，利用兩點間的距離公式，即可得出結(jié)論【詳解】，表示平面上點與點，的距離和，連接NH，與x軸交于，由題得，所以，的最小值為，故選C【點睛】本題主要考查兩點間的距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，合理轉(zhuǎn)化是正確解題的關(guān)鍵12過坐標(biāo)原點作圓的兩條切線，切點為，直線被圓截得弦的長度為( )ABCD【答案】A【解析】求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，借助，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則,，則，可得，故選A. 【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到圓的切線方程應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題13水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，則邊上的中線的實際長度為_【答案】【解析】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，可得為一個直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線的實際長度為.【詳解】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實際長度為.【點睛】本題考查斜二測畫法的規(guī)則，考查基本識圖、作圖能力.14已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為_.【答案】【解析】由約束條件可求得的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可求得所求范圍.【詳解】由約束條件可知：在上單調(diào)遞減 故答案為：【點睛】本題考查余弦函數(shù)值域的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用不等式的性質(zhì)求得角所處的范圍，進(jìn)而結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求得結(jié)果.15下列四種說法中正確的有_.（填序號）數(shù)據(jù)2，2，3，3，4，6，7，3的眾數(shù)與中位數(shù)相等；數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差是數(shù)據(jù)2，6，10，14，18的方差的一半；一組數(shù)據(jù)的方差大小反映該組數(shù)據(jù)的波動性，若方差越大，則波動性越大，方差越小，則波動性越小.頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻數(shù).【答案】【解析】由眾數(shù)和中位數(shù)概念可知正確；由方差的性質(zhì)可知錯誤，正確；由頻率分布直方圖的特點可知錯誤.【詳解】中，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，故正確；中，第二組數(shù)據(jù)為第一組數(shù)據(jù)對應(yīng)數(shù)字的倍，則方差應(yīng)為第一組數(shù)據(jù)方差的倍，即第一組數(shù)據(jù)的方差為第二組數(shù)據(jù)方差的，故錯誤；中，方差用來描述數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，正確；中，頻率分布直方圖中各小長方形的面積對應(yīng)各組數(shù)據(jù)的頻率，而非頻數(shù)，故錯誤.故答案為：【點睛】本題考查統(tǒng)計中的基礎(chǔ)命題的辨析，涉及到眾數(shù)與中位數(shù)、方差的性質(zhì)、頻率分布直方圖的特點等知識，屬于基礎(chǔ)題.16已知圓為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，點為線段垂直平分線上的一點，若為鈍角，則點橫坐標(biāo)的取值范圍是_.【答案】【解析】利用垂直斜率關(guān)系和中點坐標(biāo)可求得垂直平分線所在直線方程，設(shè)，由為鈍角可知，由此構(gòu)造不等式求得的范圍；當(dāng)三點共線時不合題意，需舍去，從而得到最終結(jié)果.【詳解】設(shè)垂直平分線斜率為，則，即 又中點為 垂直平分線方程為：，即為鈍角 設(shè) ，解得：又當(dāng)時，三點共線，此時，不合題意 故答案為：【點睛】本題考查直線方程的綜合應(yīng)用、平面向量夾角的運算求解問題；關(guān)鍵是能夠通過垂直且平分的關(guān)系求得直線方程，同時利用角為鈍角確定向量數(shù)量積所處的范圍；易錯點是忽略向量數(shù)量積小于零時，夾角有可能為平角的情況，造成增根出現(xiàn).三、解答題17隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了200名用戶，得到用戶的滿意度評分，現(xiàn)將評分分為5組，如下表:組別一二三四五滿意度評分頻數(shù)12286840頻率0.060.340.2（1）求表格中的，的值；（2）估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；（3）若從這200名用戶中隨機(jī)抽取50人，估計滿意度評分高于6分的人數(shù)為多少？【答案】（1），；（2）；（3）人.【解析】（1）根據(jù)總體容量可計算得到，利用頻數(shù)除以總體容量即可求得；（2）利用區(qū)間中點值代替每組數(shù)據(jù)，與頻率作積，加和可得平均數(shù)；（3）根據(jù)表格得到評分高于分的頻率，利用乘以頻率即可得到結(jié)果.【詳解】（1）總體容量為 ，（2）估計平均數(shù)為：（3）滿意度評分高于分的頻率為抽取人，估計滿意度評分高于分的人數(shù)為：人【點睛】本題考查統(tǒng)計中的頻數(shù)與頻率的計算、利用樣本估計總體的問題；利用樣本估計平均數(shù)的基本方法是用每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代替本組數(shù)據(jù)，將中點值與對應(yīng)頻率作積，加和即可得到平均數(shù).18如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點.（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由直三棱柱特點和等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得平面，由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由體積橋的方式可知，利用三棱錐體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）三棱柱為直三棱柱 平面又平面 ，為中點 平面， 平面平面 （2）由（1）知：為點到平面的距離，【點睛】本題考查立體幾何中線線垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解；在證明線線垂直時，需首先證明線面垂直關(guān)系，利用線面垂直得到線線垂直；求解三棱錐體積的常用方法為體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解問題.19設(shè)數(shù)列的前n項和為，為等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用可求得；通過和求得和，由等比數(shù)列通項公式求得；（2）由（1）可得：；利用分組求和的方式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式和等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，驗證與相符合故數(shù)列的通項公式為：由得：；由得： （2）由（1）得：【點睛】本題考查等差和等比數(shù)列通項公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項和，涉及到等差和等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，屬于?？碱}型.20已知函數(shù)（1）若ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b，c，銳角A滿足，求銳角的大小.（2）在（1）的條件下，若ABC的外接圓半徑為1，求ABC的面積S的最大值【答案】（1）；（2）?！窘馕觥浚?）將化簡為，代入求得；（2）根據(jù)正弦定理求得，再結(jié)合余弦定理，利用基本不等式求得最值.【詳解】（1），又為銳角（2）的外接圓半徑為由正弦定理得：由余弦定理：得：即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）則三角形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）故三角形面積最大值為【點睛】本題考查三角函數(shù)式的化簡、正余弦定理解三角形、三角形面積最值問題.解決面積最值問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)公式將問題變?yōu)殚L度之積的最值問題，從而利用基本不等式求得結(jié)果.21如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面平面，為的中點，在棱上，且.（1）求證：平面；（2）若為的中點，問上是否存在一點，使平面？若存在，說明點的位置；若不存在，試說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）取中點，由三角形中位線和已知長度關(guān)系可知且為中點，三線合一得到；由面面垂直性質(zhì)可得平面，由線面垂直性質(zhì)知；由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）假設(shè)存在滿足題意的點，由線面平行的性質(zhì)可知；根據(jù)重心的性質(zhì)可得到比例關(guān)系，即，從而可說明存在點.【詳解】（1）取中點，連接分別為中點 又， ，即為中點 為等邊三角形，為中點 平面平面，平面平面 平面平面 平面， 平面（2）假設(shè)上存在點，使得平面連接，交于點，連接平面，平面，平面平面為等邊的兩條中線 為的重心 ，即 存在點，滿足時，平面【點睛】本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、存在性問題的求解，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用；解決本題中的線面平行的存在性問題的關(guān)鍵是能夠假定存在后，利用線面平行的性質(zhì)確定平面內(nèi)與所證直線平行的直線，進(jìn)而確定比例關(guān)系.22已知圓與圓關(guān)于直線對稱.（1）求圓的方程；（2）過點作兩條相異直線分別與圓相交于、兩點，若直線、的傾斜角互補(bǔ)，問直線與直線是否垂直？請說明理由.【答案】（1）；（2）垂直，理由見解析.【解析】（1）由圓方程可得到圓心和半徑；利用點關(guān)于直線對稱點的求法可求得圓心關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，從而得到圓的圓心，又圓半徑與圓，從而可得圓的方程；