2019-2020學年杭州市西湖區(qū)杭州學軍中學高二上學期期末數學試題（解析版）

2019-2020學年浙江省杭州市西湖區(qū)杭州學軍中學高二上學期期末數學試題一、單選題1經過點，斜率為的直線方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據直線的點斜式方程寫出直線方程，再化成一般式方程即可.【詳解】由直線點斜式得，化為一般式得.故選：D【點睛】本題考查了直線點斜式方程，屬于基礎題.2橢圓的焦距為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據橢圓的標準方程求出的值，再利用之間的關系，求出，最后求出焦距即可.【詳解】因為，得，所以焦距為.故選：C【點睛】本題考查了根據橢圓的標準方程求橢圓焦距問題，屬于基礎題.3已知直線，和平面，下列條件中能推出的是（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】根據面面平行的判定定理和線面垂直的性質直接判斷即可.【詳解】A：兩個平面相交時，兩個平面存在互相平行的直線，故本選項不正確；B：垂直于同一直線的兩平面平行，故本選項正確；C：根據面面平行的判定定理可知中：只有當直線，相交時，才能得到面面平行，故本選項不正確；D：兩個平面可以相交，故本選項不正確.故選：B【點睛】本題考查了面面平行的判定定理的應用，屬于基礎題.4圓和圓的位置關系是( )A內切B外切C相交D外離【答案】C【解析】把兩圓的方程化為標準方程，分別找出圓心坐標和半徑，求出兩圓心的距離d，然后求出Rr和R+r的值，判斷d與Rr及R+r的大小關系即可得到兩圓的位置關系【詳解】把圓x2+y22x0與圓x2+y2+4y0分別化為標準方程得：（x1）2+y21，x2+（y+2）24，故圓心坐標分別為（1，0）和（0，2），半徑分別為R2和r1，圓心之間的距離，則R+r3，Rr1，RrdR+r，兩圓的位置關系是相交故選：C【點睛】本題考查兩圓的位置關系，比較兩圓的圓心距，兩圓的半徑之和，之差的大小是關鍵，屬于基礎題.5已知，是異面直線，是，外的一點，則下列結論中正確的是（ ）A過有且只有一條直線與，都垂直B過有且只有一條直線與，都平行C過有且只有一個平面與，都垂直D過有且只有一個平面與，都平行【答案】A【解析】根據垂線的唯一性、平行公理，線面垂直的性質、線面平行性質進行逐一判斷即可.【詳解】A：作的平行線與共面，若過的直線與，都垂直，則該直線垂直于，所以垂直于，所在平面因為過平面外一點只可作一條直線與這個平面垂直，所以過有且只有一條直線與，都垂直.故本結論正確；.B：如果過的直線都與，都平行，根據平行公理，平行這與，是異面直線矛盾，故本結論錯誤；C：如果，與過過的平面都垂直，那么，平行這與，是異面直線矛盾，故本結論錯誤；D：若過與或確定的平面，就不存在與，都平行，故本結論錯誤；故選：A【點睛】本題考查了垂線的性質，考查了平行公理，考查了異面直線的性質，考查了線面垂直的性質，考查了推理論證能力.6如圖，中，若以，為焦點的雙曲線的漸近線經過點，則該雙曲線的離心率為ABCD【答案】D【解析】設AB=BC=2，取AB的中點為O，由題意可得雙曲線的一條漸近線為直線OC，由余弦定理可得OC，cosCOB，求得tanCOB，即為漸近線的斜率，由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到【詳解】設AB=BC=2，取AB的中點為O，由題意可得雙曲線的一條漸近線為直線OC，在三角形OBC中，cosB=，OC2=OB2+BC22OBBCcosB=1+4212（）=7，OC=，則cosCOB=，可得sinCOB=，tanCOB=，可得雙曲線的漸近線的斜率為，不妨設雙曲線的方程為=1（a，b0），漸近線方程為y=x，可得=，可得e=故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線和離心率，考查學生的計算能力，屬于中檔題7直線ykx3與圓(x3)2(y2)24相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()AB(，0，)CD【答案】A【解析】試題分析：圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍【考點】直線與圓相交的弦長問題8正四面體中，在平面內，點是線段的中點，在該四面體繞旋轉的過程中，直線與平面所成角不可能是( )ABCD【答案】D【解析】將問題抽象為如下幾何模型，平面的垂線可視為圓錐的底面半徑EP，繞著圓錐的軸EF旋轉，則可得到答案【詳解】考慮相對運動，讓四面體ABCD保持靜止，平面繞著CD旋轉，故其垂線也繞著CD旋轉，如下圖所示,取AD的中點F，連接EF，則 則也可等價于平面繞著EF旋轉，在中，易得如下圖示，將問題抽象為如下幾何模型，平面的垂線可視為圓錐的底面半徑EP，繞著圓錐的軸EF旋轉，顯然則設BE與平面所成的角為，則可得 考慮四個選項，只有選D.【點睛】本題考查最小角定理的應用，線面角的最大值即為BE與CD所成的角.，屬中檔題.9已知，作直線，使得點到直線的距離均為，且這樣的直線恰有條，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】分別以為圓心，半徑為作圓，當兩個圓外離時，可以作兩個圓的四條公切線，根據圓心距和的大小關系，求得的取值范圍.【詳解】分別以為圓心，半徑為作圓，當兩個圓外離時，可以作兩個圓的四條公切線，也即到四條切線的距離都等于，符合題目的要求.圓心距，由于兩個圓外離，故，即.故選：B.【點睛】本小題主要考查兩個圓的位置關系，考查兩圓外離時公切線的條數，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查兩點間的距離公式，屬于基礎題.10（2018屆浙江省溫州市一模）如圖，正四面體中，在棱上，且，分別記二面角的平面角為，在（ ）ABCD【答案】D【解析】是正四面體，在棱上，且，可得為鈍角，為銳角，設的距離為的距離為的距離為的距離為，設正四面體的高為 ,可得，由余弦定理可得，由三角形面積相等可得到，所以可以推出所以，故選D.【方法點睛】本題主要考查二面角的求法，屬于難題.求二面角的大小既能考查線線垂直關系，又能考查線面垂直關系，同時可以考查學生的計算能力，是高考命題的熱點，求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標系，這種方法優(yōu)點是思路清晰、方法明確，但是計算量較大；二是傳統方法，求出二面角平面角的大小，這種解法的關鍵是找到平面角，本題很巧妙的應用點到面的距離及點到線的距離求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小關系.二、填空題11若圓的圓心在直線上，則的值是_，半徑為_.【答案】 【解析】對圓的方程進行配方化成標準方程形式，把圓心的坐標代入直線方程中，求出的值，最后求出半徑的大小.【詳解】圓化為標準方程為，圓心坐標為：，由題意可知：，所以，.故答案為：；【點睛】本題考查了通過圓的一般求圓心和半徑，考查了數學運算能力.12若直線與互相平行，則的值為_，它們之間的距離為_.【答案】 【解析】根據兩平行直線系數之間的關系求出的值，根據平行線間距離公式直接求出兩平行線間距離即可.【詳解】由題知，且，解得，則，則兩平行線間距離為：.故答案為：；【點睛】本題考查了已知兩直線平行求參數問題，考查了平行線間距離公式，考查了數學運算能力.13某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_，外接球的表面積為_.【答案】 【解析】根據根據三視圖還原該幾何體，直接根據三棱柱的體積公式求出體積，運用割補法求出外接球的表面積.【詳解】根據三視圖還原該幾何體，直觀圖如圖所示的直三棱柱，把該幾何體補成一個長方體，可知其外接球的直徑為這個長方體的體對角線，所以，所以故答案為：;【點睛】本題考查了通過三視圖求幾何體的體積以及該幾何體外接球的表面積，考查了直觀想象能力.14已知雙曲線與橢圓共焦點，則的值為_，設為雙曲線的一個焦點，是上任意一點，則的取值范圍是_.【答案】 【解析】第一空：根據雙曲線的半焦距的平方等于橢圓的半焦距的平方，解方程即可求出的值；第二空：設，不妨設，求出的表達式，利用雙曲線的范圍求出的取值范圍.【詳解】解析、，所以；設，不妨設，所以因為或，所以，故填、；【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的半焦距公式，考查了雙曲線的范圍，考查了數學運算能力.15異面直線，所成角為，過空間一點的直線與直線，所成角均為，若這樣的直線有且只有兩條，則的取值范圍為_.【答案】【解析】將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，如圖，過作及其外角的角平分線，根據題意可以求出的取值范圍.【詳解】將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，如圖，過作及其外角的角平分線，異面直線，所成角為，可知，所以，所以在方向，要使有兩條，則有：，在方向，要使不存在，則有，綜上所述，.故答案為：【點睛】本題考查了異面直線的所成角的有關性質，考查了空間想象能力.16在九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面，且，過點分別作于點，于點，連結，當的面積最大時，_.【答案】【解析】利用平面，根據線面垂直的性質定理可得，結合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面，進而可以證明出，再結合已知，利用線面垂直的判定定理可以證明平面，因此可以證明出，最后利用線面垂直定理證明出平面，因此得到，且為中點.解法1：設，利用三角形面積公式可以求出的長，在利用，求出的長，最后求出的面積表達式，利用換元法和配方法求出面積平方的最大值，最后求出的值；解法2：設，求出、的大小，再求出的大小，最后求出表達式，利用同角三角函數的關系中商關系和基本不等式求出最大值，根據等號成立的條件求出的值.【詳解】因為平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，綜上，且為中點.解法1：設，則，又，則，又，可得，所以，所以，令，則所以當時即，此時，故填.解法2.設，則，所以.又，所以，所以所以當且僅當即時，取等號.故答案為：【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質定理的綜合應用，考查了基本不等式的應用，考查了配方法的應用，考查了推理論證能力和數學運算能力.17已知橢圓上的三點，斜率為負數的直線與軸交于，若原點是的重心，且與的面積之比為，則直線的斜率為_. 【答案】【解析】設出直線的方程,將其代入到橢圓的方程,根據韋達定理,三角形的重心坐標公式,三角形的面積比,可求得點的坐標,再將的坐標代入橢圓方程即可得到直線的斜率.【詳解】如圖所示:設 ,直線的方程為,因為原點是三角形的重心,所以與 的高之比為3,又與的面積之比為,則,即,所以,聯立,消去并整理得,所以,由整理得,因為原點是的重心,所以,因為,所以,化簡得,由可得,因為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了直線與橢圓相交的問題,三角形的重心坐標公式,韋達定理,運算求解能力,根據已知條件求出點的坐標后,再代入橢圓方程是解題關鍵,本題屬于中檔題.三、解答題18已知，且.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）對等式左邊直接使用基本不等式即可求出的最大值；（2）對變形為：，然后運用基本不等式求解即可.【詳解】解析、（1），（當且僅當時取等號，即當時），因此的最大值為10；（2），的最小值為，當且僅當時取到.【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了數學運算能力.19如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在一點，使平面平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在，當為的中點時，能使平面平面【解析】（1）利用已知可以判定四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質可以得到線線平行，利用線面平行的判定定理證明出平面；（2）根據為正三角形可以得到，再根據是等邊三角形得到，這樣根據線面垂直的判定定理可以證明平面，再利用線面垂直的性質定理可以證明出；（3）可以猜想為的中點時.根據已知側面垂直于底面，可以通過面面垂直的性質定理可以得到平面.這樣利用中位線可以證明出平面，這樣證明出猜想是正確的.【詳解】（1）由已知，所以四邊形是平行四邊形.又平面，平面，平面.（2）連接.，.是等邊三角形，又，平面.（3）當為的中點時，能使平面平面.證明如下、平面平面，平面平面，平面，平面.連結交于.則是的中點，.平面.又平面，平面平面.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理，考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了數學探究能力，考查了推理論證能力.20如圖，已知位于軸左側的圓與軸相切于點且被軸分成的兩段圓弧長之比為，直線與圓相交于，兩點，且以為直徑的圓恰好經過坐標原點.（1）求圓的方程；（2）求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】（1）依題意可設圓心，根據圓的性質可以得出，進而可以求出圓的標準方程；（2）解法1.依題意知，只需求出點（或）在劣弧上運動時的直線（或）斜率，設其直線方程為，根據直線與圓的位置關系，結合點到直線的距離公式，可以求出的取值范圍，根據點在劣弧上，點在劣弧上，求出直線的斜率，進而求出直線的斜率的取值范圍，在討論線的斜率為零時，是否滿足，最后確定直線的斜率的取值范圍；解法2.當時，直線的方程為，根據直線與圓的位置關系結合點到直線距離公式，求出斜率的取值范圍，再以代求出斜率的取值范圍，接著討論時，是否滿足條件，最后確定斜率的取值范圍.【詳解】（1）依題意可設圓心.設圓與軸交于點，因為圓被軸分成的兩段圓弧之比為，所以.于是，圓心.所以圓的方程為.（2）解法1.依題意知，只需求出點（或）在劣弧上運動時的直線（或）斜率，設其直線方程為，此時有，解得.若點在劣弧上，則直線的斜率，于是;若點在劣弧上，則直線的斜率，于是.又當時，點為，也滿足條件綜上所述，所求的直線的斜率的取值范圍為或解法2.當時，直線的方程為，由題意得，解得.以代得，解得或.當時，也滿足題意.綜上所述，的取值范圍是或【點睛】本題考查了圓的切線性質，考查了直線與圓的位置關系，考查了有斜率的兩直線垂直時斜率的關系，考查了圓的幾何性質，考查了數學運算能力.21如圖，在四棱錐中，且,，.（）求證：平面平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（I）證明見解析；（）【解析】試題分析：（1）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直進行論證，而線面垂直證明，往往需要多次利用線線垂直與線面垂直的轉化，而線線垂直，有時可利用平幾條件進行尋找與論證，如本題取中點E，利用平幾知識得到四邊形是矩形，從而得到，而易得，因此，進而有平面平面；（2）利用空間向量求線面角，首先建立空間直角坐標系：以A 為原點，為軸,為軸,建立空間直角坐標角系，設出各點坐標，利用方程組解出面的法向量，利用向量數量積求夾角，最后根據線面角與向量夾角互余得結論試題解析：解：證明：（1）為中點,且四邊形是矩形,又平面,且,在平面中,平面平面,又平面平面,平面平面.（2）以A 為原點，為軸,為軸,建立空間直角坐標角系，,則設平面的法向量,則,取,得,設直線與平面所成的角為,直線與平面所成的角的正弦值為.【考點】面面垂直判定定理，利用空間向量求線面角【思想點睛】垂直、