人教B版必修一 3.2.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系 學(xué)案.doc

3.2.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，弄清它們的圖象間的對(duì)稱關(guān)系.2.利用圖象比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的差異.3.利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)解決一些簡單問題.知識(shí)鏈接在同一坐標(biāo)中，作出函數(shù)y2x與ylog2x的圖象，兩圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.反函數(shù)(1)互為反函數(shù)的概念當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新的函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量.稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).(2)反函數(shù)的記法：函數(shù)yf(x)的反函數(shù)通常用yf1(x)表示.2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的圖象關(guān)于yx對(duì)稱.要點(diǎn)一求反函數(shù)例1寫出下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)ylg x；(2)ylogx；(3)y()x；(4)yx.解(1)ylg x的底數(shù)為10，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y10x.(2)ylogx的底數(shù)為，它的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)yx.(3)y()x的底數(shù)為，它的反函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx(x0).(4)yx的底數(shù)為，它的反函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx(x0).規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù).跟蹤演練1求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)ylog2x；(2)yx；(3)y5x1.解(1)由ylog2x，得yr，x2y，f1(x)2x，xr.(2)由yx，得xlogy且y0.f1(x)logx(x0).(3)由y5x1，得x且yr，f1(x)，xr.要點(diǎn)二互為反函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用例2已知函數(shù)yaxb(a0且a1)的圖象過點(diǎn)(1,4)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,0)，求a，b的值.解yaxb的圖象過點(diǎn)(1,4)，ab4.又yaxb的反函數(shù)圖象過點(diǎn)(2,0)，點(diǎn)(0,2)在原函數(shù)yaxb的圖象上.a0b2.聯(lián)立得a3，b1.規(guī)律方法互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱是反函數(shù)的重要性質(zhì)，由此可得互為反函數(shù)圖象上任一成對(duì)的相應(yīng)點(diǎn)也關(guān)于yx對(duì)稱，所以若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)yf(x)圖象上，則點(diǎn)(b，a)必在其反函數(shù)yf1(x)圖象上.跟蹤演練2已知f(x)log3x，則f1(4)_.答案81解析由log3x4，得x3481.即f1(4)3481.要點(diǎn)三指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用例3設(shè)方程2xx30的根為a，方程log2xx30的根為b，求ab的值.解將方程整理得2xx3，log2xx3.如圖可知，a是指數(shù)函數(shù)y2x的圖象與直線yx3交點(diǎn)a的橫坐標(biāo)，b是對(duì)數(shù)函數(shù)ylog2x的圖象與直線yx3交點(diǎn)b的橫坐標(biāo).由于函數(shù)y2x與ylog2x互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，由題意可得出a、b兩點(diǎn)也關(guān)于直線yx對(duì)稱，于是a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)為a(a，b)，b(b，a).而a、b都在直線yx3上，ba3(a點(diǎn)坐標(biāo)代入)，或ab3，故ab3.規(guī)律方法形如ax xb(a0且a0)或logax xb(a0且a1)的方程的求解常借助于函數(shù)圖象，求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn).跟蹤演練3函數(shù)f(x)lg xx3的零點(diǎn)所在區(qū)間為()a.(0,1) b.(1,2)c.(2,3) d.(3，)答案c解析在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)ylg x與yx3的圖象.它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi)，由此可排除a，d.至于選b還是選c，由于手工畫圖精確性的限制，單憑直觀很難做出判斷.實(shí)際上這是要比較x0與2的大小.當(dāng)x2時(shí)，lg xlg 2，x31，由于lg 21，因此x02，從而得到x0(2,3)，故選c.1.函數(shù)ylogx(x0)的反函數(shù)是()a.yx，x0 b.y()x，xrc.yx2，xr d.y2x，xr答案b解析互為反函數(shù)的一組對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同.2.若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x)等于()a.log2x b. c.logx d.2x2答案a解析yax的反函數(shù)f(x)logax，則1loga2，a2.3.已知函數(shù)yax與ylogax(a0且a1)，下列說法不正確的是()a.兩者的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱b.前者的定義域、值域分別是后者的值域、定義域c.兩函數(shù)在各自的定義域內(nèi)的增減性相同d.yax的圖象經(jīng)過平移可得到y(tǒng)logax的圖象答案d解析由反函數(shù)的定義及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的對(duì)稱關(guān)系可知a、b、c選項(xiàng)均正確.4.已知y()x的反函數(shù)為yf(x)，若f(x0)，則x0等于()a.2 b.1 c.2 d.答案c解析y()x的反函數(shù)是f(x)logx，f(x0)logx0.x0()2.5.已知f(x)a是r上的奇函數(shù)，則f1的值是_.答案2解析由f(x)為奇函數(shù)知a1，f(x)由，得x2.1.對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax與指數(shù)函數(shù)yax互為反函數(shù).它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱.2.求給定解析式的函數(shù)