人教B版必修一 3.2.3指數函數與對數函數的關系 學案.doc

3.2.3指數函數與對數函數的關系學習目標1.了解反函數的概念，知道指數函數和對數函數互為反函數，弄清它們的圖象間的對稱關系.2.利用圖象比較指數函數、對數函數增長的差異.3.利用指數、對數函數的圖象性質解決一些簡單問題.知識鏈接在同一坐標中，作出函數y2x與ylog2x的圖象，兩圖象關于直線yx對稱.預習導引1.反函數(1)互為反函數的概念當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量，而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量.稱這兩個函數互為反函數.(2)反函數的記法：函數yf(x)的反函數通常用yf1(x)表示.2.指數函數與對數函數的關系(1)指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數.(2)指數函數yax與對數函數ylogax的圖象關于yx對稱.要點一求反函數例1寫出下列函數的反函數：(1)ylg x；(2)ylogx；(3)y()x；(4)yx.解(1)ylg x的底數為10，它的反函數為指數函數y10x.(2)ylogx的底數為，它的反函數為指數函數yx.(3)y()x的底數為，它的反函數為對數函數ylogx(x0).(4)yx的底數為，它的反函數為對數函數ylogx(x0).規(guī)律方法指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數.跟蹤演練1求下列函數的反函數：(1)ylog2x；(2)yx；(3)y5x1.解(1)由ylog2x，得yr，x2y，f1(x)2x，xr.(2)由yx，得xlogy且y0.f1(x)logx(x0).(3)由y5x1，得x且yr，f1(x)，xr.要點二互為反函數的性質應用例2已知函數yaxb(a0且a1)的圖象過點(1,4)，其反函數的圖象過點(2,0)，求a，b的值.解yaxb的圖象過點(1,4)，ab4.又yaxb的反函數圖象過點(2,0)，點(0,2)在原函數yaxb的圖象上.a0b2.聯(lián)立得a3，b1.規(guī)律方法互為反函數的圖象關于直線yx對稱是反函數的重要性質，由此可得互為反函數圖象上任一成對的相應點也關于yx對稱，所以若點(a，b)在函數yf(x)圖象上，則點(b，a)必在其反函數yf1(x)圖象上.跟蹤演練2已知f(x)log3x，則f1(4)_.答案81解析由log3x4，得x3481.即f1(4)3481.要點三指、對數函數的圖象性質應用例3設方程2xx30的根為a，方程log2xx30的根為b，求ab的值.解將方程整理得2xx3，log2xx3.如圖可知，a是指數函數y2x的圖象與直線yx3交點a的橫坐標，b是對數函數ylog2x的圖象與直線yx3交點b的橫坐標.由于函數y2x與ylog2x互為反函數，所以它們的圖象關于直線yx對稱，由題意可得出a、b兩點也關于直線yx對稱，于是a、b兩點的坐標為a(a，b)，b(b，a).而a、b都在直線yx3上，ba3(a點坐標代入)，或ab3，故ab3.規(guī)律方法形如ax xb(a0且a0)或logax xb(a0且a1)的方程的求解常借助于函數圖象，求兩函數圖象的交點.跟蹤演練3函數f(x)lg xx3的零點所在區(qū)間為()a.(0,1) b.(1,2)c.(2,3) d.(3，)答案c解析在同一平面直角坐標系中，畫出函數ylg x與yx3的圖象.它們交點的橫坐標x0顯然在區(qū)間(1,3)內，由此可排除a，d.至于選b還是選c，由于手工畫圖精確性的限制，單憑直觀很難做出判斷.實際上這是要比較x0與2的大小.當x2時，lg xlg 2，x31，由于lg 21，因此x02，從而得到x0(2,3)，故選c.1.函數ylogx(x0)的反函數是()a.yx，x0 b.y()x，xrc.yx2，xr d.y2x，xr答案b解析互為反函數的一組對數函數和指數函數的底數相同.2.若函數yf(x)是函數yax(a0，且a1)的反函數，且f(2)1，則f(x)等于()a.log2x b. c.logx d.2x2答案a解析yax的反函數f(x)logax，則1loga2，a2.3.已知函數yax與ylogax(a0且a1)，下列說法不正確的是()a.兩者的圖象關于直線yx對稱b.前者的定義域、值域分別是后者的值域、定義域c.兩函數在各自的定義域內的增減性相同d.yax的圖象經過平移可得到y(tǒng)logax的圖象答案d解析由反函數的定義及互為反函數的函數圖象間的對稱關系可知a、b、c選項均正確.4.已知y()x的反函數為yf(x)，若f(x0)，則x0等于()a.2 b.1 c.2 d.答案c解析y()x的反函數是f(x)logx，f(x0)logx0.x0()2.5.已知f(x)a是r上的奇函數，則f1的值是_.答案2解析由f(x)為奇函數知a1，f(x)由，得x2.1.對數函數ylogax與指數函數yax互為反函數.它們的圖象關于直線yx對稱.2.求給定解析式的函數