筆算開立方和N次方.doc

今年在某次物理競賽中忘了帶計算器，需要計算開立方。當時不知道怎么筆算，所以只好一位一位地試。因此，我便想研究出一種開立方的筆算方法（我知道現(xiàn)在有，但是苦于找不到，所以只好自己來了）。 在剛開始研究是我不知道該如何入手，所以就去找了初二時候的代數(shù)書，里面有開平方筆算法和推導(dǎo)過程。它是這么寫的： 在這里，我“定義”ab=a的b次方。 (10a+b)2 = 100a2+20ab+b2 = 100a2+b(20a+b) a代表的是已經(jīng)計算出來的結(jié)果，b代表的是當前需要計算的位上的數(shù)。在每次計算過程中，100a2都被減掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整數(shù)b使b(20a+b)9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三個0來求立方根的第三位, 設(shè)第三位是B,則用25B*25*B*30+B3,則B=7,及1375000-1349593=25407,依此類推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。 2571D*2571*D*30+D3,D=2 =徒手開n次方根的方法: 原理:設(shè)被開方數(shù)為X,開n次方,設(shè)前一步的根的結(jié)果為a,現(xiàn)在要試根的下一位,設(shè)為b, 則有:(10*a+b)n-(10*a)n=c(前一步的差與本段合成);且b取最大值 用純文字描述比較困難,下面用實例說明: 我們求 2301781.9823406 的5次方根: 第1步:將被開方的數(shù)以小數(shù)點為中心,向兩邊每隔n位分段(下面用表示);不足部分在兩端用0補齊; 2301781.98234060000000000000. 從高位段向低位段逐段做如下工作: 初值a=0,差c=23(最高段) 第2步:找b,條件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即b5=23,且為最大值;顯然b=1 差c=23-b5=22,與下一段合成, c=c*10n+下一段=22*105+01781=2201781 第3步:a=1(計算機語言賦值語句寫作a=10*a+b),找下一個b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即:(10+b)5-105=2201781, b取最大值8,差c=412213,與下一段合成, c=c*105+下一段=412213*105+98234=41221398234 第4步:a=18,找下一個b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即:(180+b)5-1805b時,(10*a+b)n-(10*a)nn*(10*a)(n-1)*b,即: b41221398234/n/(10*a)(n-1)=41221398234/5/18047.85,取b=7 以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值 差c=1508808527;與下一段合成, c=c*105+下一段=1508808527*105+06000=150880852706000 第5步:a=187,找下一個b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即: (1870+b)5-18705=150880852706000, b取最大值2,差c=28335908584368;與下一段合成, c=c*105+下一段=2833590858436800000 第6步:a=1872,找下一個b, 條件:(10*a+b)n-(10*a)n=c,即: (18720+b)5-187205 。當然，我們在實際中初始值最好采用中間值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。 如果用這個公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方之間。我們?nèi)〕跏贾?.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.51/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數(shù)2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.0721/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數(shù)。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.0121/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位數(shù)。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數(shù)值，也沒有關(guān)系，輸出值會自動調(diào)節(jié)，接近準確值。 5次方公式這里順便提一下5次方公式。 X(n+1)=Xn+(A/X4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角標） 例如：A=5; 5介入1的5次方至2的5次方之間。2的5次方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。例如我們?nèi)≈虚g值1.4； 1.4+（5/1.44-1.4)1/5=1.38 1.38+（5/1.384-1.38)1/5=1.379 1.379+(5/1.3794-1.379)1/5=1.3797 計算次數(shù)與精確度成為正比。即5=1.37975。 =立方表在沒有計算機之前出現(xiàn)的時候，相對于手算開方，人們多用兩種方法：一種是牛頓迭代法，比如方程x3a0，先有一個x1和x2，其中x13-a0，在圖像上把x1和x3兩個點相連，和x軸有個交點，記為x3，那么x3相對于x1和x2接近