土耳其商人和帽子的故事(邏輯推導(dǎo)).doc

土耳其商人和帽子的故事這是著名物理學(xué)家愛因斯坦出過(guò)的一道題。一個(gè)土耳其商人，想找一個(gè)十分聰明的助手協(xié)助他經(jīng)商，有兩個(gè)人前來(lái)應(yīng)聘，這個(gè)商人為了試一試哪一個(gè)聰明些，就把兩個(gè)人帶進(jìn)一間漆黑的屋子里，他打開電燈后：“這張桌子上有五頂帽子，兩頂是紅色的，三頂是黑色的?，F(xiàn)在，我把燈關(guān)掉，而且把帽子擺的位置弄亂，然后我們?nèi)齻€(gè)人每人摸一頂帽子戴在頭上，在我開燈后，請(qǐng)你們盡快的說(shuō)出自己頭上戴的帽子是什么顏色的?！闭f(shuō)完之后，商人將電燈關(guān)掉，然后三人都摸了一頂帽子戴在頭上，同時(shí)商人將余下的兩頂帽子藏了起來(lái)，接著把電燈打開，這時(shí)，那兩個(gè)有應(yīng)試者看到商人頭上戴的是一頂紅帽子，過(guò)了一會(huì)兒，其中一個(gè)人便喊到：“我戴的是黑帽子?！闭?qǐng)問這個(gè)人猜得對(duì)嗎？是怎么推導(dǎo)出來(lái)的？ 前面，我們提出了三種基本邏輯運(yùn)算，可分別稱為析?。ǎ?、合?。ǎ┖头穸ǎǎ＿€有兩種運(yùn)算：蘊(yùn)涵運(yùn)算（）和等值運(yùn)算（？）?？煞謩e由表2.1和表2.2來(lái)定義：對(duì)于命題P與Q，“若P則Q”稱為條件命題，記作PQ，它的含義也規(guī)定為復(fù)合命題PQ，即PQ=PQ。由真值表2.1可見：在條件命題中，如果條件P為假（0），那么恒為真；如果條件P為真（1），那么的真假?zèng)Q定于結(jié)論Q的真假。因?yàn)橛卸x，所以“PQ”不是一種新的運(yùn)算，但由于“若，則”的形式是人們常用的語(yǔ)言，所以把它當(dāng)作一種重要運(yùn)算，在進(jìn)行推理時(shí)常常是方便的。如果命題恒真，即PQ=1，則稱P蘊(yùn)涵Q，故也稱“”蘊(yùn)涵運(yùn)算，當(dāng)時(shí)，也記成，這正是我們數(shù)學(xué)書上常遇到的情形。P?Q嚴(yán)格說(shuō)，不是命題，而是P與Q之間的一種關(guān)系。對(duì)于命題P和Q，當(dāng)且僅當(dāng)命題P和Q真值相等時(shí)，稱為等值（即P與Q同真假），記為P?Q。當(dāng)P?Q是真的，即P?Q=1時(shí)，也稱為恒真命題。我們利用上述五種運(yùn)算和數(shù)學(xué)上的括號(hào)，可以構(gòu)成各種符號(hào)序列，我們稱之為公式，這里一切公式都應(yīng)滿足下述要求：（1）一切變項(xiàng)P，Q，R，是公式；（2）如果P，Q，R是公式，那么？P，PQ，PQ，PQ，PQ也是公式；（3）除由（1），（2）兩條規(guī)則建立起來(lái)的符號(hào)序列外都不是公式。在建立的公式中，真值聯(lián)結(jié)詞按照結(jié)合力由強(qiáng)到弱順序排列為,？：。任何公式（復(fù)合命題）都有相應(yīng)的真值形式。無(wú)論公式P，Q的真值如何，其組成的最后公式始終得到真的值，這樣的真值形式叫做重言式的真值形式，簡(jiǎn)稱重言式。比如公式（PQ）?（PQ）。它的真值表如表2.3，故此公式為重言式。普通邏輯中的各種復(fù)合推理形式，在命題邏輯中都可以表示為相應(yīng)的真值形式，因此可以運(yùn)用真值形式來(lái)反映一個(gè)推理的形式結(jié)構(gòu)。在普通邏輯中常用圖表示推理形式，用圖表示可寫成： 橫線上為兩個(gè)前提，橫線以下是結(jié)論，前提和結(jié)論之間存在著蘊(yùn)涵關(guān)系，用蘊(yùn)涵式表達(dá)：蘊(yùn)涵式的前件是各個(gè)前提的合取，后件則是結(jié)論，這樣這個(gè)圖式的蘊(yùn)涵式是（PQ）PQ同時(shí)，相當(dāng)于一個(gè)正確推理形式的蘊(yùn)涵式還必須是一個(gè)重言式，但要注意，正確推理形式是不依賴于前提和結(jié)論的具體內(nèi)容，只要蘊(yùn)涵式總是真的，這個(gè)蘊(yùn)涵式的真值，可由表2.4反映出來(lái)。從表中可見，只有在（PQ）P為真的情況下，兩個(gè)前提PQ和P才都是真的。同時(shí)Q也是真的，前提真則結(jié)論必真。這個(gè)推理形式保證了從真的前提到真的結(jié)論的過(guò)度，因此是一個(gè)正確的推理形式。相反的，一個(gè)不正確的推理形式雖然也有一個(gè)相當(dāng)?shù)恼嬷敌问剑@樣的真值形式都不是永真的，即不是一個(gè)重言的真值形式，如推理形式： 這種推理是錯(cuò)誤的，與這種推理形式相當(dāng)?shù)奶N(yùn)涵式是（PQ）PQ這個(gè)公式的真值形式的真值表是表2.5，顯然此真值形式不是永真的。由此可知，每一個(gè)推理形式都相當(dāng)于一個(gè)真值形式，正確的推理形式相當(dāng)于一個(gè)重言式；不正確的推理形式雖然也有相應(yīng)的真值形式，但它不是重言式，判別一個(gè)推理形式是否正確，就要判別其相當(dāng)?shù)奶N(yùn)涵式是不是一個(gè)重言式，重言式是判別一個(gè)命題表達(dá)式推理形式是不是正確的有效公式。把命題邏輯的重言式組成一個(gè)公理系統(tǒng)就得到命題演算，而這就是命題邏輯的公理化，即從公理（初始命題的 重言式）出發(fā)，應(yīng)用明確規(guī)定的推演規(guī)則，進(jìn)而推出一系列重言式的演繹體系。由公理去推導(dǎo)出其余的重言式，還要有一定的變形規(guī)則，這主要有兩條：代換規(guī)則和分離規(guī)則（又稱蘊(yùn)涵原則，即從AB的真和A的真，可以推出B的真）。 現(xiàn)在我們來(lái)解本節(jié)一開始提出的問題。設(shè)P1表示“猜對(duì)的人戴紅帽子”；P2表示“猜對(duì)的人戴黑帽子”；Q1表示“另一個(gè)人戴紅帽子”；Q2表示“另一個(gè)人戴黑帽子”；R1表示“商人戴紅帽子”?，F(xiàn)在知道，商人頭上戴的是紅帽子，即R1為真，又知道另一個(gè)人沒有作出斷定，即既不能斷定Q1為真，也不能斷定Q2為真。根據(jù)題設(shè)條件，可得如下公式：R1P1Q2：如果商人和猜對(duì)的人戴的都是紅帽子，那么另一個(gè)戴的就是黑帽子，因?yàn)榧t帽子只有兩頂。R1Q1P2：如果商人和另一個(gè)戴的都是紅帽子，那么猜對(duì)的人戴的就是黑帽子。P1P2：如果猜對(duì)的人戴的不是紅帽子，那么他戴的就是黑帽子。Q1Q2：如果另一個(gè)人戴的不是紅帽子，那么他戴的就是黑帽子。推演步驟如下：設(shè)P1（1）P1（根據(jù)假設(shè)）；（2）R1（根據(jù)題設(shè)）（3）R1P1（合取構(gòu)成）；（4）R1P1Q2（根據(jù)題設(shè)）（5）Q2（3）（4）分離）。這就是說(shuō)，“另一個(gè)人戴黑帽子”這個(gè)判定是必然可以作出的，但是這與題設(shè)條件（即“另一個(gè)沒有作出判定”）相矛盾，因此，P1為假，即P1為真，故可得：（6）P1；（7）P1P2（根據(jù)題設(shè)）；（8）P2（6）（7）分離）。這就是說(shuō)，“猜對(duì)的人戴著黑帽子”是真的，所以猜對(duì)的人肯定的說(shuō)：“我戴的是黑帽子”。 聰明的囚徒古希臘有個(gè)國(guó)王，對(duì)處死囚徒的方法作了兩種規(guī)定：一種是砍頭，一種是絞刑。并他自恃聰明的做出一種規(guī)定：囚徒可以說(shuō)一句話，并且這句話是馬上可以驗(yàn)證其真假。如果囚徒說(shuō)的是真話，那么處以絞刑，如果囚徒說(shuō)的是假話，那么處以砍頭。許多囚徒或者是因?yàn)檎f(shuō)了假話而被砍頭或者因?yàn)檎f(shuō)了真話而被處以絞刑。 有一位極其聰明的囚徒，當(dāng)輪到他來(lái)選擇處死方法時(shí)，他說(shuō)出一句巧妙的話，結(jié)果使這個(gè)國(guó)王按照哪種方法處死他，都違背自己的決定，只得將他放了。試問：這囚徒說(shuō)的是句什么話？在時(shí)常的語(yǔ)言中，一般地講，只有陳述句才可分辨真假。凡是可以決定真假的語(yǔ)句叫做命題。但陳述句中有兩種形式不是命題。如陳述句“這道題很難”、“那個(gè)人很年輕”等，“很難”、“相當(dāng)年輕”等這些概念沒有清晰的界限，屬于模糊命題，這類命題不屬于我們討論范圍。 還有一類，就陳述句本身而言，確實(shí)很明確，但與其他命題聯(lián)合起來(lái)，就無(wú)法判定其真假。如在一張空白的雙面卡片上，正面寫上一句：“A：這張卡片背面的句子是真的?！倍谠摽ㄆ谋趁鎸懮弦痪洌骸癇：這張卡片背面的句子是假的?！比鬉是真的，那么B就是真的，即“這張卡片背面的句子是假的”為真，這就導(dǎo)致句子A是假的。若A是假的，那么B就是假的，即“這張卡片背面的句子是假的”為假，這就導(dǎo)致句子A是真的。兩個(gè)句子都沒有談到自身，但放到一起，它們就不斷改變著它們的真實(shí)性，結(jié)果就無(wú)法判斷出任何一個(gè)句子的真假性。這不是詭辯，這是命題悖論。在日常語(yǔ)言活動(dòng)中，留心命題邏輯這一問題的人，往往還可找到許多這樣的例子。最典型的例子就是“說(shuō)謊者悖論”：“我正說(shuō)的這句話是假話”。試問這句話是否真是謊話呢？若是謊話，則它陳述的事實(shí)為假，因而“我”說(shuō)的就不是謊話；若不是謊話，則它陳述的事實(shí)為真，因而“我”說(shuō)的又是謊話?？傊疅o(wú)法自圓其說(shuō)。又如“自謂悖論”：一個(gè)形容詞能夠形容自己，則稱為“自謂的”，否則就是“非自謂的”。例如，“中文的”這個(gè)形容詞就是“自謂的”，因?yàn)樗坏梢孕稳菀磺杏弥形臅鴮懟蛴∷⒌臇|西，還可以形容它自己，它自己也是“中文的”，而“英文的”這個(gè)形容詞就是“非自謂的”，因?yàn)樗旧硎欠怯⑽牡摹，F(xiàn)在問“非自謂的”這個(gè)形容詞是否“自謂”呢？若它是自謂的（即可以自己形容自己），則正好又與它本身的的詞義相同，按照“自謂的”的定義，它又應(yīng)該是自謂的。 所謂命題悖論是：一個(gè)命題Q，如果從Q為真，可以推出Q為假；有從Q的否定為真（即Q為假），可以推出Q為真，我們就說(shuō)Q是一個(gè)命題悖論。這類悖論 往往還是與語(yǔ)義有關(guān)的悖論。命題悖論是與集合悖論密切相關(guān)的，每一命題悖論可以重新組織為一個(gè)關(guān)于集合的悖論；反之每一集合悖論可以可以重新組織為一個(gè)關(guān)于命題的悖論。最初羅素為了排除這種悖論，提出下面的觀點(diǎn)：語(yǔ)言應(yīng)該層次分明，同一層次的語(yǔ)言不能在其自身中討論真假，建立了所謂“簡(jiǎn)單類型論”。按照這個(gè)理論，把集合按其類型的級(jí)別加以排列，一個(gè)集合不能是低一級(jí)的任何集合的元素，這樣就把第四個(gè)問題中的羅素悖論的“一個(gè)集合是它本身的一個(gè)元素”就排除掉了，從而消除了自相矛盾的集合，這也就是在命題邏輯中規(guī)定了合格命題的法則。但羅素的這種類型悖論并沒有被大多數(shù)邏輯學(xué)者所接受，進(jìn)而導(dǎo)致了各種公理化集合論， 聰明的囚徒所說(shuō)的話，應(yīng)使國(guó)王無(wú)論