大學(xué)經(jīng)典課件之高等數(shù)學(xué)——9-2二重積分的計(jì)算(2).pdf

第九章第九章 第二節(jié)第二節(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的計(jì)算 2 二重積分的計(jì)算 2 極坐標(biāo)系下計(jì)算 二重積分 極坐標(biāo)系下計(jì)算 二重積分 為什么為什么引用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分引用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分引用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分引用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 2 1 D 0 y x D1D2 D3 D4 D 之間的環(huán)域 和 之間的環(huán)域 和4 1 22 22 yx yx 4321 DDDD I 怎么計(jì)算 怎么計(jì)算 D yxyxfId d 必須把 必須把 D 分塊兒 分塊兒 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 A o D i i ii ii i 一 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在極坐標(biāo)系下 則小區(qū)域的面積可近似地看成矩形 即 在極坐標(biāo)系下 則小區(qū)域的面積可近似地看成矩形 即 2 1 ni i L 射線射線 常數(shù) 常數(shù) 分劃區(qū)域 分劃區(qū)域 D 為為 用同心圓用同心圓 常數(shù) 常數(shù) iiii sin cos DD ddfdxdyyxf ddd sin cos 2 1 dfd A D o 1 2 D ddf sin cos 二重積分化為二次積分的公式 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖 21 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖 21 sin cos 2 1 dfd D ddf sin cos A o D 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 A o D sin cos 0 dfd 二重積分化為二次積分的公式 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖 0 D ddf sin cos 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D ddf sin cos sin cos 0 2 0 dfd 二重積分化為二次積分的公式 二重積分化為二次積分的公式 區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖 0 D o A 2 0 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考 思考 下列各圖中域 下列各圖中域 D 分別與 分別與 x y 軸相切于軸相切于 答 答 0 D o y x D o y x 原點(diǎn) 試問(wèn)原點(diǎn) 試問(wèn) 和和 的變化范圍是什么 的變化范圍是什么 1 2 22 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答 答 0 0 例 1例 1將 將 D dxdyyxf 化為極坐標(biāo)下的二次積分 其中 化為極坐標(biāo)下的二次積分 其中 11 2 xyxyxD 1 yx 1 22 yx 解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sin cos y x 所以圓方程為所以圓方程為 1 直線方程為直線方程為 cossin 1 D dxdyyxf sin cos 2 0 1 cossin 1 dfd 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 2例 2 計(jì)算二重積分 計(jì)算二重積分 D dxdy yx yx 22 22 sin 其中 積分區(qū)域?yàn)?其中 積分區(qū)域?yàn)?41 22 yxyxD 解解由對(duì)稱性 可只考慮第一象限部分由對(duì)稱性 可只考慮第一象限部分 D dxdy yx yx 22 22 sin 2 10 sin 4 2 dd 4 1 D 1 22 22 sin 4 D dxdy yx yx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 y x 變?yōu)闃O坐標(biāo)形式把變?yōu)闃O坐標(biāo)形式把 d d D yxyxfI 所圍區(qū)域與所圍區(qū)域與 0 222 yayaxD 2a cos2a 2 0 cos2 0 d sin cos d a f 222 ayax cos2 a 即 即 解解 例3例3 D yxyxfIdd 代入令代入令 sin cos y x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d d 2 0 2 0 2 變?yōu)闃O坐標(biāo)形式把變?yōu)闃O坐標(biāo)形式把 RyRy xyxfyI 2R 區(qū)域邊界 區(qū)域邊界 x 0 I 0 y x 即 即 2Rsin 2Rsin 2 0 sin2 0 d sin cos d R f 例4例4 2 2yRyx 2 2 即 即 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 5例 5 寫(xiě)出寫(xiě)出 D dxdyyxf 在極坐標(biāo)下的累次積分 其中 在極坐標(biāo)下的累次積分 其中 4 2 22 yxyxD 20 222 a所截得的 含在柱面內(nèi)的 立體的體積 所截得的 含在柱面內(nèi)的 立體的體積 解 解 由對(duì)稱性可知由對(duì)稱性可知 2 0 cos20 aD dd44 22 D a 2 0 d4 cos2 0 22 d4 a a d sin1 3 32 2 0 33 a 3 2 2 3 32 3 a o x y z a2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxyxaV D dd44 222 aa2 x y o axyx2 22 例 9例 9 求曲線 求曲線 2 222222 yxayx 和 和 222 ayx 所圍成的圖形的面積 所圍成的圖形的面積 解解 根據(jù)對(duì)稱性有根據(jù)對(duì)稱性有 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 2 222222 yxayx 2cos2 a 222 aayx 1 D 1 4DD 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由由 a a 2cos2 得交點(diǎn)得交點(diǎn) 6 aA 所求面積所求面積 1 4 D dxdy 2cos2 0 6 4 a a dd 3 3 2 a D dxdy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 D 6 aA 例 10例 10 計(jì)算計(jì)算 dxdye D yx 22 其中 其中DD 是由中心在 原點(diǎn) 半徑為 是由中心在 原點(diǎn) 半徑為 a 的圓周所圍成的閉區(qū)域 的圓周所圍成的閉區(qū)域 解解 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 D a 0 20 dxdye D yx 22 a ded 0 2 0 2 1 2 a e 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 11例 11 求廣義積分求廣義積分 0 2 dxe x 解解 0 222 1 yxRyxyxD 0 2 222 2 yxRyxyxD 0 0 RyRxyxS 顯然有顯然有 21 DSD 0 22 yx eQ 1 22 D yx dxdye S yx dxdye 22 2 22 D yx dxdye 1 D 2 D S S 1 D 2 D R R2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 R y R x dyedxe 00 22 2 0 2 R x dxe S yx dxdyeI 22 1 22 1 D yx dxdyeI R ded 00 2 2 1 4 2 R e 2 22 2 D yx dxdyeI 1 4 2 2R e 當(dāng) 當(dāng) R 時(shí) 時(shí) 4 1 I 4 2 I 故當(dāng) 故當(dāng) R 時(shí) 時(shí) 4 I 即即 4 2 0 2 dxe x 故所求廣義積分故所求廣義積分 21 III Q 1 4 1 4 222 22 0 R R xR edxee 2 0 2 dxe x 例12 例12 將積分化為極坐標(biāo)形式將積分化為極坐標(biāo)形式 R y R x 2 2 1 1R R 0 0 2222 R R R xR y x y fx 2 1 d d d d 2 1 00 00 R R Rx y x y fx D1D2 R 0 y x D d tand arctan 00 RR f d tan arctan 0 2 0 2 2 2 R f R 22 xRy d d tan arctan 00 RR f arctanR I I 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式 在積分中注意使用 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式 在積分中注意使用對(duì)稱性對(duì)稱性 二 小結(jié)二 小結(jié) D ddf sin cos sin cos 2 1 dfd sin cos 0 dfd sin cos 0 2 0 dfd 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題8 2 P164 7 2 3 5 8 3 4 9 2 3 10 1