八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明2直角三角形教案（新版）北師大版.docx

直角三角形課題直角三角形（第一課時(shí)）課型新授課教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立2能力目標(biāo)： （1）進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維（2）進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：了解勾股定理及其逆定理的證明方法結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立難點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的證明方法教具準(zhǔn)備學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實(shí)驗(yàn)用）；課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法與學(xué)法1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過問題1，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。問題1一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中BCAC， BAC=30，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長是多少? B1C1呢?解：在RtABC中，CAB=30，AB=10 cm，BCAB105 cmCB1AB，B+BCB190又A+B90BCB1 A30在RtACB1中，BB1BC5 cm25 cmAB1ABBB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30B1C1 AB1 7.53.75(cm)解決這個(gè)問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30角的直角三角形的性質(zhì)”由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請(qǐng)同學(xué)們打開課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方法2：講述新課閱讀完畢后，針對(duì)“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請(qǐng)有興趣的同學(xué)課后閱讀（1）勾股定理及其逆定理的證明已知：如圖，在ABC中，C90，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE(如圖)，則ABCBEDBDE90，EDa(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等)四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACDE(a+b)(a+b) (a+b)2ABE180(ABCEBD)1809090，ABBESABEc2S梯形ACDESABE+SABC+SBED，(a+b) 2 c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab,a2+b2c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強(qiáng)調(diào)具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方反過來，如果在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康姆椒ǖ贸觥斑@個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論你能證明此結(jié)論嗎?師生共同來完成已知：如圖：在ABC中，AB2+AC2BC2求證：ABC是直角三角形分析：要從邊的關(guān)系，推出A90是不容易的，如果能借助于ABC與一個(gè)直角三角形全等，而得到A與對(duì)應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證證明：作RtABC，使A90，ABAB，AC、AC(如圖)，則AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)因此，ABC是直角三角形總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形（2）互逆命題和互逆定理觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎?通過觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：上面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個(gè)定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個(gè)定理的條件這樣的情況，在前面也曾遇到過例如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”又如“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊就等于斜邊的一半”交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30”。3：議一議觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學(xué)生暢所欲言，體會(huì)逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€(gè)命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命題的逆命題?；顒?dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語言上不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，要先讓這個(gè)疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié)?；顒?dòng)時(shí)可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題： 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對(duì)的角相等三角形中相等的角所對(duì)的邊相等上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個(gè)命題的條件是第一個(gè)命題的結(jié)論，第二個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命題的條件在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題，相對(duì)于逆命題來說，另一個(gè)就為原命題再來看“議一議”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個(gè)命題為原命題，另一個(gè)則為逆命題請(qǐng)同學(xué)們判斷每組原命題的真假逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第三組中，原命題和逆命題都是真命題由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題4：想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題請(qǐng)學(xué)生寫出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過具體的實(shí)例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理 能舉例說出我們已學(xué)過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”和“三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等”、“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”等5：隨堂練習(xí)說出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假;(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)如果ab0，那么a0， b0分析互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來應(yīng)不會(huì)有什么困難，尤其是對(duì)以“如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對(duì)于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題解：(1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3)如果a0，60，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題6：課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力7：課后作業(yè)習(xí)題15第1、2、3、4題讓學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上，自主地尋求命題的證明板 書1、 勾股定理及逆定理的證明。2、 互逆命題：課題直角三角形（第二課時(shí)）課型新授課教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性利用“HL定理解決實(shí)際問題2能力目標(biāo)：進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；難點(diǎn)：明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達(dá)等。教具準(zhǔn)備學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實(shí)驗(yàn)用）；課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法與學(xué)法1：復(fù)習(xí)提問1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。想一想，怎么畫？同學(xué)們相互交流。3、有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論。我們?cè)鴱恼奂埖倪^程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn)用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對(duì)等角”。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對(duì)等角”要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過程如下：已知：在ABC中， AB=AC 求證：B=C證明：過A作ADBC，垂足為C，ADB=ADC=90又AB=AC，AD=AD，ABDACD B=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在實(shí)際的教學(xué)過程中，有學(xué)生對(duì)上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點(diǎn)在于“在證明ABDACD時(shí)，用了“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)相等的兩個(gè)三角形全等”而我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)全等的時(shí)候知道，兩個(gè)三角形，如果有兩邊及其一邊的對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形是不一定全等的可以畫圖說明(如圖所示在ABD和ABC中，AB=AB，B=B，AC=AD，但ABD與ABC不全等)” 也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。教師順?biāo)浦?，詢問能否證明：“在兩個(gè)直角三角形中，直角所對(duì)的邊即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，從而引入新課。2：引入新課（1）“HL”定理由師生共析完成已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求證：RtABCRtABC證明：在RtABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)又在Rt A B C中，A C =AC=AB2一BC2 (勾股定理)AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)教師用多媒體演示：定理 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示 從而肯定了第一位同學(xué)通過作底邊的高證明兩個(gè)三角形全等，從而得到“等邊對(duì)等角”的證法是正確的 練習(xí)：判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (2)斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (3)兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 對(duì)于（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題（4），學(xué)生感覺是真命題，一時(shí)有無法直接利用已知的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明已知：RABC和RtAB C，C=C=90，BC=BC，BD、BD分別是AC、AC邊上的中線且BDBD (如圖)求證：RtABCRtABC證明：在RtBDC和RtBDC中，BD=BD,BC=BC,RtBDCRtB D C (HL定理)CD=CD又AC=2CD，A C =2C D ，AC=AC在RtABC和RtA B C 中，BC=BC ，C=C =90，AC=AC ，RtABCCORtABC(SAS)通過上述師生共同活動(dòng)，學(xué)生板書推理過程之后可發(fā)動(dòng)學(xué)生去糾錯(cuò)，教師最后再總結(jié)。3：做一做問題 你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎? 請(qǐng)同學(xué)們用手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語言清楚表達(dá)自己的想法（設(shè)計(jì)做一做的目的為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論在實(shí)際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。）4：議一議如圖，已知ACB=BDA=90，要使ACBBDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來 這是一個(gè)開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運(yùn)用公理和已學(xué)過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案(教師一定要提供時(shí)間和空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))5： 例題學(xué)習(xí)如圖，在ABCABC中，CD，CD分別分別是高，并且ACAC，CD=CDACB=ACB求證：ABCABC分析：要證ABCABC，由已知中找到條件：一組邊AC=AC，一組角ACB=ACB如果尋求A=A，就可用ASA證明全等；也可以尋求么B=B，這樣就有AAS；還可尋求BC=BC，那么就可根據(jù)SAS注意到題目中，通有CD、CD是三角形的高，CD=CD觀察圖形，這里有三對(duì)三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的RtADCRtADC，因此證明A=A 就可行證明：CD、CD分別是ABCABC的高(已知)，ADC=ADC=90在RtADC和RtADC中，AC=AC(已知)，CD=CD (已知)，RtADCRtADC (HL)A=A，(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)在ABC和ABC中，A=A (已證)，AC=AC (已知)，ACB=ACB (已知