蘇教版選修45 5.4.2 排序不等式 學(xué)案.doc

5.4.2 排序不等式自主整理1.設(shè)兩組實(shí)數(shù)a1,a2,an與b1,b2,bn,且a1a2an,b1b2bn,則_為同序和,_為反序和.2.設(shè)c1,c2,cn為b1,b2,bn的任意一個(gè)排列,a1c1+a2c2+ancn為亂序和,則和數(shù)a1c1+a2c2+ancn在a1,a2,an與b1,b2,bn同序時(shí)最大,反序時(shí)最小,即_,當(dāng)且僅當(dāng)_或_時(shí)成立.高手筆記 排序原理是對(duì)不同的兩個(gè)數(shù)組 研究不同的乘積和的問(wèn)題,能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式:同序和、反序和、亂序和,對(duì)這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的“次序”,較為簡(jiǎn)單的兩種是“同序和”與“反序和”,而亂序和也就不按“常理”的順序了.排序不等式中等號(hào)成立的條件是a1=a2=an或b1=b2=bn,這一點(diǎn)不難理解,它是我們解決某些問(wèn)題的關(guān)鍵,要記住.名師解惑怎樣理解排序不等式的證明?剖析:課本對(duì)排序不等式的證明過(guò)程和方法,用了“探究猜想檢驗(yàn)證明”及由特殊到一般的思維過(guò)程和發(fā)現(xiàn)過(guò)程,這是探索新知識(shí)、新問(wèn)題常用到的基本方法,對(duì)于數(shù)組涉及到的“排序”及“乘積”的問(wèn)題,出現(xiàn)了兩種特殊的順序“同序”和“反序”,其他為亂序,自然要對(duì)它們進(jìn)行比較,但由于亂序情況較多較復(fù)雜,不可能一一驗(yàn)證、證明,所以課本采用了“逐步調(diào)整法”,就像日常生活中班級(jí)排隊(duì)一樣,逐個(gè)調(diào)整,每次調(diào)整對(duì)調(diào)一組數(shù)都保證了調(diào)整后的和不小于調(diào)整前的和.最終按由大到小的順序排列出,理順大小關(guān)系.而實(shí)際解決問(wèn)題時(shí),所給的數(shù)組并不一定是按由大到小或由小到大的順序給出,我們可先對(duì)其進(jìn)行排序,再用排序不等式解決范圍問(wèn)題或研究最值或證明不等式.講練互動(dòng)【例1】設(shè)a1,a2,an是n個(gè)互不相同的正整數(shù),求證:a1+1+.分析:a1,a2,an是n個(gè)互不相同的正整數(shù),可按從小到大的順序排列,觀察不等式可猜想到與a1,a2,an對(duì)應(yīng)的另一列數(shù)是1,可用排序不等式證出.證明:設(shè)b1,b2,b3,bn是a1,a2,a3,an的一個(gè)排列且b1b2,a1+b1+11+2+3+n=1+.綠色通道 對(duì)于不等式兩邊結(jié)構(gòu)比較整齊,按一定規(guī)律或一定順序排列出 的,而且每一項(xiàng)容易分解為兩個(gè)數(shù)之積的形式,可考慮用排序不等式證明.變式訓(xùn)練1.設(shè)a1,a2,a3,an是互不相等的正整數(shù),求證:+.證明:設(shè)b1,b2,bn是a1,a2,a3,an的一個(gè)排列且b1b2,+.【例2】設(shè)a、b、c都是正數(shù),求證:a+b+c.分析:本題的結(jié)構(gòu)比較整齊,右邊的a、b、c分別可看作是、,即把a(bǔ)b、bc、ca的順序調(diào)換了,可聯(lián)想排序不等式.證明:a、b、c為正數(shù),不妨設(shè)abc0,則abacbc0且0.則+=b+a+c.+a+b+c成立.綠色通道 要利用排序不等式,必須構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)組,并且排列出大小順序,對(duì)于a、b、c同等地位的元素可不妨設(shè)出一種順序進(jìn)行解答.變式訓(xùn)練2.已知a、b、c為正實(shí)數(shù),求證:a+b+c.證明:不妨設(shè)abc0,則a2b2c20,abacbc0,a2bc+ab2c+abc2a3c+ab3+bc3.又abc0,a3b3c30.a3c+ab3+bc3a4+b4+c4.a2bc+ab2c+abc2a4+b4+c4,即abc(a+b+c)a4+b4+c4.a+b+c成立.【例3】設(shè)a1,a2,an都是正數(shù),b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,求證:a1b1-1+a2b2-1+anbn-1n.分析:本題的結(jié)構(gòu)為兩數(shù)乘積之和,可用排序不等式.證明:不妨設(shè)00.b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列.a1b1-1+a2b2-1+anbn-1a1+a2+an=n,即a1b1-1+a2b2-1+anbn-1n成立.綠色通道 認(rèn)真領(lǐng)會(huì)排序不等式的含義,學(xué)會(huì)用排序不等式進(jìn)行放縮.變式訓(xùn)練3.已知a1,a2,an都是正數(shù),b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,求證:a1p+q+a2p+q+anp+qa1pb1q+a2pb2q+anpbnq(p、q為正數(shù)).證明:設(shè)a1pa2pa3panp,a1qa2qanq.b1,b2,bn是