人教A版選修45 4.2 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例 課件（23張).ppt

二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例 與正整數(shù)n有關的幾個不等式 1 當n n n 5時 n2 1 x 0 n為大于1的自然數(shù) 那么有 1 x n 1 nx 當 是實數(shù) 并且滿足 1或者 1 當 是實數(shù) 并且滿足0 1 4 如果n n為正整數(shù) 個正數(shù)a1 a2 an的乘積a1a2 an 1 那么它們的和a1 a2 an n 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內畫 錯誤的畫 1 若n n 且n2 1 x 0 則 1 x 4 1 4x 探究一 探究二 規(guī)范解答 利用數(shù)學歸納法證明不等式分析 找準n0 看左邊是多少項 從n k到n k 1時添了什么項 少了什么項 根據(jù)n k時的假設 從而證明當n k 1時不等式成立 探究一 探究二 規(guī)范解答 當n k 1時 不等式也成立 由 1 2 可知 對一切的n 2 且n n 不等式都成立 探究一 探究二 規(guī)范解答 反思感悟數(shù)學歸納法證明不等式的技巧1 證明不等式時 由n k到n k 1時的推證過程與證明等式有所不同 由于不等式中的不等關系 需要我們在證明時 對原式進行 放大 或者 縮小 才能使用到n k時的假設 因此需要認真分析 適當放縮 才能使問題簡單化 這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一 2 數(shù)學歸納法的應用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起 如比較法 放縮法 配湊法 分析法和綜合法等 才能完成證明過程 探究一 探究二 規(guī)范解答 探究一 探究二 規(guī)范解答 利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的不等式問題 分析 證明當n k 1時不等式成立的關鍵是利用好n k成立時的假設 以及當n k 1時不等式的恰當變形 探究一 探究二 規(guī)范解答 探究一 探究二 規(guī)范解答 反思感悟利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的不等式問題的基本策略1 首先掌握好數(shù)學歸納法證明問題的基本步驟以及數(shù)列的有關知識 這是解決這類問題的基礎 2 這類題型通常與數(shù)列的遞推公式 通項公式有關 有時要證明的式子是直接給出 有時是根據(jù)條件從前幾項入手 通過觀察 猜想 歸納出一個式子 然后再用數(shù)學歸納法證明 證明過程中 注意遞推關系式的利用以及正整數(shù)n的性質 探究一 探究二 規(guī)范解答 探究一 探究二 規(guī)范解答 不等式中的歸納 猜想 證明問題典例設f n nn 1 g n n 1 n n n 1 當n 1 2 3 4時 比較f n 與g n 的大小 2 根據(jù) 1 的結果猜測一個一般性結論 并加以證明 審題策略 對于 1 可逐一計算進行比較 對于 2 可在 1 的基礎上進行歸納猜想 然后利用數(shù)學歸納法證明猜想 規(guī)范展示 解 1 當n 1時 nn 1 1 n 1 n 2 所以f 1 g 3 當n 4時 nn 1 1024 n 1 n 625 所以f 4 g 4 探究一 探究二 規(guī)范解答 2 由 1 可猜測 當n 3時f n g n 以下用數(shù)學歸納法證明該猜測 當n 3時 nn 1 81 n 1 n 64 所以f 3 g 3 所以猜測成立 假設當n k k 3 時猜測成立 即f n g n 即 k 1 k 2 k 2 k 1成立 亦即f n 1 g n 1 成立 因此當n k 1時猜測成立 由 知 當n 3時f n g n 成立 探究一 探究二 規(guī)范解答 答題模板 第1步 代入計算 逐一進行比較 得出具體結論 第2步 進行歸納猜想 得到一般性結論 第3步 證明初始值成立 第4步 假設當n k k 3 時 結論成立得到歸納假設 并變形 第5步 證明n k 1時結論成立 第6步 證得結論 探究一 探究二 規(guī)范解答 失誤警示通過閱卷統(tǒng)計分析 發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下 1 第一問數(shù)據(jù)計算失誤 得不出正確結果 2 第二問中不能正確地利用歸納并猜想得出一般性結論 3 用數(shù)學歸納法證明時 步驟不完整 4 證明當n k 1時結論成立時 不能正確地進行放縮 從而無法利用歸納假設致誤 探究一 探究二 規(guī)范解答 12345 答案 c 12345 答案 c 12345 答案 8 12345 因此當n k 1時不等式成立 故原不等式對一切n 2 n n 均成立 12345 5 對于一切正整數(shù)n 先猜出使tn n2成立的最小自然數(shù)t 然后用數(shù)學歸納法證明 并證明不等式n n 1 lg 1 2 3 n 解 猜想當t 3時 對一切正整數(shù)n 使3n n2成立 證明 當n 1時 31 3 1 12 不等式成立 假設當n k k 1 時 3k k2成立 即3k k2 1 當n k 1時 3k 1 3 3k 3k 2 3k k2 2 k